DeFi. Деривативы. Бессрочные опционы. Перевод
Перевод
Это вольный перевод: paradigm.xyz/2021/05/everlasting-options. Предыдущие части - уменьшайте на 1 итеративно: teletype.in/@menaskop/defi-derivatives-23.
Введение
В этой работе представлен новый тип производного финансового инструмента - бессрочный опцион (everlasting option).
Бессрочные опционы позволяют трейдерам получать долгосрочную экспозицию к опционам без необходимости постоянно переносить (роллировать) позиции, а также без связанных с этим затрат, рисков и усилий.
В статье выводится простая модель ценообразования, основанная на отсутствии арбитража (no-arbitrage pricing model), которая применима не только к бессрочным опционам, но и ко всем бессрочным производным инструментам, использующим механизм funding fee, включая бессрочные фьючерсы (perpetual futures).
Основы опционов
Типы опционов
Для начала кратко рассмотрим наиболее простой вид опционов - европейские опционы. Существует два типа европейских опционов:
- Call (колл). Колл предоставляет владельцу право купить определённый актив (базовый актив, underlier) по заранее установленной цене (страйк) в определённый момент времени в дату экспирации.
- Put (пут). Пут предоставляет владельцу право продать базовый актив по страйковой цене в момент экспирации.
Примеры
Например, пут-опцион на ETH со страйком 3000 долларов и датой экспирации 15 мая даёт владельцу право продать 1 ETH за 3000 долларов в заранее установленное время 15 мая.
Предположим, что в день экспирации рыночная цена ETH (спотовая цена, spot) составляет 2900 долларов. В этом случае трейдер может:
Таким образом фиксируется прибыль в размере 100 долларов. Эта величина называется выплатой (payoff).
Рассмотрим обратную ситуацию. Если трейдер держит пут со страйком 3000 долларов, а в день экспирации ETH стоит 3100 долларов, то продать ETH выгоднее непосредственно на рынке, чем использовать опцион. Следовательно, использовать пут не имеет смысла, и его выплата (payoff) будет равна нулю.
Расчёт выплаты (Payoff)
Хотя европейский опцион может быть исполнен (exercised) только один раз - в строго определённый момент времени в дату экспирации, величину его выплаты можно вычислить в любой момент. По сути, это показывает, сколько стоил бы опцион, если бы его можно было исполнить прямо сейчас.
Для пут-опциона выплата рассчитывается по формуле:
Payoff = max(Strike − Spot, 0)
- чем сильнее цена ETH опускается ниже страйка, тем выше прибыль от продажи ETH через пут;
- если же цена ETH на момент экспирации выше страйка, то продавать ETH на открытом рынке выгоднее, чем использовать пут;
- пут становится бесполезным (worthless), а его выплата равна 0.
Выплата по колл-опциону
Аналогично, выплата по колл-опциону (call) рассчитывается по формуле:
Payoff = max(Spot − Strike, 0)
Если ETH торгуется по 3100 долларов, а у нас есть колл-опцион на ETH со страйком 3000 долларов, срок действия которого истекает сегодня, то мы можем купить 1 ETH за 3000 долларов по опциону и сразу же продать его на рынке за 3100 долларов, получив выплату (payoff) в размере 100 долларов.
Однако если ETH торгуется по 2900 долларов, а страйк колл-опциона составляет 3000 долларов, то использовать опцион невыгодно, поэтому его выплата будет равна 0.
Ценообразование опционов
Как правило, до момента экспирации стоимость опциона выше, чем его текущая выплата (payoff), за исключением некоторых особых случаев.
Рассмотрим пут-опцион на ETH со страйком 3000 долларов, срок действия которого истекает завтра. Предположим, что сейчас цена ETH составляет 3000 долларов. В данный момент выплата по этому путу равна 0.
Однако до завтрашней экспирации цена ETH может снизиться. Если это произойдёт, то к моменту истечения срока действия опцион будет иметь положительную стоимость.
Следовательно, уже сейчас этот пут должен стоить больше нуля, поскольку существует вероятность того, что до экспирации он станет прибыльным.
