Решение. Задача Пенни (#150)
Ответ: слово «ОРР» выигрывает с вероятностью 7/8, «РРР» – 1/8; средняя продолжительность игры – 7 бросков
Задача Пенни (#150)
Две гусеницы подбрасывают симметричную монету и смотрят на последовательность исходов. Вупсень выигрывает, если выпадает последовательность «ОРР». Пупсень выигрывает, если выпадает последовательность «РРР». Как только на бумаге появляется одна из двух последовательностей, игра останавливается, и соответствующий игрок выигрывает. Каковы шансы выигрыша каждого? Какова средняя продолжительность игры?
Дивертисмент. Муха в тетраэдре (#148)
Мухи виртуозно маневрируют в воздухе, меняя направление полёта практически мгновенно; эти насекомые способны делать резкие повороты и летать задом наперёд. Нашей мухе это очень пригодится, ведь она оказалась внутри правильного тетраэдра. Какое наименьшее расстояние она должна пролететь, чтобы побывать на каждой грани и вернуться в исходную точку? Автор задачи Игорь Фёдорович Шарыгин (1937-2004) – математик и педагог, специалист по элементарной геометрии, популяризатор науки, автор учебников и пособий для школьников. Кстати, некоторые виды мух умеют производить звуки и общаться друг с другом. Но нашей мухе это неактуально. Она в тетраэдре одна.
Муха в тетраэдре (#148)
Муха летает внутри правильного тетраэдра со стороной 1. Какое наименьшее расстояние она должна пролететь, чтобы побывать на каждой грани тетраэдра и вернуться в исходную точку?
Американская тасовка (#147)
Сдающий тасует колоду из 52 карт по-американски: делит колоду пополам, а затем, пролистывая половинки, соединяет их вместе, перемежая ровно по одной карте из каждой стопки. Через какое наименьшее количество тасовок восстановится исходный порядок карт в колоде?
Дивертисмент. Солнечные и Лунные города страны Оз (#146)
Дороги опоясывают весь мир причудливой сетью, связывая людей в самых разных частях мира. Интересно, что даже некоторые из современных скоростных шоссе расположены на том же самом месте, где наши предки проложили дороги несколько тысяч лет назад, потому что уж если прокладывать путь, то по самой удобной траектории, и лучше уже не проложишь.
Решение. Солнечные и Лунные города страны Оз (#146)
Страну Оз можно представить в виде непересекающихся циклов из чётного числа городов, соединённых последовательно чёрными и белыми дорогами. Это мы знаем благодаря задаче Страна Оз (#72). Из каждого города дорога из жёлтого кирпича либо ведёт внутрь цикла, либо наружу.
Солнечные и Лунные города страны Оз (#146)
В стране Оз есть три вида дорог: чёрные, белые и из жёлтого кирпича. Дороги в стране Оз построены таким образом, что они не пересекаются, и из каждого города выходит ровно по одной дороге каждого вида. Город называется Солнечным, если при его обходе против часовой стрелки дороги идут в порядке чёрная, белая и из жёлтого кирпича, и Лунным, если – в обратном. Докажите, что разность числа Солнечных и Лунных городов кратна четырём.