DeFi. Uniswap и опционы. Перевод статей G. Lambert. Часть II
Предыдущие части
См. по ссылке: https://teletype.in/@menaskop/uniswap-options-01
Оценка LP-позиций Uniswap v3: на пути к новой опционной парадигме?
LP-позиции Uniswap v3 можно разложить на выплату по короткому пут-опциону и компонент диапазона.
Стоимость LP-позиции Uniswap v.3 представляет собой сумму:
- короткого пут-опциона, стоимость которого определяется моделью Блэка-Шоулза, и
- диапазонного слагаемого, замкнутая формула для которого выводится с использованием формулы Фейнмана-Каца.
Эту конструкцию можно упростить ещё больше, представив LP-позицию Uniswap v3 в виде пут-опциона с фиксированным временем до экспирации (fixed-DTE), стоимость которого к моменту экспирации сходится к стоимости обычного пут-опциона в момент времени Tr>0.
Сравнение ожидаемой доходности и опционной премии LP-позиции Uniswap v.3 позволяет определить, что выгоднее: держать LP-позицию или "одалживать" её покупателю опциона.
Спойлер: почти* всегда выгоднее "сдавать в аренду" Uni v3-опцион!
Для создания LP-позиции в Uniswap v3 необходимо заблокировать актив (например, ETH) и нумерайр (например, DAI) в пользовательски заданном диапазоне, определяемом нижним тиком tL и верхним тиком tH.
Стоимость такой LP-позиции Uniswap v3 равна:
где S - цена актива, выраженная в нумерайре, K - страйк-цена, равная √(tL · tH), а r - диапазонный фактор, равный √(tH / tL). Диапазонный фактор определяет, насколько "резким" является переход между удержанием базового актива и нумерайра.
В нескольких других публикациях подробно описывал, что стоимость позиции Uniswap v3 для узко заданных диапазонов (то есть позиций в один тик) аналогична короткому пут-опциону. (Прим. Menaskop: см. это в предыдущей части).
А что насчёт длинных опционов? Если существует возможность занять (borrow) LP-позицию Uniswap v3 и вернуть её позже, то это эквивалентно покупке длинного пут-опциона. Пользователь при этом платит фиксированную премию в момент заимствования LP-позиции.
Какой должна быть эта премия? Можно ли использовать устоявшуюся модель, такую как Блэка–Шоулза, чтобы напрямую оценивать LP-позицию Uniswap v3?
В этом посте покажем, как этого можно добиться, разложив функцию стоимости V(S) на:
- компонент короткого пут-опциона, соответствующий позиции в один тик, и
- диапазонный компонент, который существует только внутри границ между верхним и нижним тиками.
Оценка опционов с помощью формулы Фейнмана-Каца
Прежде чем выводить цену "опциона" Uniswap v3, полезно вспомнить, как оцениваются обычные опционы. Существует множество способов вывести цену стандартного колл-опциона в рамках модели Блэка-Шоулза. Мой любимый способ - использование формулы Фейнмана-Каца, которая утверждает, что стоимость опциона u(S,t) определяется следующим образом:
где V(x, T) - функция выплат (payoff) в момент экспирации, а усреднение ⟨ · ⟩ берётся по вероятностной мере геометрического броуновского движения (Geometric Brownian Motion).
Понять смысл формулы Фейнмана-Каца довольно просто: стоимость опциона в момент времени T находится путём вычисления среднего значения функции выплат по всем возможным траекториям движения цены между текущим моментом и будущим временем T.
Физик Ричард Фейнман изначально разработал схожее уравнение в рамках формализма контурных (путевых) интегралов в квантовой механике, где "ожидаемое" положение частицы определяется взвешенной суммой всех возможных путей, по которым частица может двигаться. Марк Кац понял, что они фактически решают одну и ту же задачу, услышав доклад Фейнмана, когда оба работали в Корнелле. Именно из этого пересечения идей и возникла формула Фейнмана–Каца.