Одной из наиболее известных и широко используемых моделей оценки стоимости опционов является модель Блэка-Шоулза (Black-Scholes).
На графике ниже показана цена пут-опциона на ETH со страйком 3000 долларов, рассчитанная по модели Блэка-Шоулза, в сравнении с его выплатой (payoff) при различных значениях спотовой цены ETH за один день до экспирации:
Роллирование позиций (Rolling Positions)
Определение
Одно из основных применений опционов - хеджирование, то есть защита от рыночного риска.
Например, если инвестор владеет крупным портфелем ETH, он может купить достаточное количество пут-опционов на ETH со страйком 3000 долларов, чтобы гарантировать себе возможность продать свои ETH не дешевле 3000 долларов за монету, независимо от того, как изменится рыночная цена ETH.
Однако срок действия этих пут-опционов однажды истечёт. Если инвестор хочет сохранить свою защиту, ему придётся роллировать (перекатывать) опционную позицию.
- закрыть позицию по опционам, срок действия которых скоро истекает;
- одновременно открыть новую позицию по опционам с тем же страйком, но более поздней датой экспирации.
Пример
Предположим, инвестор первоначально приобрёл пут-опционы на ETH со страйком 3000 долларов и экспирацией 15 мая.
Когда до экспирации остаётся совсем немного времени, он может:
- продать эти опционы;
- купить такое же количество пут-опционов со страйком 3000 долларов, но уже с экспирацией 15 июня.
Если инвестор хочет сохранять хеджирование постоянно, ему придётся повторять эту процедуру каждый месяц.
Недостатки
Когда инвестор выходит на рынок для роллирования позиции, его контрагентом почти всегда становится участник рынка, называемый маркет-мейкером (market maker).
Маркет-мейкеры зарабатывают деньги тогда, когда с ними торгуют неосведомлённые участники рынка, например инвесторы, которые просто перекатывают свои опционные позиции. Однако маркет-мейкеры теряют деньги, когда торгуют против осведомлённых участников, например тех, кто заранее знает важные новости, способные повлиять на цену ETH.
Поскольку маркет-мейкер не знает, кто перед ним - информированный или неинформированный участник, - он вынужден включать в каждую сделку специальную комиссию, называемую спредом (spread). На рынке опционов спреды обычно особенно велики, поскольку сделки информированных участников могут приносить маркет-мейкерам значительные убытки.
Поэтому роллирование позиций оказывается достаточно дорогой процедурой.
Кроме того, роллирование связано не только с дополнительными расходами, но и с работой и рисками.
- просто забыть вовремя перекатить позицию и остаться без хеджирования;
- случайно нажать не ту кнопку;
- исполнить сделку с ошибкой.
Подобные ошибки могут дорого обойтись. Даже если всё проходит идеально, сама процедура требует времени и вызывает стресс, отвлекая внимание трейдера от более важных и продуктивных задач.
Существующие решения
Уже существует инструмент под названием бессрочный американский опцион (Perpetual American Option).
Однако продажа такого опциона требует от маркет-мейкера принятия на себя чрезвычайно большого объёма риска и неопределённости уже в момент открытия позиции.
Из-за этого бессрочные американские опционы:
Именно существование этого инструмента объясняет, почему авторы называют предложенный ими новый тип опциона Everlasting Option ("вечный" или бессрочный опцион), подчёркивая, что это альтернативный подход к созданию опциона без срока действия.
Фрагментация ликвидности (Liquidity Fragmentation)
Существование большого количества различных дат экспирации опционов приводит ещё к одной серьёзной проблеме - фрагментации ликвидности.
Если маркет-мейкеры вынуждены поддерживать котировки не только для опционов, истекающих на этой неделе, но и для контрактов с экспирацией каждую неделю в течение следующих нескольких месяцев, им приходится распределять свой капитал между множеством разных рынков.
- ликвидность каждого отдельного контракта становится ниже;
- участникам рынка сложнее исполнять крупные сделки;
- становится труднее определить справедливую рыночную цену.
