Происхождение выпуклости облигаций и выпуклостного смещения. Alpha in Academia.
Перевод статьи от Alpha in Academia.
Больше переводов в моём телеграмм-канале:
https://t.me/holyfinance
Добро пожаловать на очередное исследование рынка. Поскольку вам всем понравилась последняя серия, в которой мы объясняли структуру рынка с помощью математических моделей и исследовали неэффективности, я решил остаться в той же тематике.
Сегодня мы обсудим соотношение цены и доходности облигаций, как ряд Тейлора объясняет происхождение дюрации и выпуклости, склонностью к выпуклости (convexity bias) и как торговать склонностью к выпуклости.
Кроме того, мы рассмотрим несколько интересных исследовательских работ по этой теме.
Соотношение цены и доходности облигаций
Этот пост начнется с простого, но постепенно станет более сложным. Оставайтесь со мной для простого введения; оно станет понятным позже в этом посте.
Допустим, у нас есть акция XYZ, цена которой составляет 100 долларов, и мы покупаем одну акцию. Если на следующий день акция подорожает на 1%, новая цена будет 101 доллар, а наша прибыль или убыток составит 1 доллар. Все просто.
Теперь допустим, что у нас есть облигация с нулевым купоном и сроком погашения 10 лет. В настоящее время доходность облигации составляет 5%. Если процентные ставки упадут на 10 базисных пунктов (новая доходность составит 4,90%), какова будет новая цена облигации? Какова будет наша прибыль и убыток?
Как многие из вас знают, движения облигаций котируются не в процентах изменения цены (как акции), а в изменениях доходности (базисных пунктах). Важно отметить, что изменение доходности на 1% не равно изменению цены на 1%. Поскольку доходность находится в знаменателе, соотношение является нелинейным.
Цена облигаций определяется путем суммирования ожидаемых будущих денежных потоков по облигации, а затем их дисконтирования до текущей стоимости. Уравнение приведено ниже.
Поскольку (1+y) находится в знаменателе, функция изгибается внутрь по направлению к началу координат. Изображение этой зависимости приведено ниже:
Не только существует разница в вашей прибыли и убытке для данного изменения на 1 базисный пункт в зависимости от текущей доходности (дюрации), но и ваша прибыль от падения на 1 базисный пункт будет больше, чем ваш убыток от роста на 1 базисный пункт (при условии, что вы имеете длинную позицию по облигации).
Математическое обоснование того, почему облигация имеет выпуклую зависимость между ценой и доходностью, связано с приведенной выше формулой цены и тем, как выглядит производная этой формулы.
Допустим, у нас есть линейная функция, где:
Когда вы берете производную (находите скорость изменения), вы применяете правило степени: умножаете на показатель степени (1) и вычитаете 1 из показателя степени:
Таким образом, x исчезает, и ваша «скорость изменения» равна просто k. Это относится к акциям, поскольку ваша прибыль и убыток являются (и всегда будут) вашей позицией по акции (умноженной на доходность акции).
Однако для облигации все обстоит иначе. Чтобы понять, почему это происходит с математической точки зрения, упростим сложную формулу облигации до ее наиболее базовой структурной формы: обратной функции:
Когда вы берете производную здесь, математика меняется из-за этого отрицательного показателя.
X остается в уравнении. Если вы берете еще одну производную, x будет поднято в куб. Это похоже на уравнение цены облигации, поэтому в процентных ставках есть выпуклость.
Поскольку скорость изменения постоянно меняется в зависимости от того, где вы находитесь, линия должна изгибаться (положительная выпуклость).
В линейной модели переменная x исчезает из уравнения риска, и ваш риск (дюрация) остается постоянным.
В выпуклой модели переменная x остается в уравнении риска (в квадрате!), и ваш риск меняется каждый раз, когда рынок движется. Этот сохраняющийся x является источником выпуклости.
Это приводит нас к следующему разделу.
Разложение в ряд Тейлора
Теперь, когда мы понимаем «почему» (обратная зависимость между ценой и доходностью), давайте посмотрим на «как».
