Логарифмические таблицы: эволюция
Математическая «молитва» школьников: «Логарифм числа b по основанию a есть показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b».
Логарифмы обладают уникальными свойствами, которые определяют не только их широкое использование для упрощения трудоёмких вычислений на практике, но и в научных исследованиях.
Например, из свойств логарифма следует, что вместо умножения многозначных чисел достаточно найти по таблицам и сложить их логарифмы, а потом по таблицам антилогарифмов выполнить потенцирование, то есть найти значение результата по его логарифму. Выполнение деления отличается только тем, что логарифмы вычитаются.
О логарифмических таблицах
Более трёх веков, до XIX века, основным средством научных и инженерных расчётов были логарифмические таблицы. В XX веке их вытеснили логарифмические линейки, арифмометры, а затем калькуляторы и компьютеры.
Первые логарифмические таблицы опубликовал (1614) шотландский математик Джон Непер в книге «Описание удивительного канона логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio). Основная идея Непера — построение двух последовательностей чисел, связанных таким образом, что, когда одна последовательность возрастает в арифметической прогрессии, другая убывает в геометрической. При этом произведение двух чисел второй последовательности находится в простой зависимости от суммы соответствующих чисел первой последовательности и умножение можно свести к сложению.
Его таблицы в связи со специальными целями содержали логарифмы тригонометрических величин. При этом Непер не вводил понятие «основание логарифма». Сам термин «логарифм», предложенный Непером, утвердился в науке (от др.-греч. λόγος — «отношение» и ἀριθμός — «число»).
Иоганн Кеплер в изданный им астрономический справочник (1620) вставил восторженное посвящение Неперу. Использование логарифмов позволило Кеплеру относительно быстро завершить многолетний труд по составлению Рудольфинских таблиц, которые закрепили успех гелиоцентрической астрономии.
Логарифмические таблицы, схожие с неперовыми, опубликовал (1620) швейцарский математик Йост Бюрги. Они представляют собой первую таблицу антилогарифмов. Для составления таблиц логарифмов в то время использовали свойство: если числа образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют арифметическую прогрессию. На обложке сборника таблиц логарифмов Бюрги так и написано: «Арифметические и геометрические прогрессии».
В 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс опубликовал (1624) «Логарифмическую арифметику» (лат. Arithmetica logarithmica), содержащую 8-значные таблицы десятичных логарифмов для первой тысячи, а затем 14-значные для чисел от 1 до 20000 и от 90000 до 100000. По его имени десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми.
Голландский математик Адриан Влакк выпустил (1628) вторым изданием 10-значные таблицы Бригга, восполнив недостающие числа от 20000 до 90000.
Из большого множества логарифмических таблиц, издававшихся различными авторами в разных странах, наибольшее распространение имели логарифмические 7-значные таблицы (1783) «Логарифмические, тригонометрические и иные таблицы и формулы, с руководством по использованию» (нем. Logarithmische, trigonometrische, und andere zum Gebrauche der Mathematik eingerichtete Tafeln und Formeln) австрийского математика Георга Веги. За 100 лет они выдержали более 100 изданий.
Существуют таблицы десятичных логарифмов с различным числом знаков мантисс. Наиболее распространены 4-значные и 5-значные таблицы. Иногда употребляют 7-значные таблицы, а в редких случаях — таблицы, позволяющие вычислять логарифмы с большим числом знаков.
На русском языке первые логарифмические таблицы появились в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого, А. Д. Фарварсона.
«Четырёхзначные математические таблицы» Владимира Модестовича Брадиса, многократно издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали 4-значные мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
О десятичных логарифмах
Итак, наиболее распространены были таблицы десятичных логарифмов. Десятичный логарифм целой степени 10 является целым числом. Десятичный логарифм любого числа, не равного целой степени 10, является числом дробным (вообще говоря, иррациональным).
Целую часть логарифма называют характеристикой, а дробную — мантиссой. Например: lg 253 = 2.4031, здесь характеристика это 2, а мантисса — 0.4031.
Так как десятичные логарифмы чисел N и 10ᵏN (при k целом) различаются только характеристиками и имеют одинаковые мантиссы lg 10ᵏN = k + lg N, то в таблицах десятичных логарифмов приводятся только мантиссы логарифмов целых чисел.
Характеристику логарифма любого положительного числа можно найти точно, и для этого не нужны никакие таблицы. Для отыскания характеристики используются следующие правила.
- Характеристика числа, большего 1, на единицу меньше числа цифр в целой части этого числа. Например, lg 20 000 = 4.3010.
- Характеристика десятичной дроби, меньшей 1, равна взятому со знаком минус числу нулей, предшествующих первой цифре в дроби, отличной от нуля. Например, lg 0.0002 = −4 + 0.3010. Таким образом, десятичные логарифмы дробей записываются в виде суммы положительной мантиссы и отрицательной характеристики.
Что же касается мантиссы, то она, как правило, берётся из таблиц (например, из таблиц Брадиса).
При этом следует пользоваться одним замечательным свойством мантиссы: если в логарифмируемом числе перенести запятую на любое количество знаков влево или вправо, то мантисса десятичного логарифма от этого не изменится, изменится только характеристика логарифма.
В логарифмических таблицах часто приводятся таблицы антилогарифмов: это числа, логарифмы которых — данные числа.
Кроме логарифмов чисел, логарифмические таблицы обычно содержат и логарифмы тригонометрических величин.
Почитать по теме
- Брадис В. М. Четырёхзначные математические таблицы для средней школы. — М.: Просвещение, 1976. — 96 с.
- Брадис В. М. Средства и способы элементарных вычислений. — М.: Учпедгиз, 1954. — 230 с.
- Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов. — М.: Недра, 1971. — 559 с.
- Мантуров О. В. Толковый словарь математических терминов / О. В. Мантуров, Ю. К. Солнцев, Ю. И. Соркин, Н. Г. Федин. — М.: Просвещение, 1965. — 540 с.