Законы вселенной отвергают коммунизм. Часть I: Хаос
Экономические утопии – вступление.
Наверное, всем знакома знаменитая фраза «С каждого по возможности каждому по потребности».
Это цитата Карла Маркса, которая очень общем виде постулирует основной принцип коммунистической утопии, в которой всем без исключения доставалось бы всё что им требуется, от тех, кто готов реализовать свои возможности.
Проще говоря, великая цель, реальность, где у всех всё хорошо и слава тебе господи Маркс.
Мир, который существовал бы по этому принципу нуждался бы в трёх базовых вещах:
- Государственная (общественная) собственность на средства производства (производственные мощности, при помощи которых будут создавать блага);
- Система, которая будет отвечать за нормы для всех мировых производственных мощностей (которые пойдут реализовывать те, у кого «есть возможности»);
- Система, которая будет отвечать за нормы потребностей, которые надо рассчитать для каждой сферы и для каждого человека (Для всех тех, кому надо «по потребности»).
В результате мы получаем абсолютную плановую экономику – базис идеальной коммунистической утопии.
(Как я думаю, именно ради подобного рая некоторые индивиды высказывают тезис «Цель оправдывает средства», какой бы при этом не была цель.)
Речь в моей статье пойдёт именно о таком «славном» будущем. Любые политические течения, которые в своей идее подразумевают нынешнюю или будущую (за счёт роста технологий) возможность построения подобной идеализированной экономики.
А именно, я постараюсь путём погружения в естественные и формальные науки, немного приоткрыть завесу тайны устройства вселенной, поставив под сомнение как возможность, так и целесообразность построения подобного вида экономического строя.
Помимо этого, мы так же узнаем много нового о мире и экономике, что также может быть полезно и интересно даже вне спора о центральном планировании.
Меня на эту статью вдохновило сравнение сложности устройства экономики и устройства простого двойного маятника.
На первый взгляд пара маятников – это ерунда для расчётов, но так не сказали бы ни Ньютон, ни Пуанкаре. Задача трёх тел невероятна сложна, а ведь экономика и общество намного сложнее.
Как так получается, что мы не можем в общем виде решить даже эту задачку, всего из трёх элементов (а не плюс восьми миллиардов)?
Ответ – Хаос Неделимый и хаотические системы.
О чём вообще речь? Сейчас разберёмся.
Крыло бабочки – Теория хаоса
Оглавление:
1. Эффект бабочки
2. Путаница терминологии
3. Фазовое пространство – странный аттрактор Лоуренса
4. Бифуркация
5. Фракталы
6. Самоорганизующаяся критичность
1. Эффект бабочки
Небольшой экскурс в прошлое. В конце 60-х метеоролог Эдвард Лоуренс экспериментировал с компьютерными симуляциями погоды. Его исследования положили начало известной нам теории хаоса.
В 1963 году в статье «Deterministic Nonperiodic Flow» Лоуренс приоткрыл завесу вселенной, впервые заговорив о хаотичных системах, странных аттракторах и, подняв вопрос о том, возможно ли в действительности составлять хоть сколько-нибудь долговременные прогнозы.
Говоря упрощённо, Лоуренс использовал систему из трёх уравнений, которые описывали процесс конвекции тёплого воздуха.
Для тех кому интересно подробнее: Он использовал нелинейную автономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка (динамическая система), которая описывала движение воздушных потоков в плоском слое жидкости постоянной толщины при разложении скорости течения и температуры в двойные ряды Фурье с последующем усечением до первых-вторых гармоник, получив её из системы уравнений Навье-Стокса.
Где s, r, b – это параметры (положительные).
Классические значения: s = 10, r = 28 и b = 8/3.
Изначально уравнений было 12, но учёный сократил их количество до трёх степеней свободы.
