Кривые Лиссажу
Кривые Лиссажу первыми описал американский математик Натаниэль Боудич (Nathaniel Bowditch) в 1815 году. Но популярность кривые получили благодаря работе 1857 года французского математика Жюля-Антуана Лиссажу (Jules-Antoine Lissajous), который досконально их исследовал.
Кривые следует рассматривать в динамике. Статичные они тоже красивы, но в динамике проявляются все их закономерности и правила построения.
Анимация Вильяма Джордана показывает, что кривые возникают из комбинации двух синусоид, расположенных перпендикулярно друг другу. У синусоид совпадают амплитуды, но отличаются частоты и фазы.
Пока вы любуетесь анимацией Вильяма Джордана, кратко напомню о математике кривых.
Кривые Лиссажу описывают параметрические уравнения:
x(t) = A sin(at + d)
y(t) = B cos(bt).
Комбинация параметров определяет форму кривых.
Отношение амплитуд A/B задает пропорции кривых. Кривые Лиссажу вписываются в прямоугольник, если A/B≠1, или в квадрат, когда отношение равно единице. Далее будем считать амплитуды синусоид равными, A=B.
Когда фазы синусоид совпадают (нет фазового сдвига, d=0) и совпадают их частоты (a=b), тогда кривая Лиссажу становится отрезком прямой, повернутым на 45° (и 225°) относительно координатных осей. Если фазы сдвинуты на 180° (d=π), прямолинейный отрезок будет перпендикулярным первому отрезку и повернут на 135° и 315° относительно осей.
При совпадающих частотах (a=b) и отличающихся фазах (d≠0) появляется эллипс, который может выродиться в окружность, когда d=π/2.
Если отношение a/b является рациональным числом, то кривая Лиссажу получается замкнутой. При этом отношение a/b задает число петель в вертикальном и горизонтальном направлениях.
При иных комбинациях параметров кривые Лиссажу получаются запутанными настолько, что могут практически полностью заполнить собой ограничивающий прямоугольник.
Вильям Джордан в статье описал код, генерирующий анимацию кривых Лиссажу
https://chilledwilba.medium.com/how-to-make-gorgeous-lissajous-patterns-in-unity-easy-2f6423bbe045
и также выложил его на Гитхабе:
https://github.com/chilledwilba/Lissajous-Curve
И в английской Википедии, как всегда, хорошо написано про кривые
https://en.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve