Решение. Касающиеся окружности (#156)
Приведём пример для n=4. Самое простое – это четыре окружности касающиеся в одной точке. Оставляем читателю придумать нехитрый пример только с парными касаниями.
Ниже пример для n=6. Отметим, что условие задачи не запрещает пересечение окружностей вне точек касания.
Комбинируя вышеуказанные примеры можно нарисовать любое чётное число окружностей (более трёх).
Покажем, что задача не имеет решения для нечётных n.
Посчитаем количество касаний окружностей в каждой точке касания (относительно каждой окружности) и просуммируем по всем таким точкам. Например, если в данной точке касаются три окружности, то каждая касается двух других. Мы получаем 3 * 2 = 6 касаний. В общем случае, если в данной точке касаются k окружностей, то каждая касается (k-1) других, итого k * (k-1) касаний. Получается, что каждая точка касания вносит чётный вклад в сумму, следовательно, и сумма будет чётной. С другой стороны, по условию эта сумма равна 3n. Поэтому n обязано быть чётным.