Таким образом, если напрямую вычислить формулу Фейнмана-Каца, получим:
Для колл-опциона функция выплат V(S,T)=max(S−K,0), а для пут-опциона V(S,T)=max(K−S,0). Таким образом, стоимость колл- и пут-опциона в момент времени t задаётся следующим выражением:
Доказательство того, что это выражение совпадает с формулой Блэка–Шоулза, оставляется в качестве упражнения для читателя.
Оценка опционов Uniswap v3
Формула Фейнмана-Каца позволяет с лёгкостью вычислять стоимость экзотических опционов. Применим формулу Фейнмана-Каца для нахождения стоимости опциона Uniswap v3.
Чтобы немного упростить задачу, сначала разложим стоимость LP-позиции Uniswap v3 на два отдельных компонента: V(S,t)=Vp(S,t)+Vρ(S,t),
V(S,t)=V_p(S,t)+V_ρ(S,t), где V_p=−max(K−S,0) - выплата по короткому пут-опциону,
а диапазонная выплата Vρ задаётся следующим образом:
Мы можем наглядно увидеть, как выплаты по пут-опциону и диапазонной компоненте соотносятся со стоимостью позиции Uniswap v3: диапазонная выплата достигает максимума в точке страйка и обращается в ноль на верхнем и нижнем тиках (для простоты изображаю отрицательное значение диапазонной выплаты).
Используя это разложение, можем явно вычислить стоимость опциона Uniswap v3 в момент времени t с помощью формулы Фейнмана-Каца. Выполнив это вычисление, получаем:
где Put(S, t) - привычная цена короткого пут-опциона со страйком K, определяемая моделью Блэка–Шоулза. Компонента "диапазонного опциона" ρ(S,t) является строго положительным слагаемым и соответствует стоимости диапазонной части LP-позиции. Решая формулу Фейнмана-Каца, получаем довольно громоздкое выражение для ρ(S,t):
Хотя в данный момент нас не интересуют детали выражения для ρ(S,t), можем наглядно увидеть, что функция ρ(S,t) выглядит следующим образом:
Можно ли упростить это выражение? Выражение для стоимости позиции Uniswap v.3 довольно сложное. К счастью, анализ можно существенно упростить.
Как показывал в своём посте о создании перпетуальных опционов в Uniswap v.3, хорошим приближением для LP-позиции Uniswap v.3 с диапазонным фактором r является обычный пут-опцион в момент времени Tr, где:
Следовательно, можем свести выражение для оценки опциона, получаемое из формулы Фейнмана-Каца, к значительно более простому виду, используя приведённую выше связь между диапазонным фактором и временем до экспирации (DTE). В частности, получаем:
Иными словами, стоимость опциона Uniswap v.3 эквивалентна короткому пут-опциону с фиксированным числом дней до экспирации (DTE), причём на момент экспирации выполняется условие DTE>0.
Цена опциона Uniswap v.3 по-прежнему подвержена тета-распаду до экспирации, однако гамма при этом ограничена значением гаммы пут-опциона с DTE ≈ 45 дней.
Насколько точным является такое приближение?
На рисунке ниже, где сравнивается приближение с фиксированным DTE с вычисленным точным значением опциона Uniswap v.3, видно, что различие между приближением пут-опциона с фиксированным DTE и точным решением несущественно для диапазонных факторов меньше примерно 2:
Соответствует ли доходность Uni v.3 их опционной стоимости?
На данный момент у LP Uniswap v.3 есть только один вариант действий - держать свою позицию до тех пор, пока накопленные комиссии не выведут её в плюс. Пока не существует протокола, который позволял бы пользователям легко занимать или предоставлять в займ LP-позиции Uniswap v.3.
