Дивертисмент. Ключи от сейфа (#153)
Слово «комиссия» латинского происхождения, но в русский попало, по всей видимости, из польского в середине XVII века и означало группу лиц, которые имеют полномочия, чтобы уладить какой-то денежный вопрос. Иногда оно значило просто какое-то ответственное поручение или неприятные хлопоты, но сегодня это слово снова называет группу лиц со специальными полномочиями. В общем, речь в нашей задаче пойдёт про очень важных лиц; мы не знаем, какие у них полномочия, но мы знаем, что у них есть ключи от сейфа…
Ключи от сейфа (#153)
Доступ к сейфу имеют 11 членов комиссии. Каким наименьшим числом замков следует снабдить сейф для того, чтобы при определённом наборе ключей любые 6 членов комиссии, собравшиеся вместе, могли его открыть, а любых 5 членов комиссии было бы недостаточно? Укажите, каким образом следует распределить ключи от сейфа с минимальным числом замков между членами комиссии.
Решение. Прямоугольный торт (#152)
Любая прямая, проходящая через центр прямоугольника, делит его на две равновеликие части. Таким образом, друзьям нужно провести разрез по прямой, соединяющий центры упомянутых в задаче прямоугольников:
Прямоугольный торт (#152)
Трое друзей отмечали день рождения одного из них. Праздничный торт имел прямоугольную форму. Именинник вырезал себе прямоугольный кусок произвольного размера и ориентации относительно торта. Как двум друзьям по прямой разрезать оставшуюся часть торта на две равноценные части?
Дивертисмент по теореме Ферма (#151)
Немецкому математику Эдмунду Ландау (не путать с русским физиком Львом Ландау) очень докучали люди, пытавшиеся доказать знаменитую теорему Ферма. Чтобы не тратить время понапрасну, он заказал несколько сотен бланков с уже напечатанным текстом, сообщающим, что в доказательстве есть ошибка в такой-то строке, при этом находить изъян доказательства и заполнять бланки он доверял своим аспирантам. Однако в 1995 году после многих исправлений, уточнений и правок учёным удалось предложить довольно стройное доказательство для теоремы, сформулированной в 1637 году. Впрочем, и это решение критикуют. Попробуйте и вы… но с небольшим дополнительным предположением.
Решение. Страсти по теореме Ферма (#151)
Предположим, что тройка чисел x, y, z является решением уравнения xⁿ+yⁿ=zⁿ. Без ограничения общности можно считать, что x≤y≤z≤n. Тогда
Решение. Задача Пенни (#150)
Ответ: слово «ОРР» выигрывает с вероятностью 7/8, «РРР» – 1/8; средняя продолжительность игры – 7 бросков
Задача Пенни (#150)
Две гусеницы подбрасывают симметричную монету и смотрят на последовательность исходов. Вупсень выигрывает, если выпадает последовательность «ОРР». Пупсень выигрывает, если выпадает последовательность «РРР». Как только на бумаге появляется одна из двух последовательностей, игра останавливается, и соответствующий игрок выигрывает. Каковы шансы выигрыша каждого? Какова средняя продолжительность игры?