Задача о перемещении дивана
Вы скопили достаточную сумму для первого ипотечного взноса и купили квартиру в старом добротном жилом фонде. Квартира оказалась уютной, с высокими потолками и толстыми стенами, но одним небольшим недостатком -- она имеет узкий коридор Г-образной формы.
-- Ничего, -- подумали вы, -- дело житейское, привыкну.
После празднования новоселья в аскетических условиях, вы подумали, что негоже спать на полу и пора прикупить диван.
Диван вы хотите большой. Но L-образный коридор сильно ограничивает ваши мебельные аппетиты -- не каждая мебель через него протиснется.
-- Хм, -- сказали вы, -- у меня есть знакомый мебельщик, он сделает любой диван по моему заказу. Остается только найти такую форму, которая максимизирует площадь дивана и позволит пронести его через коридор, не поднимая, параллельно полу.
Какую же форму должен иметь диван?
Задача заключается в поиске формы дивана максимальной площади, который можно пронести, не отрывая от пола, через Г-образный коридор.
Впервые задачу о диване сформулировал и опубликовал Лео Мозер в 1966 году, хотя и до него ее активно обсуждали в математическом сообществе.
Известно, что Г-образный коридор имеет постоянную ширину. Для удобства примем ее за 1 условный метр. Отсюда следует, что диван должен быть зеркально-симметричным, так как мы должны пронести его как вперед, так и назад по коридору.
Самым простым диваном, удовлетворяющим условию задачи, является квадрат размером метр на метр. Но его площадь будет очень маленькой.
Мы можем увеличить площадь дивана, сделав его полукруглым, где радиус полукруга равен единице. Однако и эта площадь, π/2 ≈ 1,5707, не будет максимальной.
В 1968 Джон Хаммерслей (John Hammersley) вычислил нижнюю границу максимальной площади дивана:
Затем он сконструировал сам диван. Для этого он разрезал полукруг единичного радиуса пополам, вставил между половинками прямоугольный блок длиной 4/π и вырезал в нем полукруг радиуса 2/π.
Площадь дивана Хаммерслея, ≈ 2,2074, долгое время считалась наибольшей, хотя геометры все так же продолжали поиск.
И вот, в 1992 году Йозеф Гервер (Joseph Gerver) нашел диван еще большей площади 2,2195. Прототипом послужил диван Хаммерслея с измененной формой.
Гервер построил фигуру дивана, решив дифференциальные уравнения, описывающие отдельные части фигуры. Но он не смог доказать, что площадь его конструкции является максимально возможной.
И вдруг, через тридцать лет, в 2024 году Джиньон Бэк (Jineon Baek) защищает диссертацию, в которой доказывает что решение Гервера является наилучшим из возможных — Гервер построи диван максимально возможной площади.
Теперь и вы знаете, какой диван следует заказать знакомому мебельщику.
Правда на таком диване не очень удобно спать, но зато он будет математически выверен — а это дорогого стоит.
Недавно, ваш друг тоже купил квартиру, коридор в которой изогнут еще более причудливо — в виде Г соединенного с L. Он также хочет себе большой диван, но диван Гервера не ему подходит, так как он застревает на втором углу.
Оказывается, форму дивана для такого случая тоже известна. Ее описал Ден Ромик (Dan Romik) в 2017 году — это диван-амбидекстр.
Площадь дивана выражается точной формулой.
Она меньше площади дивана Гервера, зато успешно проходит сквозь причудливо изогнутые коридоры.
Теперь вы с товарищем безмерно гордитесь своими диванами, имеющими столь интересную математическую историю.