Кипу инков: «узелковая» математика
Когда мы слышим слово «письменность», то обычно представляем себе знаки на камне, папирусе или бумаге. Но в Андах существовал иной способ хранения и передачи информации: не на бумаге и не на камне, а в нитях и узлах. Кипу, или khipu, представлял собой систему шнурков, узелков, цветов и связей между ними. Для империи инков это был не экзотический сувенир, а рабочий инструмент управления огромной страной. Испанские хронисты сравнивали кипу с книгами, а современные исследователи уверенно говорят по крайней мере о хорошо разработанной числовой и учётной системе.
Само слово «кипу» на языке кечуа означает «узел». Типичный кипу состоит из главного шнурка, к которому крепятся подвесные шнурки, а к ним, в свою очередь, могут крепиться дочерние, а иногда и верхние шнуры. Материалом обычно служили хлопок или волокна ламы и альпаки. Британский музей описывает инкский кипу как предмет из методично организованных окрашенных и завязанных шнурков, где есть основной шнурок, подвески и ответвления. В музее Ларко в Лиме хранится, например, кипу с 238 подвесными шнурами разных цветов — синий, зелёный, коричневый, кремовый и белый. Уже по одному этому видно, что перед нами не просто «верёвка с узелками», а довольно сложный информационный объект.
Для истории математики самое важное здесь то, что числовая часть кипу дешифрована достаточно надёжно. Инки пользовались десятичной системой, и положение узлов на подвесном шнурке показывало разряд — единицы, десятки, сотни и так далее. NIST (National Institute of Standards and Technology, Национальный институт стандартов и технологий США) прямо пишет, что узлы на кипу отвечают правилам десятичной системы счисления и располагаются так, как если бы каждый горизонтальный уровень соответствовал очередному десятичному разряду. Аналогичные объяснения дают Britannica и Khan Academy.
Как это работало на практике? Для единиц использовались особые узлы:
- узел в форме «восьмёрки» означал 1;
- длинный узел с двумя, тремя, четырьмя и более витками означал 2, 3, 4 и так далее до 9;
- простой одинарный узел на более высоких позициях означал десятки, сотни и другие степени десяти;
- пустое место в нужном разряде означало 0.
Britannica даже приводит примеры: 437 — это четыре простых узла в ряду сотен, три простых узла в ряду десятков и длинный узел с семью витками в ряду единиц. Или 201 — это два простых узла в сотнях, пустой разряд десятков и узел-«восьмёрка» в единицах.
Попробуйте теперь сами потренироваться в распознавании чисел на небольшом примере.
Допустим, на одном подвесном шнурке мы видим:
- ближе всего к главному шнурку три простых узла;
- ниже семь простых узлов;
- внизу длинный узел с двумя витками.
Три верхних узла дают 300, семь в среднем ряду дают 70, длинный узел с двумя витками внизу даёт 2.
Это, пожалуй, самый наглядный момент во всей истории кипу: древний шнурок внезапно начинает читаться почти как столбик в школьной тетради. Сама идея разрядности здесь ничуть не слабее, чем в привычной нам письменной записи чисел.
Дадим ещё один пример — с нулём. Если на шнурке есть два простых узла в сотнях, затем пустое место, а внизу длинный узел с четырьмя витками, то это число 204. Пустой промежуток здесь так же важен, как и узел: он показывает отсутствие десятков. Именно поэтому кипу интересно не только как этнографическая редкость, но и как полноценная позиционная система учёта.
Числа в кипу задавались не только узлами. Исследователи обращают внимание на цвет шнурков, направление закручивания нитей, способ прикрепления подвесных шнурков и даже на то, в какую сторону завязан узел — в виде S или Z. В NIST особо подчёркивают, что, помимо самих узлов, значимыми могли быть как направление скрутки, так и тип присоединения шнуров и получившиеся цветовые схемы. Иными словами, число — это только часть языка кипу.
Для чего всё это использовалось? Прежде всего — для управления хозяйством и людьми. Кипу помогали учитывать запасы в хранилищах, налоги и повинности, стада, распределение труда, и, возможно, — данные переписей.
Britannica пишет, что в эпоху инков кипу использовались на всех уровнях бюрократии: не только в Куско, но и у региональных начальников и местных вождей. А NIST напоминает, какой масштаб нужно было администрировать: миллионы людей, дороги на тысячи километров, трудовые повинности, склады и снабжение. Без эффективного учёта такая система просто не удержалась бы.