Кроме того, такой раздробленный рынок делает торговлю опционами более сложной, поскольку трейдеру приходится выбирать, с какой именно датой экспирации совершать сделку.
Аналогия с рынком фьючерсов
Традиционные фьючерсные контракты, которые также имеют фиксированную дату экспирации, сталкиваются с теми же проблемами.
Если трейдер хочет получить долгосрочную экспозицию к ETH при помощи обычных фьючерсов с датой исполнения, ему также придётся регулярно роллировать позицию.
- сначала он покупает фьючерс на ETH с экспирацией 15 мая;
- затем, когда срок его действия подходит к концу, продаёт этот контракт;
- после чего покупает аналогичный контракт с экспирацией 15 июня;
- затем повторяет эту процедуру снова и снова.
Как и в случае с опционами, роллирование фьючерсной позиции:
Наличие множества различных дат экспирации также приводит к фрагментации ликвидности на рынке фьючерсов.
Бессрочные фьючерсы (Perpetual Futures)
Бессрочные фьючерсы (Perpetual Futures, или сокращённо Perps), впервые представленные криптовалютному рынку биржей BitMEX в 2016 году, решают перечисленные выше проблемы.
Они позволяют трейдерам сохранять фьючерсную позицию столько времени, сколько потребуется, без необходимости регулярно роллировать контракт. Кроме того, бессрочные фьючерсы объединяют всю ликвидность по одному базовому активу на конкретной бирже в одном инструменте. В результате бессрочные фьючерсы стали чрезвычайно популярными.
Сегодня объём торгов ими достигает десятков, а иногда и сотен миллиардов долларов в сутки.
Механизм работы
В упрощённом виде механизм бессрочных фьючерсов выглядит следующим образом.
Каждый день участники, удерживающие длинную позицию (Long) по бессрочному фьючерсу, выплачивают комиссию за финансирование (Funding Fee) участникам, находящимся в короткой позиции (Short).
Размер этой комиссии рассчитывается как:
Funding Fee = Mark Price - Index Price
- Mark Price - расчётная (маркированная) цена бессрочного фьючерса;
- Index Price - цена базового актива (например, ETH).
Этот механизм финансирования удерживает цену бессрочного фьючерса близкой к цене базового актива. Если цена бессрочного фьючерса становится значительно выше цены ETH, держатели длинных позиций начинают платить высокие комиссии за финансирование. Это стимулирует их продавать бессрочный фьючерс, что снижает его цену и возвращает её ближе к стоимости базового актива. Авторы отмечают, что данное объяснение является упрощённым.
Более подробное описание механики бессрочных фьючерсов приведено в работе The Cartoon Guide to Perps, а ниже в статье представлена строгая математическая модель их оценки.
Примеры
Предположим, бессрочный фьючерс на ETH торгуется по 3100 долларов, тогда как спотовая цена ETH составляет 3000 долларов. В этом случае: Mark − Index = 3100 − 3000 = 100 долларов.
Следовательно, держатели длинных позиций (Long) должны выплачивать держателям коротких позиций (Short) 100 долларов в день (в расчёте на один контракт).
Теперь предположим обратную ситуацию. Бессрочный фьючерс на ETH торгуется по 2900 долларов, а спотовая цена ETH остаётся 3000 долларов. Тогда: Mark − Index = 2900 − 3000 = −100 долларов.
Отрицательное значение означает, что теперь уже держатели коротких позиций выплачивают держателям длинных позиций 100 долларов в день.
Бессрочные опционы (Everlasting Options)
Бессрочные опционы являются аналогом бессрочных фьючерсов (Perpetual Futures), но для рынка опционов.
Трейдер, владеющий бессрочным пут-опционом на ETH со страйком 3000 долларов, фактически всегда сохраняет возможность продать свой ETH по цене 3000 долларов. Для поддержания этой позиции он регулярно выплачивает комиссию за финансирование (Funding Fee).