Каждое значение обозначало ту или иную характеристику атмосферы (например, скорость температура и плотность потока воздуха)
Эта система была закодирована в компьютер Лоуренса, с помощью которого он проводил примитивные погодные симуляции. Компьютер выводил набор значений для каждого из уравнений на каждый момент времени, исходя из заданных, начальных условий:
(Deterministic Nonperiodic Flow 1963. EDWARD N. LORENZ)
Однажды Лоуренс попробовал взять данные из середины одной симуляции и вручную переписал их как начальные условия для новой.
Поначалу данные вычислялись без видимых отклонений, но затем отклонения начали увеличиваться, со временем всё значительнее уходя от прошлых результатов.
Подобный исход эксперимента поразил учёного. В уравнениях не было никого шума, случайностей или же помех. Как из одних и тех же данных можно было получить диаметрально противоположный результат?
Он проверял работоспособность вакуумных ламп компьютера, ПО и точность, вводимых данных, но всё работало абсолютно исправно.
Как выяснилось, дело было не в поломке вычислительной машины или ошибках ввода. Всему виной послужило округление, компьютер считал данные с шестью знаками после запятой, а выводил, округляя до четвёртого знака. Числу из второй симуляции не хватало несколько стотысячных и миллионных значений после запятой (0,00001 и 0,000001)
Любое изменение этих крошечных значений приводило к непредсказуемым последствиям на долговременном промежутке времени.
Спустя время, в публикации 1973 года, Лоуренс придумал пример с бабочкой.
«Взмах крыла бабочки в Бразилии может вызвать торнадо в Техасе»
(Взмах крыльев бабочки за 2000км сопоставим по влиянию с шестым знаком после запятой в значении плотности воздушного потока)
Это был первый случай изучения хаотических систем. Тогда и было сформулировано их основное свойство:
Динамические системы, классифицируемые как хаотические, обладают крайней чувствительностью к начальным условиям.
Впоследствии это свойство стали часто называть «эффект бабочки». Согласно нему, самое незначительное воздействие на хаотические системы может иметь колоссальные и совершенно непредсказуемые последствия.
2. Путаница терминологии
Хаос не стоит путать с случайностью. Рассмотрим три базовых класса систем:
Системы линейного вида (редукционные) обладают свойством аддитивности, все элементы в сумме равны значению целого объекта. Такие системы просты и абсолютно детерминированы. Если вам известно состояние системы в любой произвольный момент времени и функция по которой она меняется, то вы можете рассчитать её значение на всех временных точках.
(Пример: числовая последовательность натуральных чисел – 1, 2, 3, 4, 5, ..., n, … Система детерминирована и периодична)
В нелинейных (хаотических) системах слагаемые не складываются редукционным образом (нет аддитивности). Разбив части системы на слагаемые, изучив их и сложив обратно, получаешь совершенно другой результат, нежели при редукционном подходе. Исходное состояние системы не сможет предсказать, чего ожидать в конце.
Однако они всё так же детерминированы. Правила для них существуют, просто отношения между точками не идентичны и нелинейны.
(Примеры: апериодические числовые последовательности, двойной маятник, погода и т.д.)
Случайные (стохастические) системы недетерминированные, события в них случайны, элементы могут не иметь причинно-следственной связи между собой.
(Пример: несколько последовательных бросков игральной кости)
3. Фазовое пространство – странный аттрактор Лоуренса
Не менее интересным открытием оказалась визуализация полученных результатов. Рисунок в фазовом пространстве из тех самых уравнений.
Каждая ось отображает последовательность значений соответствующего ей уравнения: три степени свободы.
Фазовый портрет системы визуально демонстрирует то, как соотносятся между собой некоторые величины системы.
Аттрактором в простейшем случае является точка, к которой сходятся все ближайшие фазовые траектории или периодичность.
График Лоуренса ведёт себя неестественно и выглядит крайне зрелищно – похож на столкновение галактик. Такое поведение в параметрическом пространстве ранее никогда не встречалось.
Впоследствии подобное стали называть странными аттракторами.
Странные аттракторы всегда имеют рекурсивную и фрактальную структуру.
Между частями графика происходят множественные резкие и непредсказуемые переключения, что в очередной раз наглядно демонстрирует хаотическую природу процесса.