Чтобы математически количественно оценить эту зависимость, мы используем разложение в ряд Тейлора (которое мы использовали несколько постов назад). В математическом анализе ряд Тейлора позволяет нам приблизительно оценить значение сложной функции в новой точке на основе ее производных в известной точке.
В нашем случае мы хотим оценить новую цену облигации, если доходность изменится на небольшую величину. Для этого мы рассматриваем формулу ценообразования облигаций из предыдущего раздела как функцию доходности, обозначенную как P(y).
Если бы мы использовали только первую производную (дюрация), мы бы предположили, что соотношение является прямой линией. Как мы доказали в предыдущем разделе, это не так. Чтобы получить более точную цену, мы должны добавить вторую производную (выпуклость) в уравнение.
Вот разложение Тейлора для цены облигации:
Эта формула может показаться сложной, но мы можем перевести ее на язык торговых терминов, которые мы используем каждый день. P’(y) — первая производная, которая является дюрацией, а P’’(y) — вторая производная, которая является выпуклостью.
Когда мы делим обе стороны на цену (P), чтобы получить процентную доходность, уравнение упрощается до стандартной формулы риска, используемой портфельными менеджерами:
Это уравнение раскрывает математическую «магию» выпуклости. Внимательно посмотрите на второй член:
Поскольку (Δy) возведено в квадрат, результат всегда положительный, независимо от того, растут ли ставки (+Δy) или падают (−Δy).
- Если ставки падают (+100 б.п.), «дюрация» наносит ущерб, но «выпуклость» добавляет положительную стоимость, смягчая убыток.
- Если ставки растут (-100 б.п.), «дюрация» помогает вам, а «выпуклость» добавляет еще больше положительной стоимости, увеличивая прибыль.
Вот визуализация соотношения цены и доходности вместе с приближениями дюрации и дюрации + выпуклости из ряда Тейлора.
На графике выше визуализируется ряд Тейлора в действии. Красная линия (дюрация) предполагает прямой путь, что точно для небольших движений, но опасно для больших. Зеленая кривая (выпуклость) добавляет квадратичный член, изгибая приближение, чтобы оно почти идеально соответствовало реальности. Для еще большей точности необходимо получить 4-й и 5-й члены ряда Тейлора, но это тема для другого разговора.
В то время как дюрация является линейной ставкой на направление, выпуклость является структурной ставкой на волатильность. Чем больше движется доходность (чем больше Δy), тем более ценным становится этот квадратичный член.
Это естественным образом приводит к конфликту на рынке. Если один инструмент (например, облигация или своп) имеет этот «положительный коэффициент выпуклости», а другой инструмент (например, фьючерс) — нет, они не могут торговаться с одинаковой доходностью. Рынок должен учитывать в цене премию за эту разницу.
Это явление известно как «коэффициент выпуклости» (или склонность к выпуклости (convexity bias)).
Коэффициент выпуклости (Convexity Bias)
Это естественное различие в геометрии (красная линия против зеленой кривой) приводит к структурной неэффективности рынка, известной как «асимметрия выпуклости».
Как мы установили в предыдущем разделе, выпуклость имеет ценность. Она действует как естественный «амортизатор» для вашего портфеля, смягчая убытки, когда вы ошибаетесь, и ускоряя прибыль, когда вы правы. Но на эффективных рынках не бывает ничего бесплатного. Если актив имеет математическое преимущество, за него нужно платить.
Это приводит нас к структурному конфликту между фьючерсами и свопами. Хотя оба инструмента позволяют делать ставки на процентные ставки, их структуры выплат принципиально различаются. Фьючерсы (такие как SOFR или евродолларовые фьючерсы) рассчитываются ежедневно. Поскольку ваши прибыли или убытки зачисляются на ваш счет каждый день, эффект сложного процента устраняется, что фактически делает инструмент линейным (с нулевой выпуклостью).
Свопы и форварды, однако, рассчитываются по истечении срока. Поскольку денежные потоки дисконтируются с будущей даты, они сохраняют нелинейную математику, о которой мы говорили выше. Они являются выпуклыми.
