November 6
Решение. Страсти по теореме Ферма (#151)
Предположим, что утверждение неверно, и числа x, y, z является решением уравнения xⁿ+yⁿ=zⁿ. Без ограничения общности можно считать, что x≤y≤z≤n. Тогда
xⁿ = zⁿ-yⁿ = (z-y)∙(zⁿ⁻¹ + zⁿ⁻²y + ⋯ + zyⁿ⁻² + yⁿ⁻¹) ≥ (z-y)∙nxⁿ⁻¹ ≥ (z-y)∙xⁿ
Следовательно, x≥(z-y)∙n и 1≥z-y. Ясно, что z-y>0, поэтому z-y=1, откуда получаем x=y=z=n. Противоречие.