Некоторые заметили сходство между изображением и крылом бабочки, что впоследствии стало символом и эмблемой теории хаоса.
4. Бифуркация
Что делает теорию хаоса настолько глобальной и важной для большинства людей?
Междисциплинарность. Хаос и хаотические системы пронизывают реальность повсюду и, как следствие, являются неотъемлемой частью почти всех наук и сфер человеческого знания. От физики и математики до экономики и философии.
С бабочкой мы уже разобрались, но это лишь верхушка айсберга. Рассмотрим другой, не менее значимый пример хаоса.
Роберт Маккриди Мэй, эколог. Его работы были посвящены динамике роста популяций. Мэя не устраивало то, что давал мальтузианский подход в ключе анализа численности популяций существ и он использовал его усовершенствованную форму:
Это рекуррентное уравнение, которое отображает динамику изменения численности популяции, например, либертарианцев, называется «Логистическое отображение (Фейгенбаума)».
Если оставить только rx, то рост либертарианцев был бы экспоненциально бесконечным. Поэтому справа добавляется сомножитель, который отражает ограничения опасности среды. Икс в этом сомножителе это доля от теоретического максимума популяции и значение переменной от 0 до 1. Если икс достигнет 1, то выражение в скобках даст ноль
Когда коэффициент роста равен некой небольшой константе (1-2), изменения начального значения популяции не влияют на что-либо в долговременной перспективе.
Однако, когда мы строим график зависимости численности популяции от численного значения коэффициента роста, медленно его повышая, перед нами предстаёт удивительная картина:
После пересечения коэффициентом r значения r = 1, популяция либертарианцев растёт, пока не достигнет равновесного значения.
После пересечения значения, равного трём, график x от r делится на два.
Теперь популяция имеет двухгодичный период, каждый год колеблясь между парой значений.
Затем период удваивается ещё, ещё и ещё…
Это называется «Бифуркация удвоения периода». Точки, в которых происходит деление, называются точками бифуркации.
После значения r = 3,53 наступает хаос, скачки численности популяции выглядят абсолютно произвольными.
Несмотря на это, посреди полной беспорядочности вновь появляются стабильные циклы. Так, с дальнейшим возрастанием параметра, неожиданно обозначается промежуток с правильным, хотя и странным периодом, вроде 3 или 7.
Затем работа Мея попала в руки математика Джеймса Йорка – ещё одного основоположника хаоса
«Джеймс Йорк с математической точностью проанализировал описанные явления в упомянутой выше работе, доказав, что в любой одномерной системе происходит следующее: если появляется регулярный цикл с тремя волнами, то в дальнейшем система начнет демонстрировать как правильные циклы любой другой продолжительности, так и полностью хаотичные. Это открытие подействовало на физиков вроде Фримена Дайсона словно электрошок, ибо противоречило интуиции. Им казалось вполне тривиальной задачей построение системы, которая повторяет саму себя в трехволновых колебаниях без всякого проявления хаоса. Йорк доказал, что это невозможно»
(Джеймс Глейк: Хаос. Создание новой науки)
Именно это породило фразу: порядок из хаоса. Следует заметить, что несмотря на наличие некоторой внутренней упорядоченности, это всё так же пример хаотической, нелинейной-детерминированной системы.
Даже такое простое уравнение по расчёту численности либертарианцев, приводит к сложнейшим и непредсказуемым результатам.
5. Фракталы
Самые подкованные читатели уже могли заметить, что бифуркационная диаграмма на вид напоминает фрактал.
Она похожа сама на себя при любых масштабах – это свойство называется самоподобием.
Фракталы – это самоподобные фигуры, составляющие огромную часть видимых, природных объектов. Кристаллы, деревья, облака, горные ландшафты, линия побережья, дендриты нейронов, ветвления бронх и сердечно сосудистой системы.
Всё это принято называть квазифракталами, так как в отличие от идеальных математических фракталов, природные не идеально повторяют сами себя.
Не менее интересны и математические фракталы.