Однако, поскольку ему не приходится постоянно взаимодействовать с маркет-мейкерами для роллирования позиции, он:
- не платит спреды при каждом продлении позиции;
- не несёт операционных рисков, связанных с роллированием;
- сталкивается с торговыми издержками только при открытии и окончательном закрытии позиции.
Кроме того, поскольку необходимость в многочисленных датах экспирации исчезает, ликвидность становится значительно менее фрагментированной. Правда, в базовой версии инструмента по-прежнему существуют отдельные бессрочные опционы для различных страйков.
Механизм работы
Бессрочные опционы работают практически так же, как бессрочные фьючерсы. Отличие заключается лишь в способе расчёта комиссии за финансирование. Если для бессрочных фьючерсов используется формула:
то для бессрочных опционов она принимает вид:
- Mark - расчётная (маркированная) цена бессрочного опциона;
- Payoff - текущая внутренняя стоимость (выплата) опциона.
Иными словами, вместо цены базового актива используется текущая выплата опциона.
Примеры
Рассмотрим бессрочный пут-опцион на ETH со страйком 3000 долларов, по которому комиссия за финансирование начисляется один раз в день.
Пример №01. Пусть текущая цена ETH составляет 2900 долларов. Тогда текущая выплата по путу равна: 3000 − 2900 = 100 долларов.
Предположим, непосредственно перед начислением Funding Fee бессрочный пут торгуется по цене 150 долларов. Тогда комиссия за финансирование составит:
Mark − Payoff = 150 − 100 = 50 долларов в день.
Следовательно, держатели длинных позиций (Long) выплачивают держателям коротких позиций (Short) 50 долларов в день.
Пример №02. Теперь предположим, что ETH торгуется по 3100 долларов, то есть выше страйка. В этом случае выплата по пут-опциону равна: 0 долларов.
Если непосредственно перед начислением Funding Fee бессрочный пут стоит 50 долларов, то:
Mark − Payoff = 50 − 0 = 50 долларов в день.
Следовательно, держатели длинных позиций снова выплачивают держателям коротких позиций 50 долларов в день.
Интересно отметить ещё один важный факт. Выплата по колл-опциону со страйком 0 долларов всегда равна текущей цене ETH. То есть:
Иными словами, колл-опцион со страйком 0 долларов эквивалентен обычному фьючерсу на ETH. Соответственно, комиссия за финансирование по бессрочному колл-опциону со страйком 0 долларов будет рассчитываться как:
то есть точно так же, как и для обычного бессрочного фьючерса.
Ценообразование
Бессрочные опционы были бы мало полезны, если бы невозможно было определить их справедливую стоимость. К счастью, благодаря приведённому далее в статье доказательству, основанному на отсутствии арбитража (No-Arbitrage), такая стоимость определяется достаточно точно.
Авторы показывают, что бессрочный опцион эквивалентен определённому портфелю обычных опционов, который непрерывно роллируется. Следовательно, цена бессрочного опциона должна совпадать со стоимостью этого портфеля. Если цены начинают существенно расходиться, в дело вступают арбитражёры, возвращая их к справедливому уровню.
Если комиссия за финансирование начисляется один раз в день, эквивалентный портфель состоит из:
- 1/2 опциона с экспирацией сегодня;
- 1/4 опциона с экспирацией завтра;
- 1/8 опциона с экспирацией послезавтра;
- и так далее.
Все эти опционы имеют тот же страйк, что и соответствующий бессрочный опцион.
Можно также создать бессрочный опцион с более частыми начислениями комиссии за финансирование. Например, если финансирование выплачивается каждый час, то каждый час списывается лишь 1/24 суточной комиссии. В этом случае состав эквивалентного портфеля изменяется. Подробные вычисления приведены авторами в Приложении B (Appendix B).
Независимо от выбранной схемы начисления Funding Fee стоимость бессрочного опциона определяется как стоимость этого эквивалентного портфеля. Практически это делается достаточно просто: нужно вычислить взвешенную сумму цен всех входящих в него обычных опционов (при необходимости оценивая вклад очень маленьких долей - например, менее 1/1024 всего портфеля).
