Проблема со средними значениями. Market Sentiment.

Перевод статьи от Market Sentiment.

Больше переводов в телеграмм-канале:

https://t.me/holyfinance

Критерий Келли и распределение портфеля.

Давайте начнем с простой игры.

Вы начинаете со 100 долларов и кидаете монетку. Если выпадает «орёл», вы выигрываете 50% от суммы ставки, если «решка» - теряете 40%. Чтобы показать вам, как это работает

• Первый бросок - орёл - у вас $150 ($100 + $50 выигрыша).
• Второй снова выпал орёл - у вас 225 долларов (150 долларов + 75 долларов выигрыша).
• Третьей выпал решка - у вас $135 ($225 - $90 выигрыша).
• И так далее...

Так и будет, поскольку ожидаемое значение каждого броска положительно. Для первого броска у вас есть 50 % шансов выиграть $50 (50% выигрыша при выпадении орла) и 50% шансов проиграть $40 (40% проигрыша при выпадении решки) => таким образом, ожидаемое значение составляет $5.* Интуитивно понятно, что чем больше вы бросаете, тем больше шансов заработать.

*(50% x $50 - 50% x $40) = $5

Если вы напишете программу, смоделируете этот эксперимент на миллионе участников (1 бросок в минуту) и усредните их результаты, то увидите благоприятную тенденцию.

Именно это подсказывает нам и наша интуиция. Мы бросаем монету, и вероятность того, что мы либо проиграем 40%, либо выиграем 50%, составляет 50/50; в среднем мы должны выиграть.

Но проблема с определением среднего значения заключается в том, что ваш результат может сильно отличаться от среднего. Вы можете сыграть в игру только один раз - то, что средний показатель хорош, не означает, что вы получите отличный результат.

Как говорит доктор Оле Питерс, это все равно что провести опрос клиентов для игры в русскую рулетку и сделать вывод, что это отличная игра.

Чтобы понять, что с наибольшей вероятностью произойдет с вами, человеком, играющим в игру, мы должны смоделировать игру одного человека в течение длительного времени. Здесь мы видим совсем другую тенденцию:

Явление, которое мы наблюдаем, известно как разорение азартного игрока (gambler's ruin). Проницательные из вас, возможно, уже заметили, что выигрыш в 50% по сравнению с проигрышем в 40% - это нечестная игра*. Из-за мультипликативной природы ставок потери оказывают более значительное влияние. Если вы начинаете со 100 долларов и теряете 40 долларов, вы остаетесь с 60 долларами. Чтобы вернуться к $100, вы должны выиграть не 40%, а примерно 67% от новой суммы. Эта асимметрия означает, что для возвращения проигрыша требуется несоизмеримо больший выигрыш.

*Вот упрощенное математическое объяснение того, почему многократная игра приводит к разорению:

Предположим, что W - это ваше богатство, и вы неоднократно ставите на кон часть f от него, где f < 1.

При выигрыше ваше состояние W => W + fW x 0,5.
В случае проигрыша ваше состояние W => W - fW x 0,4.

Со временем, из-за мультипликативного характера потерь, ваше богатство подвержено случайному блужданию с мультипликативным коэффициентом. Произведение ряда прибылей и убытков имеет тенденцию к уменьшению с течением времени (потому что, например, (1 - 0,4) x (1 + 0,5) < 1 ). Многократное умножение уменьшающегося числа почти наверняка будет стремиться к нулю, особенно когда количество ставок приближается к бесконечности.

Учитывая равную вероятность выигрыша/проигрыша, эта асимметрия подразумевает, что в долгосрочной перспективе вы всегда будете проигрывать. Почему же портфель продолжал расти в первой симуляции с 1 миллионом игроков?

Все дело в том, что в симуляции были выбросы.

Рассмотрим, как меняется распределение доходности для 1 миллиона игроков на протяжении 60 бросков (дайте несколько секунд на загрузку гифки):

Из 1 миллиона игроков, которые начинают со $100, после 60 бросков треть игроков остается с менее чем $1. Почти 80% игроков имеют меньшую сумму, чем в начале игры. Но у самого богатого игрока теперь ~$100M.

Благодаря этим нескольким отклонениям средний показатель близок к $2 000 (крутой 20-кратный возврат на первоначальные инвестиции). Но среднее значение не имеет ничего общего с тем, как большинство игроков воспринимают игру. Это проблема эргодичности в экономике, когда средний результат процесса для группы не совпадает со средним результатом для отдельного субъекта.