Однако если бы такой протокол существовал, то премия, получаемая поставщиком ликвидности Uniswap v.3 за предоставление своей LP-позиции в займ, определялась бы моделью Блэка–Шоулза с "фиксированным DTE", зависящим от диапазонного фактора r. При этом комиссии также продолжали бы накапливаться, если позицию просто оставить без изменений и собирать комиссию (fee).
Таким образом, в мире, где LP-позиции Uniswap v.3 минтятся, выдаются в займ, заимствуются и торгуются как опционы, ключевой вопрос заключается в следующем: что выгоднее ->
- держать LP-позицию в течение времени T и собирать комиссии 0.05–0.3–1%,
или - сдать в аренду опцион на время T и получить фиксированную опционную премию?
Давайте рассмотрим этот вопрос, проанализировав ожидаемую доходность в обоих сценариях.
1. Удержание LP-позиции Uniswap v.3
Сначала можем воспользоваться выражением, выведенным в моём предыдущем посте, чтобы определить ожидаемую выплату по LP-позиции Uniswap v.3. В частности, если ликвидность размещена в одном тике, то ожидаемая доходность LP для единичного объёма ликвидности ΔL равна:
где y - это уровень комиссии (то есть 0.01, 0.003 или 0.0005), а "ликвидность тика" - это объём ликвидности в пуле на текущем тике. Множитель
8/π=1.5957691216 возникает при выводе времени, в течение которого позиция находится in-the-money (ITM), при предположении, что цена следует геометрическому броуновскому движению.
Ключевой момент здесь заключается в том, что ожидаемая доходность растёт пропорционально T. Следовательно, поскольку для более широких позиций комиссии накапливаются линейно со временем (подробнее см. соответствующую статью), далее будем рассматривать только позиции в один тик.
Важно отметить, что это означает зависимость доходности LP от общего объёма торгов в пуле и общей ликвидности на том тике, где размещена позиция.
В приведённом ниже примере рассматривается позиция, размещённая на тике 3990 в пуле ETH-DAI-0.3%. Поскольку суточный объём торгов в этом пуле составляет $15.71 млн, а на тике 3990 заблокировано 70.60 ETH = $281 694, ожидаемая относительная доходность LP составляет примерно 1.6% на день или около 30% в год (при предположении 100% годовой волатильности).
Для сравнения, если разместить ту же ликвидность в схожем пуле, например ETH-USDC-0.03%, получим, что LP-позиции приносят около 1.37% на день или 26.2% в год. Некоторые пулы генерируют более высокую доходность, чем другие. YMMV (ваши результаты могут отличаться от результатов автора).
Некоторые пулы демонстрируют "дикие" (прогнозируемые) значения доходности - в основном из-за того, что у них относительно низкая ликвидность на тик по сравнению с объёмами торгов.
Например, у недавно залистенного токена RBN на текущем тике заблокировано всего $500 тыс., тогда как объём торгов составляет $25 млн. Расчёт доходности LP для пула RBN-ETH 1% оставляется в качестве упражнения для читателя.
2. Предоставление LP-позиции Uniswap v.3 в займ покупателю опциона
С другой стороны, можно заминтить LP-позицию Uniswap v.3 и передать её другому пользователю в займ на время T за опционную премию.
В частности, получаемая премия будет равна:
Это привычное выражение для стоимости короткого пут-опциона, за исключением того, что время было сдвинуто в соответствии с преобразованием
t→(t+Tr).
Данное выражение зависит от конкретного базового актива, страйк-цены KK, подразумеваемой волатильности σσи времени до экспирации TT. Если рассмотреть случай, когда опцион минтится at-the-money (ATM), то есть страйк LP-позиции K равен текущей цене, тогда стоимость пут-опциона упрощается до:
Интересно, что это выражение также зависит от квадратного корня времени. Это означает, что можем напрямую сравнить премию, получаемую на единицу размещённой ликвидности, с ожидаемой доходностью от удержания LP-позиции и сбора комиссий.
Если рассматривать позицию в один тик, то Tr стремится к нулю, а (T−t) будет представлять собой время, в течение которого позиция удерживается (если она удерживается до экспирации).