Авторы отмечают, что маркет-мейкеры на рынке опционов уже умеют достаточно точно оценивать стоимость отдельных срочных опционов, поэтому вычисление цены бессрочного опциона не представляет принципиальной сложности.
Если использовать классические предположения модели Блэка-Шоулза, которые хотя и не полностью соответствуют реальному рынку, но дают хорошее приближение, то бессрочный опцион с начислением Funding Fee два раза в день будет вести себя почти так же, как обычный опцион с тем же страйком и сроком экспирации через один день.
Эквивалентный портфель (Equivalent Portfolio)
Динамика цены в момент выплаты Funding Fee
Понимание бессрочных производных инструментов с механизмом Funding Fee, таких как бессрочные опционы (Everlasting Options), представляет определённую сложность, поскольку их цена имеет естественный разрыв (дискретность).
Причина заключается в том, что комиссия за финансирование начисляется в строго определённый момент времени, например ровно в полночь. Точно так же, как цена акции изменяется сразу после выплаты дивиденда, цена бессрочного производного инструмента должна скачкообразно измениться сразу после выплаты Funding Fee.
Поэтому, хотя естественно рассуждать о событиях, происходящих "в момент выплаты Funding Fee", такой подход только создаёт путаницу.
При анализе бессрочных производных инструментов гораздо правильнее рассматривать два отдельных состояния:
Такое разделение позволяет избежать неоднозначностей и корректно описывать динамику цены.
Авторы делают интересное замечание. На многих современных биржах бессрочных фьючерсов книги заявок (order books) автоматически не пересчитываются после выплаты Funding Fee, в отличие от фондовых бирж, где после выплаты дивидендов цены автоматически корректируются.
Из-за этого маркет-мейкеры могут становиться жертвами арбитража.
Например, если держатели длинных позиций (Long) должны выплатить Funding Fee держателям коротких позиций (Short), рациональный арбитражёр может:
- открыть короткую позицию буквально за микросекунду до выплаты Funding Fee;
- получить выплату;
- закрыть позицию спустя микросекунду после начисления Funding Fee.
Таким образом можно получить практически безрисковую прибыль.
Интуиция эквивалентного портфеля
Как уже отмечалось ранее, бессрочный опцион, по которому комиссия за финансирование начисляется один раз в день, эквивалентен определённому портфелю обычных срочных опционов.
- 1/2 опциона с экспирацией в момент ближайшей выплаты Funding Fee;
- 1/4 опциона с экспирацией в момент следующей выплаты Funding Fee;
- 1/8 опциона с экспирацией ещё через один период;
- и так далее.
Суммарное количество всех долей опционов в этом портфеле равно:
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 1.
То есть весь портфель эквивалентен одному полному опционному контракту.
Это означает, что в момент очередной выплаты Funding Fee половина портфеля (то есть 1/2 опциона) только что истекла. В этом смысле выплата Funding Fee соответствует стоимости роллирования портфеля.
Другими словами, полученная или уплаченная комиссия используется для покупки новой половины опциона взамен той, которая только что завершила своё существование.
Однако по сравнению с обычным ручным роллированием здесь имеется несколько важных преимуществ. Новые опционы:
- автоматически распределяются между множеством будущих дат экспирации;
- не требуют уплаты спредов маркет-мейкерам;
- не создают риска ошибочного исполнения сделки;
- не требуют постоянного ручного "перекатывания" позиции.
Именно поэтому бессрочные опционы позволяют воспроизводить эффект непрерывного роллирования, устраняя практически все связанные с ним недостатки.
Аргументация (Argument)
Предположим, Алиса удерживает один контракт бессрочного опциона (Everlasting Option), по которому Funding Fee выплачивается один раз в день - ровно в полночь.
Сегодня ночью, в полночь, Алиса должна выплатить комиссию за финансирование, равную:
Давайте разберёмся, что означает этот денежный поток. Цена Mark - это стоимость покупки бессрочного опциона непосредственно перед моментом выплаты Funding Fee. Следовательно, Алиса фактически платит сумму, необходимую для того, чтобы удвоить свою позицию.
