Записки о кибернетике | Андрей Колмогоров. Модели и аксиоматика. Математики и физики

/ Избранные фрагменты из трёх статей академика А. Н. Колмогорова «О системе основных понятий и обозначений для школьного курса математики» (1971), «О воспитании на уроках математики и физики диалектико-материалистического воззрения» (1978), «Согласование преподавания математики и физики» (рукопись).

/ А. Н. Колмогоров «Логика и основания математики: педагогические и мировоззренческие проблемы» / М.: «Луч», 2020.
/ Кармен-эссе (Р.Богатырев, 2021).

—
Вместо предисловия. Недавно удалось раздобыть небольшую брошюру по линии СУНЦ МГУ (Школа-интернат им. А. Н. Колмогорова). В ней наряду с обсуждением вопросов преподавания математики в школе есть ряд весьма интересных мыслей, которые носят важный мировоззренческий характер.

Это особенно ценно, поскольку звучат из уст крупнейшего математика XX столетия, академика Андрея Николаевича Колмогорова (1903-1987). Статьи эти не пропали благодаря архиву А. М. Абрамова, выпускника СУНЦ МГУ 1964 г. Брошюра издана тиражом 400 экз. В Интернете текстов этих мне найти не удалось. Пришлось перенабирать вручную.

К математике в школе, полагаю, у многих отношение скептически-сдержанное: была и была. Чему-то научила. Кому-то помогла в жизни и научной работе. Хотя в плане науки мы всё же больше опираемся на вузовское обучение.

Увы… Многие важнейшие вопросы мышления, если они не закладываются в школьные годы, потом выливаются в серьёзные пробелы мышления. Здесь, как и в футболе: если юный футболист не прошёл хорошей школы, то в команде мастеров, а тем более в сборной страны свои пробелы он уже вряд ли залатает. Опасность в том, что пробелы математического образования вырабатывают чрезмерно завышенные ожидания в смысле всемогущества науки и абсолютизации её достижений.

Если говорить о центральной роли математики в школе, то важен единый универсальный язык, единая терминология в плане логики рассуждений и доказательств. Логика и теория множеств создают такой фундамент.

И конечно два ключевых момента: понимание аксиоматики и построение моделей — вот, что необходимо закладывать ещё в средней школе. Такова позиция А. Н. Колмогорова. Любая наука имеет дело с моделями, с абстракциями действительности. А потому крайне важно понимать, что именно в моделях неизбежно упускается, игнорируется, где границы их применимости и как должны соотноситься воззрения на одну и ту же задачу с высоты птичьего полёта (математика) и с поверхности грешной Земли (физика).

А теперь мысли и рассуждения А. Н. Колмогорова…

—

≪ Надо иметь в виду главную цель выработки у учащихся владения отчётливым языком математических понятий. Цель эта оперативная: создание адекватной базы для решения реальных задач. <…>

Несомненно, что учащиеся должны овладеть техникой ведения доказательств и должны познакомиться с принципиальной возможностью дедуктивного построения больших математических теорий. Но нет никаких оснований лишать их права пользоваться точно формулированными и имеющими ясный наглядный смысл достижениями науки из-за того, что их дедуктивное обоснование, отправляющееся от небольшого числа аксиом, слишком громоздко.

Стремление к уточнению математического языка как словесных формулировок, так и символических записей обосновывается в наше время вовсе не только желанием угнаться за современным уровнем математической науки — автоматизация вычислительных и логических операций является характеристической чертой всего современного развития техники. Язык же программирования автоматических вычислений и переработки информации неизбежно должен быть полностью корректным с формальной стороны.
Современное построение школьного курса математики требует некоторых минимальных сведений из теории множеств и логики. Необходимый их минимум на все десять классов весьма скромен.

<…>

Математическая модель явления, как правило, это явление схематизирует. Поэтому она даёт правильные предсказания лишь в некоторых пределах… За этими пределами математическая модель теряет смысл и при её бездумном применении приводит к ошибочным и бессмысленным результатам.

Общеизвестны ставшие классическими примеры. Ньютоновская механика при обычных земных скоростях объективно правильно отражает реальные явления, но при скоростях, сравнимых со скоростью света, перестаёт быть применимой — приводит к противоречию с опытом. За пределами годности ньютоновской механики действует уже другая — механика теории относительности Эйнштейна. <…>

Для беседы о различии подходов математика и физика можно обратиться к числу Пи — отношению длины окружности к её диаметру. В младших классах мы, по существу, следуем к подходу к делу физика. Измеряя диаметр блюдца и его периметр, после деления получаем приблизительно Пи = 3,14. Современная наука и техника требуют знания этого отношения с много большей точностью. <…>

Суть различия между подходами к делу математика и физика популярно можно объяснить так. И тот, и другой, отправляясь от некоторого запаса наблюдений, создают схематические модели реальных явлений. Математик, взявшись за изучение такой модели, изучает последовательно все следствия из положенных в основу модели допущений, хотя бы они далеко выходили за рамки исходных наблюдательных данных. Физик проверяет соответствие модели новым наблюдениям и при обнаружении расхождений переключается на создание более гибкой модели, содержащей первоначальную модель лишь в качестве первого приближения.