Фондовый рынок - классический пример неэргодичной системы. Несмотря на то что за последние 100 с лишним лет американский фондовый рынок увеличил богатство акционеров на 47,4 триллиона долларов, все богатство было создано только за счет 1000 лучших акций (~4% от 26 000 с лишним акций). Наиболее распространенная доходность за одно десятилетие «купи и держи» составила -100%.*

Хендрик Бессембиндер (Journal of Investing) - открытый доступ (1), открытый доступ (2)

Понимание того, что инвестирование является неэргодичным, оказывает существенное влияние на то, как мы подходим к принятию инвестиционных решений и распределению активов.

Как выиграть, если у вас есть преимущество?

В любой игре, где вы можете потерять часть своего состояния, если вы играете бесконечно, а ваше состояние ограничено (а оно ограничено), вероятность разорения высока - в конце концов вы всегда столкнетесь с полосой невезения (как мы видели на примере моделирования индивидуальной доходности).

Но это применимо только в том случае, если вы каждый раз ставите на кон весь свой портфель. Лучшим способом было бы сохранить свой портфель и ставить на кон часть своих активов каждый раз. В созданной нами симуляции, если мы просто изменим размер ставки на 20% от портфеля вместо 100%, мы увидим интересный результат.

Сделав это простое изменение, вместо нуля мы теперь получаем сотни тысяч долларов.* Эта оптимизация была первоначально найдена Джоном Келли, который разработал критерий Келли для решения проблем, связанных с шумами телефонного сигнала на больших расстояниях. Но неожиданным преимуществом системы оказалось то, что она позволяет нам максимизировать скорость роста нашего портфеля и при этом минимизировать риск потерять все.

*Мы провели симуляцию для 10 000 участников, и средний результат составил 1,7 миллиона долларов, а медианный - 40 тысяч долларов.

Используя критерий Келли*, мы избегаем слишком больших ставок (что может привести к банкротству при череде неудачных исходов) и слишком маленьких ставок (что не позволит использовать наши преимущества). Хотя этот принцип интуитивно понятен, инвесторы редко используют его в своих портфелях.

f*=p/a-q/b , где:
- f - доля активов, относящихся к ценной бумаге.
- p - вероятность увеличения стоимости инвестиций.
- q - вероятность уменьшения стоимости инвестиций (q = 1 - p).
- a - это доля, которая теряется при отрицательном результате. Если цена ценной бумаги упадет на 10%, то a = 0,1
- b - это доля, получаемая при положительном результате. Если цена ценной бумаги вырастет 10%, тогда b = 0,1.

Использование критерия Келли для инвестирования

На практике фондовый рынок не дает нам фиксированных коэффициентов для работы. Упрощенный способ инвестирования по системе Келли заключается в том, чтобы инвестировать больше, когда рынок недооценен, и инвестировать меньше, когда рынок переоценен.

В исследовании, проведенном Виктором Хагани и Джеймсом Уайтом из Elm Wealth в 2018 году, для определения того, недооценен или переоценен рынок, использовался коэффициент PE Шиллера (CAPE).

Когда коэффициент PE был низким, большая часть средств инвестировалась в акции, а меньшая - в T-bills, и наоборот. Как вы можете видеть ниже, доля вложенных средств резко снизилась незадолго до краха доткомов в 2000 году и снова начала расти. После краха 2008 года произошло значительное увеличение инвестированной суммы.

Эталонный портфель состоял из 65% акций и 35% облигаций. Результаты были следующими (по состоянию на 2018 год):

В обоих случаях, когда инвестиции начинались в 1900 и 1950 годах, реальная доходность при использовании предложенной стратегии выше, чем у портфеля с постоянной пропорцией 65%. Но что более важно, доходность с поправкой на риск выше во всех трех случаях! Инвестор, использующий систему Келли, смог бы справиться с турбулентностью рынка в 2000 и 2008 годах, в то время как у традиционного инвестора волатильность могла бы вызвать панику.

На фундаментальном уровне инвестирование - это всего лишь одна из форм заключения пари. Однако важно, чтобы ставка была сделана таким образом, чтобы это было инвестирование (чистая приведенная стоимость положительна), а не азартная игра (чистая приведенная стоимость отрицательна).
- Билл Гросс, соучредитель PIMCO

Важно понимать, что критерий Келли не может выбирать выигрышные акции, предсказывать движение фондового рынка или генерировать прибыль, когда шансы против вас. Рынок - это не контролируемая среда, где можно точно рассчитать шансы, потому что шансы не статичны.

Лучше всего использовать критерий Келли в качестве мыслительного эксперимента, а не аналитического упражнения. Большинство инвесторов при инвестировании сосредотачиваются только на плюсах. Но критерий Келли заставляет нас думать о минусах, эффективно диверсифицировать портфель и максимизировать шансы, когда у нас есть преимущество.

P.S. Простой и практичный способ начать использовать критерий Келли - рассмотреть вероятность успеха, которую вы выделили на свои самые крупные инвестиции.