Следовательно, нам достаточно сравнить множители при члене T, чтобы определить, какая стратегия является наиболее выгодной:
При предположении годовой волатильности 100%, это означает, что удержание LP-позиции будет приносить доходность выше, чем сдача опциона в займ, только если отношение дневного объёма торгов к ликвидности на тике превышает:
Фактический дневной объём торгов, ликвидность на тике и реализованная волатильность должны рассчитываться для каждого пула отдельно, чтобы точно определить, выполняется ли приведённый выше критерий (который может отличаться от пула к пулу).
В качестве примера ниже привожу список 17 крупнейших пулов на данный момент по объёму торгов за 24 часа с сайта info.uniswap.org и добавляю колонку, показывающую, выполняется ли условие выгодности удержания LP-позиции (4-я колонка; отношение нормализовано к годовой подразумеваемой волатильности 100%).
Некоторые пулы действительно имеют большой дневной объём торгов по сравнению с объёмом заблокированной в них ликвидности. Удержание позиции в таких пулах будет приносить ожидаемую доходность выше, чем опционная премия, только если коэффициент удержания (hold ratio) превышает 1.
На данный момент только пулы UNI/ETH, HEX/USDC и RBN/ETH, выделенные выше, обеспечивают более высокую доходность при удержании позиции. Удержание любой пары с коэффициентом удержания < 1 будет проигрывать стратегии сдачи позиции в займ в виде опциона.
Иными словами, для большинства торговых пар Uniswap v3 выгоднее сдавать LP-позицию в займ как ATM-опцион, чем удерживать её и собирать комиссии.
Вывод (выделен жирным, потому что это важно): Почти всегда выгоднее сдавать LP-позицию Uniswap v3 в виде короткого ATM-пут-опциона, чем просто удерживать её.
Полученные результаты показывают, что позиции Uniswap v3 аналогичны коротким пут-опционам и что в большинстве случаев более выгодно передавать их покупателю опциона и получать премию, чем просто держать позицию и собирать комиссии.
Во-первых, это указывает на то, что формирование здорового рынка опционов на базе Uniswap v3 (или будущих пулов концентрированной ликвидности SushiSwap) с высокой вероятностью увеличит доходность поставщиков ликвидности.
Во-вторых, LP будут не только получать более высокую доходность, но и покупатели опционов смогут защищать свои инвестиции, приобретая пут-опционы, которые можно без разрешений разворачивать на любом страйке и для любых торговых пар. Опционы на пары ETH-стейблкоин могут эффективно обслуживаться такими протоколами, как Opyn, Pods Finance или Lyra Finance, однако создание смарт-контрактов для торговли опционами на все возможные пары активов (а в "длинном хвост" Uniswap существуют десятки тысяч рынков) является сложной задачей.
Наконец, необходим культурный сдвиг в том, как участники рынка воспринимают размещение позиций концентрированной ликвидности в Uniswap v3 или SushiSwap. Хотя AMM с постоянным произведением проще для понимания и управления, они подвержены значительным потерям от непостоянства (impermanent loss) и являются крайне неэффективным использованием капитала по сравнению с AMM с концентрированной ликвидностью.
Нахождение на короткой стороне опционной торговли по своей природе является прибыльной стратегией (поскольку подразумеваемая волатильность часто превышает реализованную), однако управление портфелем коротких опционов не является пассивной стратегией "купил и держи". Короткие опционы, а значит и LP-позиции Uniswap v3, требуют активного управления. При этом активное инвестирование не означает постоянный мониторинг графиков и торговлю каждую минуту. С правильными инструментами активное управление занимает менее пяти минут в день.
В завершение хочу поблагодарить Lucas Kohorst за полезные комментарии. Если вам интересны эти идеи, пишите мне в личные сообщения в Twitter @guil_lambert или на электронную почту guil.lambert@protonmail.com.