Раскрыть все пути плодотворного сотрудничества математиков и физиков и является увлекательной задачей межпредметных связей. Когда-то мне случалось преподавать в одном и том же классе математику и физику. Но я при этом любил подчёркнуто делать различие, говоря, что сейчас я буду рассуждать как математик, а в другой раз выступать как убеждённый физик. <…>

По поводу моего доклада я хочу ответить И. К. Кикоину. Слово «модель» получило такое широкое распространение в популярной литературе, что нам не следует оберегать учащихся от его разумного употребления. Надо лишь подчёркивать, что, создавая схематизированные модели действительности, мы получаем вполне реальное знание о самой действительности. Лишь за пределами своей применимости модель теряет реальное значение и должна быть заменена новой, более совершенной. <…>

И математики, и физики, изучая природу, действительность, всегда, по существу, строят модели и рассуждают на этих моделях. Мне кажется, между прочим, в наше время и самим школьникам очень важно, особенно в наших школах, давать некоторое достаточно ясное представление об основных научных методах. В частности, это слово «модель» употреблять достаточно систематически.

Понимаете, к сожалению, сейчас у нас оно популярно в литературе и наиболее модно там, где оно не очень нужно. Бывают разные модели социализма, бывают разные модели семьи и т. д., а как раз ни в математике, ни в физике это слово обычно не употребляется. Между тем, оно очень существенно. Действительность всегда изучается на моделях, где что-то выбрасывается.

Если вы описываете действительность на каком-то языке, то вы должны уже что-то выбросить. Описать полностью никакой предмет нельзя — сложность его неисчерпаема. Вы действуете или при помощи интуиции, или при помощи логических рассуждений (коротко пишем «логика»). Но на самом деле, интуиция ещё до занятий в школе заряжена чрезвычайно богатым содержанием. До того, как люди начнут изучать научные курсы физики, математики, они очень много умеют себе представлять. Это такая донаучная зарядка. Но, а теперь, когда мы действуем, когда физик работает, что он делает?

Он двигается, он наблюдает действительность. По неформальному соображению придумывает, как бы её упростить, как бы описать. <…> Физики всё время возвращаются к сличению с действительностью, и поэтому они могут несколько пренебрегать логикой, именно поэтому могут. Иногда это бывает безвыходно, потому что, если они не совсем аккуратно рассуждают, то сличение с опытом их поправит.

Единственное отличие позиции математиков заключается в том, что математик тоже изучает модели, которые возникли не формально, а интуитивным путём из наблюдений действительности. Ну, хотя бы геометрии. На то она когда-то и называлась землемерием. Но разница в том, что построив модель, математик обсасывает её со всех сторон. Для него она делается самостоятельным объектом, от которого он уже не отказывается. Он будет её изучать последовательно, пользуясь своими интуитивными соображениями, проверяя всё время путём логических рассуждений. А если он вернётся к действительности, то это значит, что он начнёт новую математическую теорию.

Физики потребуют, чтобы он построил какую-то новую теорию. А если уж я — математик занялся евклидовым ли пространством, трёхмерным или n-мерным векторным пространством, вновь я к действительности не буду обращаться, буду всё время здесь только вертеться.

Что касается роли интуиции, она для настоящей работы математика, а значит, и для тренировки школьников играет, конечно, тоже вовсе не меньшую роль, чем физика. Разница только в том, что каждый раз построенная модель изучается математиком до конца. Он старается, независимо от того, совсем точно она применима или не совсем, изучать её свойства.

Каким образом формулируется содержание данной модели? Модель как-то из чего-то надо строить. Ну, скажем, модель реального физического пространства строится из множества точек, в котором выделены прямые в виде подмножеств и т. д.

Сначала мы фиксируем всё, что, может быть, в идеализированном виде, заимствуем собственно из действительности. А потом начинаем строить запас моделей того, что мы не встречаем. Так мы поступаем, когда изучаем геометрию абстрактных пространств. Много моделей независимо от того, имеют они форму действительности или нет. Свойства каждой модели, если говорить на современном языке, формулируются в виде системы аксиом. Также поступают в некоторых случаях и физики.

Такое аксиоматическое построение, скажем, в специальной теории относительности, — вещь доступная, как раз, нашим школьникам. В математической школе — это вполне интересная и доступная тема. Так что в этом отношении у математиков и физиков нет расхождений. <…>

Аксиоматические методы есть способ описывать структуры, состоящие из каких-то предметов или объектов. Но для математики, чисто математических предметов (математика несколько идеализирует действительность) в этом понимании — это понятие, которое достаточно содержательно и интересно для физиков. Иногда это называют аксиомами, иногда — скажем, основными законами механики. Другое дело, современный аксиоматический метод математики, который формализует полностью все способы рассуждения…

Современный подход к математике — это тот, где сама теория воспринимается просто как совокупность формальных знаний, с аксиомами и правилами вывода. <…> Мне представляется, что такие разговоры о том, что физика — не математика, так как физики должны понимать существо дела, а математики вычислять, могут возникать только тогда, когда математику плохо преподают…

Математика не есть часть естествознания. В принципе она одинаково приложима всюду… Математики пользуются интуицией, а не только математической логикой. Ведь в логике и выкладках машина, скорее всего, превзойдёт человека… Интуиция возникла из реального мира.

Главное преимущество человека перед машиной — это наличие навыков «быстро двигаться». То, что нам нравится, — продуктивно. Это хорошо. Вся человеческая культура проще, чем устройство одного человеческого организма. Природа смогла, а люди, в принципе, — нет. ≫

—
• Фото: Александр Свиридов (Канада), 2019.
• Название: «Live Painting».

—
• От маргиналий к кармен-эссе: http://proza.ru/2020/02/07/2064