У кипу были и свои специалисты — кипукамайук (khipukamayuq), то есть «хранители» или «составители кипу». Гарвардская библиотека прямо переводит этот термин как «khipu-authority», а исторические источники показывают, что такие специалисты не только составляли записи, но и умели их бегло читать, объяснять и сверять. В одном из исследований Гэри Уртона даже обсуждается система своеобразных сверок и балансовых учётов (англ. checks and balances): по хроникам, в общинах могло быть несколько счетоводов, ведущих сопоставимые записи. Это уже очень напоминает не хаотическую память «на узелках», а продуманную административную практику.
Важно отметить, что инки не изобрели кипу с нуля. Британский музей в путеводителе по выставке о Перу пишет, что такая система была введена ещё уари и затем развита инками. Метрополитен-музей тоже отмечает, что уари подготовили почву для более поздней инкской системы управления, включая узелковую систему записи. То есть перед нами не одномоментное чудо, а длинная андская традиция, которая существовала по крайней мере с I тысячелетия н. э. и получила особенно сильное развитие в империи инков XV–XVI веков.
После испанского завоевания история кипу не оборвалась сразу. Да, множество кипу было уничтожено, а часть церковных и колониальных властей относилась к ним с подозрением. Но источники показывают и другое: кипу продолжали использовать в колониальную эпоху — в судах, в местных общинах, при спорах в имущественных и административных делах.
Исследование Хосе Карлоса де ла Пуэнте Луны о раннеколониальных Андах показывает, что кипу лежали в основе списков и «пробансас» (probanzas de méritos y servicios — официальные показания и документы о заслугах и службе для суда или властей), с помощью которых местные элиты доказывали объёмы припасов, выполненных услуг и даже людей, предоставленных испанцам между 1532 и 1554 годами. Иными словами, кипу пережили падение империи и ещё долго оставались рабочими инструментами местной правовой и хозяйственной систем.
Ещё интереснее то, что традиция узелковой записи местами дожила почти до наших дней. Книга Фрэнка Саломона The Cord Keepers посвящена перуанской деревне, где набор таких шнурковых документов сохранялся как часть общинной памяти. Сабина Хайленд в исследовании об Анчукае пишет, что в провинции Уарочири было по меньшей мере четыре сообщества, где кипу использовали вплоть до XX века, а показания эксперта Мариано Пумахулька, записанные в 1935 году, объясняют, как именно на кипу фиксировали трудовые обязанности айлью — родственных групп внутри общины. Это уже не «мёртвая археология», а почти живая традиция.
Здесь появляется ещё один важный момент. Если числовую часть кипу учёные в целом понимают, то вопрос о нечисловой информации остаётся открытым. Исследования Хайленд показывают, что у некоторых кипу особые начальные элементы — «кайте» (kayte) — могли указывать тему или жанр записи. В её статье прямо говорится, что большой кайте указывал начало чтения и одновременно обозначал предмет записи. В одном из случаев речь шла о кипу, который фиксировал ежегодные трудовые обязанности членов айлью в 1930-х годах. Существуют и работы о гибридных «кипу-алфавитных» текстах, где сопоставляются узлы и буквенные подписи.
Но отсюда нельзя сделать выводы, что все или даже большинство кипу уже прочитаны как тексты. Правильнее сказать так: числовой уровень дешифрован хорошо, а над более сложным, семантическим и, возможно, частично текстовым уровнем исследователи работают до сих пор.
Сколько же таких предметов вообще сохранилось? Точное число зависит от каталога. UNESCO сообщает, что в Гарвардской базе HDAKD есть электронные записи о 544 кипу из 88 музеев на трёх континентах. Britannica говорит, что найдено более 600 кипу. Разница объясняется отличиями в стадиях и в способах каталогизации. Но в любом случае мы имеем дело лишь с остатками некогда богатой традиции.
Именно этим кипу так завораживают. Они стоят на границе математики, бюрократии, народной памяти и текстовых посланий. Для историка математики это редкий шанс увидеть, как идея счёта, пустого разряда вместо нуля и агрегирования данных может жить не только в цифрах на бумаге, но и в узелках на верёвочках. Для историка культуры — это напоминание, что считать и записывать можно не только пером. А для наших читателей — прекрасный повод ещё раз вспомнить: история математики куда шире привычной школьной линии «Египет — Греция — Европа». Иногда она может буквально свисать красивыми разноцветными нитями.