Если вы имеете длинную позицию по свопу, вы владеете «зеленой кривой» из нашего графика выше. Если у вас длинная позиция по фьючерсу, вы владеете «красной линией». Поскольку зеленая кривая математически превосходит красную линию в условиях волатильности, своп является более предпочтительным инструментом. Поэтому рынок навязывает на него премию. Цена свопа должна быть выше цены фьючерса. А поскольку цена и доходность являются обратно пропорциональными, ставка свопа должна быть ниже ставки фьючерса.
Этот разрыв в доходности и является асимметрией выпуклости (Convexity Bias).
Мы можем точно количественно определить, насколько велик должен быть этот клин. Согласно основополагающему исследованию Burghardt & Hoskins, эта зависимость определяется волатильностью:
Обратите внимание на знак минус в уравнении. Форвардная ставка (своп) торгуется ниже фьючерсной ставки. Размер этой скидки полностью зависит от дисперсии. На спокойных рынках смещение невелико, и фьючерсы и свопы торгуются почти по паритету. На волатильных рынках смещение велико. «Ценность» этой выпуклости увеличивается, что приводит к значительному снижению ставки свопа по сравнению со ставкой фьючерса.
Это фактически превращает спред между фьючерсами и свопами в прокси для самой волатильности. А если это прокси для волатильности, то это означает, что мы можем торговать им.
Поскольку смещение определяется σ^2, мы можем структурировать сделки таким образом, чтобы выразить свое мнение о будущей волатильности, не прибегая к опциону VIX или стрэддлу.
Если вы считаете, что рынок недооценивает будущую волатильность (Long волатильность), вам нужно владеть «выпуклостью» (свопом) и продавать «линейность» (фьючерс). Вы будете продавать фьючерсы и получать фиксированную сумму по свопу. По мере роста волатильности стоимость выпуклости увеличивается, спред расширяется, и ваша позиция приносит прибыль.
И наоборот, если вы считаете, что рынок переоценивает страх (Short волатильность), вам нужно продать «переоцененную» выпуклость. Вы будете открывать длинные фьючерсы и платить фиксированную сумму по свопу. Если волатильность окажется ниже ожидаемой, «страховая премия» по свопу будет потрачена зря. Спред сужается, и вы получаете эту премию в качестве прибыли.
Это одна из самых чистых форм структурной торговли волатильностью в сфере ставок. Вы не просто делаете ставку на направление цены, вы арбитражируете математическую разницу между линейным и выпуклым дисконтированием.
Это подводит нас к заключительному разделу, где мы рассмотрим научные статьи, которые формализовали эту торговлю.
Торговля с учетом асимметричной волатильности
«Асимметричная волатильность в фьючерсах на евродоллар» Галена Бургхардта и Билла Хоскинса (1995)
Это основополагающая статья, которая формализовала все, что мы обсуждали сегодня. До того, как это исследование стало широко известно в середине 90-х годов, многие трейдеры оценивали свопы непосредственно по кривой фьючерсов, не корректируя их с учетом асимметричной волатильности. По сути, они бесплатно отдавали «премию за асимметричную волатильность».
Бургхардт и Хоскинс сделали две важные вещи:
- Они предоставили формулу аппроксимации (выше), которая позволяет трейдерам вычислить справедливую стоимость свопа из фьючерсного стрипа.
- Они продемонстрировали, что смещение не является статическим. Оно меняется вместе с волатильностью. Когда волатильность низкая, смещение незначительно (1-2 базисных пункта). Когда волатильность резко возрастает, смещение может достигать 10, 20 или более 30 базисных пунктов, создавая огромные колебания прибыли и убытков для тех, кто не застрахован.
В некотором смысле, эта статья устранила описанную в ней неэффективность. Как только рынок понял математику, «бесплатный обед» исчез, и смещение стало стандартной, учтенной в цене особенностью мира процентных ставок.
Этот пост уже достаточно длинный, но в будущем я с удовольствием покажу и изучу статьи, которые показывают, как люди сегодня торгуют смещением выпуклости, если это интересно вам всем.
Заключение
Как всегда, эта статья носит образовательный характер и не должна использоваться в реальной торговле или рассматриваться как инвестиционный совет.
Надеюсь, вам понравился сегодняшний пост. Если у вас есть вопросы, комментарии или идеи на будущее, дайте мне знать!