Правильный амплитудный спектр дискретного преобразования Фурье
Пусть задана дискретная периодическая функция, которая возвращает последовательность вещественных значений x[k], k=0, … N-1. К примеру, мы получаем такую функцию при дискретизации контура объекта.
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) переводит значения дискретной периодической функции в последовательность комплексных коэффициентов X[k].
Для получения информации о частотных составляющих значений функции, то есть о том, на какие основные синусоиды (гармоники) можно ее разложить, используют амплитуды и фазы коэффициентов Фурье.
Для наглядности значения амплитуд и фаз изображают на двух отдельных графиках, получая амплитудный и частотный спектр.
Как найти амплитуду и фазу коэффициента ДПФ
Для вычисления амплитуды и фазы коэффициента ДПФ X[k] сначала нужно определить его действительную и мнимую части:
Затем вычислить амплитуду A[k] и фазу φ[k]:
Амплитудный и фазовый спектр представляет собой график значений амплитуд и фаз всех коэффициентов.
Если мы изобразим амплитуды так, как они есть, то получим искаженный амплитудный спектр.
Чтобы избежать искажений, значения амплитуд следует преобразовать.
Как правильно преобразовать значения амплитуд ДПФ
1. Нормируем амплитуды. Исходные значения амплитуд учитывают количество значений N. То есть завышают реальный вклад каждой гармоники. Поэтому их следует разделить на N.
2. Убираем симметрию. Коэффициенты ДПФ вещественных значений симметричны относительно центрального сигнала. То есть половина амплитудного спектра является избыточной. Поэтому мы урезаем массив амплитуд наполовину:
3. Удваиваем амплитуды. Величина каждая исходной амплитуда из-за эффекта симметрии разделена на две части. Когда мы берем половину спектра, оставшиеся значения амплитуд, кроме самой первой, необходимо удвоить.
4. Отбрасываем первую амплитуду. Первая амплитуда содержит среднее значение исходных величин. Она бесполезна. Поэтому на графике мы ее не изображаем.
После провденных манипуляций мы построим правильный амплитудный спектр.