Бифуркационная диаграмма например, является частью (антенной) множества Мондеброта.
Которое задаётся рекуррентным уравнением:
Бифуркационная диаграмма и фрактальная геометрия встречаются повсюду, заставляя учёных заново изучать, казалось бы, простые и давно понятные системы, в самой сути и структуре которых затаился Хаос.
Нет худа без добра: помимо повсеместного обнаружения хаоса учёные также заметили, что он невероятным образом упорядочен.
Пример: 4,669 – постоянная Фейгенбаума, соотношение между одним участком бифуркации и следующим после. Это значение встречается во всех подобных объектах на всех масштабах, словно это заговор. Она неизменный маршал порядка хаотических структур, и это невероятно.
Но есть ещё кое-что, феномен, который в очередной раз характеризует не только сложность прогнозирования хаоса, но и сложность намеренного вмешательства в такого рода системы.
6. Самоорганизующаяся критичность
Самоорганизующаяся критичность или critical threshold — это свойство динамических, хаотичных систем, имеющих точки бифуркации.
«Большие интерактивные системы постоянно путем организации доводят себя до критического состояния, в котором небольшое событие может запустить цепную реакцию, которая может привести к катастрофе… Несмотря на это, композитные системы производят больше небольших событий, чем катастроф, а цепные реакции всех размеров являются интегральной частью динамики… Кроме того, композитные системы никогда не достигают равновесия, но наоборот, эволюционируют от одного метасостояния (т.е. временного состояния) к следующему»
«ТЕОРИЯ ХАОСА И СТРАТЕГИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ» СТИВЕН МАНН
Поведение в окрестности точки бифуркации характеризуется реакцией на малое возмущение, в результате которого система может её пройти, крайне значительно изменив своё поведение.
Типичный пример – модель песчаной кучи.
По мере того, как высыпается песок, склоны горки на платформе становятся всё круче и круче. В какой-то момент, достигнув критического значения, произойдёт оползень. Достаточно одной песчинки, чтобы произошло непредсказуемое схождение непредсказуемого количества песка. В дальнейшем для каждой новой лавины будет требоваться всё так же крайне малое количество песчинок, так как система будет постоянно находиться в критическом состоянии.
«Интересно, что в политической науке существует ряд метафор, которые намекают на критичность. Представление международного кризиса в качестве «пороховой бочки» является наиболее распространенным. Нужно отдать должное, с одной стороны, эта метафора довольно точна: распространение огня в лесу является четким примером хаотической системы и моделировалось Баком, Ченом и Тангом. Как бы то ни было, идея пороховой бочки — как взрывоопасного объекта, ожидающего поднесения спички — кратко передает динамическую природу международных отношений. Новейшей метафорой является концепция «спелости», как ее называет Хаас и др. Эта точка зрения на международные переговоры состоит в том, что некоторые диспуты неразрешимы по ряду причин до тех пор, пока не пройдет определенное время и они не «поспеют». Следовательно, ключ к успешным переговорам лежит в определении и эксплуатации этого критического состояния.»
«ТЕОРИЯ ХАОСА И СТРАТЕГИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ» СТИВЕН МАНН
Манн в своей статье так же утверждает, что мировое политическое сообщество также подвержено динамике самоорганизующейся критичности.
Мозг в целом и нейроны в частности также подвержены этой динамике, так как любое малое воздействие способно вызвать слабо предсказуемое срабатывание целого каскада нейронов.
Все вышеописанные свойства дают нам понять, что хаос – это необычайно сложный и непредсказуемый феномен.
В нём присутствует некий фрактальный и неочевидный порядок, однако нам не только сложно сколько-нибудь долговременно прогнозировать хаос, но и менять его, поскольку мы не знаем как именно наши малейшие вмешательства повлияют на ситуацию, где вызовут лавину, а где ураган.
Думаю, каждый читатель уже понял, как связана эта научная тирада, экономика и Карл Маркс
Но о самом вкусном, а именно о применении всего этого в нашей сфере интересов, читайте в следующей части.