Coupon Bonds

Облигации, если платят купон, называются купонными. Частота выплаты купонов по облигации зависит от условий её выпуска и может варьироваться:

Ежегодно (annually): купон выплачивается один раз в год.
Полугодовало (semi-annually): купон выплачивается дважды в год.
Ежеквартально (quarterly): купон выплачивается четыре раза в год.
Ежемесячно (monthly): купон выплачивается каждый месяц.
На конец срока (at maturity): купон выплачивается однократно в момент погашения номинала ⏤ идентично что zero-coupon bond.

Рассмотрим несколько примеров подсчёта yield для облигаций, которые выплачивают купон ежегодно.

Пример 1

Price: $1,000 (цена покупли облигации)
Face value: $1,000 (номинал, выплачивается в момент погашения)
Maturity: in 1 year (срок погашения)
Coupon: $50
Yield: 5%

Пояснение:

Инвестируем $1,000 (price), через год получаем возврат $1,000 (face value) + купон $50.
Прибыль: $50.
Доходность: $50 / $1,000 = 0.05.

Пример 2

Price: $970
Face value: $1,000
Maturity: in 1 year
Coupon: $20
Yield: 5.1%

Пояснение:

Инвестируем $970, a через год получаем возврат $1,000 + купон $20.
Прибыль: $50.
Доходность: $50 / $970 = 0.051

Пример 3

Price: $1,000
Face value: $1,000
Maturity: in 2 year
Coupon: $50
Yield: 5%

Пояснение:

Инвестируем $1,000, каждый год облигация выплачивает купон по $50, а через два года получаем возврат $1,000.
Прибыль: $100 (за два года).
Доходность за два года: $100 / $1,000 = 0.1.
Усреднённая годовая доходность: 1.1^0.5 - 1 = 0.048 (4.8%).

Но это если предположить, что вы ваши купоны не реинвестировали. На самом деле, ваш брокер предполагает, что полученные купоны реинвестируются и показывает yield с учётом этого предположения.

Допустим r ⏤ это тот самый yield, который мы хотим найти. Прямой формулы нет, но условие для r выражаются уравнением:

$50 ∙ (1+r) + $50 + $1,000 = $1,000 ∙ (1+r)²

Слева: это весь доход за два года, с учётом, что один полученный купон в $50 вы реинвестировали с доходностью r.
Справа: ваша инвестиция, которая "равномерно" росла в течении двух лет, с годовой доходностью в r.

Можно решить это квадратное уравнение (или руками, или при помощи компьютерных программ), и получим: r = 0.05.

Пример 4

Price: $94
Face value: $100
Maturity: in 2 year
Coupon: $2
Yield: 5.2%

Пояснение:

Инвестируем $940, через два года получаем возврат $1,000, а также два купона по $20 за каждый год.
Размер инвестиции: $94.
Прибыль за два года: $10.
Доходность за два года: $10/$94 = 0.106.
Усреднённая годовая доходность: 1.106^0.5 - 1 = 0.0518

Как и в предыдущем примере, предположим, что первый купон реинвестируется на один год:

$20 ∙ (1+r) + $20 + $1,000 = $940 ∙ (1+r)²

Решение уравнения: r = 0.0524

Пример 5

Price: $1,000
Face value: $1,000
Maturity: in 5 year
Coupon: $40
Yield: 4%

Пояснение:

За пять лет купонный доход составит: $200.
Усреднённая годовая доходность: 1.2^0.2 = 1.037 (3.7%).

Как и в прошлых примерах, нужно учитывать, что полученные купоны могут быть реинвестированны.

$40∙(1+r)⁴ + $40∙(1+r)³ + $40∙(1+r)² + $40∙(1+r) + $40 + $1,000 = $1,000∙(1+r)⁵

Слева: первый купон, полученный через год, может быть реинвестирован на четыре года, следующий на три и т.д, в конце получаем последний купон и номинал.
Справа: начальная инвестиция растёт пять лет.

Если немного поколдовать, можно упростить уравнение до:

(r - 0.04) ∙ ((1+r)⁵ - 1) = 0

Отсюда очевидный ответ: r = 0.04

Выводы

Брокер нам показывает bond yield подсчитанный с реинвестированием купонов. Если инвестор не реинвестирует купон, или по не знаю или по невозможности технически это сделать, то yield, который будет получен в реальности будет ниже.
Если вы знаете, что реинвестировать купоны будет невозможным, во-первых делайте свои подсчёты yield, а во-вторых, рассмотрите альтернативу: бескупонные облигации.