С другой стороны, поскольку член Payoff входит в формулу со знаком минус, Алиса одновременно получает выплату (Payoff) - ровно такую, какую получила бы, если бы владела одним контрактом обычного опциона, истекающего в полночь.
Другими словами, если владение бессрочным опционом эквивалентно владению некоторым портфелем обычных срочных опционов, то непосредственно перед экспирацией Алиса удваивает свою позицию по каждому из этих опционов, а затем в момент экспирации получает выплату, соответствующую одному полному контракту.
Это означает, что до момента удвоения позиции Алиса должна владеть ровно половиной контракта опциона, срок действия которого истекает сегодня в полночь.
Продолжая эти рассуждения, если мы хотим, чтобы эквивалентный портфель бессрочного опциона продолжал существовать и после сегодняшней ночи, то после сегодняшнего удвоения позиция Алисы в обычном опционе, истекающем завтра в полночь, должна составлять ровно половину контракта.
Это возможно только в том случае, если до удвоения эта позиция составляла одну четверть контракта.
Обратите внимание, что этот аргумент применим к любому срочному производному инструменту с определённой выплатой (Payoff), а не только к европейским опционам.
Формальное доказательство (Formal Proof)
См. Приложение B (Appendix B) - в оригинальной статье.
Дальнейшие применения (Further Applications)
Предложенная авторами конструкция может использоваться для оценки любого бессрочного производного инструмента с механизмом Funding Fee, если существует возможность оценить соответствующий ему срочный инструмент.
Это относится не только к европейским колл- и пут-опционам. Сюда также входят:
- бессрочные фьючерсы (Perpetual Futures);
- другие производные инструменты с аналогичной структурой выплат.
Кроме того, эта методика применима к бинарным пут-опционам (Binary Puts). Такие опционы выплачивают:
- 0 долларов, если цена базового актива выше заданного страйка;
- 1 доллар, если цена оказывается ниже страйка.
Благодаря этому бинарные путы могут использоваться в качестве прокси-инструмента для оценки вероятности отказа (или сбоя) протокола.
Бессрочные опционы с плавающим страйком (Floating Strike Everlasting Options)
Предложенный подход можно использовать и для оценки бессрочного опциона, страйк которого определяется как экспоненциально-взвешенное скользящее среднее (EWMA) цены базового актива.
Это возможно потому, что существует соответствующий срочный аналог - азиатский опцион с плавающим страйком (Floating-Strike Asian Option). Хотя оценка такого опциона является достаточно сложной задачей, она всё же возможна.
Владение подобным бессрочным пут-опционом фактически позволило бы владельцу ETH в любой момент продать свои монеты по экспоненциально-взвешенной средней цене ETH.
Например, если период полураспада такого среднего составляет один день, то подобный инструмент защищал бы инвестора от резких краткосрочных падений цены ETH.
Поскольку страйк автоматически следует за рыночной ценой ETH, вполне возможно, что одного такого инструмента окажется достаточно для удовлетворения потребностей большинства держателей ETH в хеджировании.
Это, в свою очередь, потенциально позволит сосредоточить значительную часть ликвидности и объёма торгов опционами на ETH в одном рынке, устранив проблему фрагментации ликвидности.
Будущие исследования (Future Work)
По мнению авторов, дальнейшая работа должна быть сосредоточена прежде всего на практических применениях предложенной модели.
Открытыми остаются следующие вопросы:
- Существует ли достаточный рыночный спрос на бессрочные опционы и другие бессрочные производные инструменты с механизмом Funding Fee?
- Какие типы подобных инструментов окажутся наиболее востребованными?
- Как следует выбирать их параметры для достижения максимальной эффективности?
- Каким образом биржи и трейдеры должны управлять рисками таких инструментов?
- Какие критерии ликвидации следует применять при торговле ими с использованием кредитного плеча?
Если у вас есть идеи по этим вопросам или собственные предложения и замечания, авторы будут рады их услышать.