№10 ЕГЭ. Теория вероятности.

В №10 используется не только классическое понятие вероятности - отношение подходящих (устраивающих нас) вариантов к количеству всех вариантов, но и теоремы о вероятностях.

Давайте попробуем отталкиваться от логики в этих задачах:

Если есть два несвязных друг с другом события, например, Маша вымоет пол у себя дома, а Алена вымоет посуду у себя, то вероятность обоих событий будет складываться из вероятности наступления каждого события в отдельности, потому что одно событие на другое никак не повлияет.

А если Маша сможет вымыть пол, когда Алена вымоет посуду, то в таком случае одно событие должно идти следом за другим и тогда вероятность того, что оба события свершатся считается через перемножение вероятностей наступления событий (чем больше взаимосвязанных событий, тем меньше вероятность, что они произойдут один за другим, логично).

В том случае если порядок событий не важен и Маша может мыть пол пока Алена может мыть посуду, то говорится о том, что эти события могут происходить одновременно или не происходить, или может происходить одно из них, и вероятность наступления обоих событий тогда считается по третьей теореме.

В магазине есть товар "стекло", мы не можем выбрать стекло именно с 1 фабрики или именно со 2 фабрики, значит вероятность взять брак в магазине будет складываться из вероятности брака на 1 и брака на 2 фабрике.

Теперь как взять брак на первой фабрике? Для этого сначала должна данная фабрика произвести свой процент стекол, а потом из этого количества стекол она должна сделать часть бракованными, значит тут одно событие следует за другим и будет перемножение вероятностей.

Сделаем дерево событий:

Красным выделены интересующие нас события, между ветвями вероятности складываются, а в пределах одной ветви события связаны и вероятности перемножаются.

Ответ - 0.043

Рассмотрим какие вообще существуют варианты? Либо кофе будет в первом автомате, либо во втором, либо в обоих будет, либо в обоих не будет. В данном случае будет использоваться третья теорема.

Как можно проиллюстрировать то, что нам дано?

Суммарная вероятность составляет 1=P1+P2-P3+P4. Почему так? Потому что P3 входит в P1 и P2, поэтому чтобы не учитывать два раза одно и то же, мы вычитаем P3.

Тогда Р4=1-Р1-Р2+Р3=1-0.25-0.25+0.10=0.6

Ответ - 0.6

Попадание - 0.6, значит промах - 0.4.
Результат зависит от каждого броска до этого, значит Р=Р1*Р2*Р3*Р4 Р=0.6*0.6*0.4*0.4=0.0576=0.06, если округлять до сотых.

Ответ - 0.06

Если в первый раз выпало 2, а в сумме выпало 6, значит второй раз обязательно выпало 4 со 100% вероятностью.
Всего комбинаций получить 6 очков на паре кубиков: 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1.
Нам подходит 1 вариант из 5 возможных комбинаций, чтобы обязательно потом выпало 4, значит P=1/5=0.2

Ответ - 0.2

Каждая лампа имеет два варианта - горит или нет. Значит возможных комбинаций вариантов 2*2*2=8 комбинаций горения ламп, но нас интересует те, комбинации, где хотя бы одна лампа не перегорит, то есть хотя бы одна лампа горит!
Но проще посчитать вероятность того, что никакая лампа не будет гореть, потому что это два противоположных друг другу события, дающие в сумме 1.

События обязательно должны сойтись вместе, значит вероятность отказа трех ламп Р'=Р1*Р2*Р3=0.3*0.3*0.3=0.027
Тогда Р=1-P'=1-0.027=0.973

Ответ - 0.973

Нам не важно где будет сидеть Оля, но нам важно, чтобы в ее группе из оставшихся 12 человек была Аня (которая 1 из 25 оставшихся человек в классе), а после этого на одном из 11 оставшихся мест была Юля ( 1 из 24 оставшихся в классе).
Получается вероятность Р=12/25*11/24=0.22

Ответ - 0.22

Эта задача аналогично заданию из варианта 1 (см. выше), только от нас как бы хотят, чтобы мы нашли процент производства всех яиц на первом хозяйстве (Р1).
Учтем, что все оставшиеся проценты (1-Р1) производятся тогда на втором хозяйстве, и запишем уравнение как в первой задаче:

Р1*0.95+(1-Р1)*0.45=0.6

Раскроем скобки и найдем Р1:

Р1*0.5=0.6-0.45
Р1=0.15:0.5
Р1=0.3 или 30%

Ответ - 30%

Давайте сделаем эту задачу перебором?

Учтем, что вероятность попасть - 0.2, значит вероятность промаха - 0.8. После попадания дальше он не стреляет!

Если патрон 1, то вероятность попасть 0.2 - мало

Если патрона 2, то он может сразу попасть или сначала промазать, а потом попасть, значит вероятность 0.2+0.8*0.2=0.36 - близко, но мало

Если патрона 3, то или он сразу попадает, или попадет со второго раза, или с третьего, значит вероятность 0.2+0.8*0.2+0.8*0.8*0.2=0.36+0.128=0.488 - больше 0.4, значит подходит.

Ответ - 3 патрона

Вариантов снова 4 как в варианте 3 (см. выше). Нас интересует вариант когда ни один, ни другой не доставят вовремя. События друг на друга не влияют.

Р1=0.15 - вероятность, что второй не доставит
Р2=0.2 - вероятность, что первый не доставит
Р3- вероятность, что не доставят оба одновременно
Р4=0.8*0.85=0.68 - вероятность, что доставят оба одновременно

1=Р1+Р2-Р3+Р4

Тогда Р3=Р1+Р2+Р4-1=0.15+0.2+0.68-1=0.03

Ответ - 0.03

Выберем сначала девочку из 11 человек и посадим её на первый стул (2/11). Теперь посадим мальчика на второй стул, их 9 штук из оставшихся 10 человек (9/10), теперь остается 1 девочка из 9 оставшихся человек на третий стул (1/9).

А можем посадить первую девочку на второй стул, мальчика - на третий, девочку- на четвертый и т.д. Получается 11 вариантов посадки первой девочки и дальнейшей рассадки остальных. События могут произойти одновременно, значит перемножение вероятностей.

Получается Р=2/11*9/10*1/9*11=0.2

Ответ - 0.2

Если должны быть два первых фломастера красные, то значит вероятность достать красный из всех Р1=4/6 (красный из всех) и P2=3/5 (красный из оставшихся), а Р3=2/4 ( синий из оставшихся).

Р=Р1*Р2*Р3

Получается Р=4/6*3/5*2/4=1/5=0.2

Ответ - 0.2

Задача как в варианте 1. Построим дерево и посчитаем вероятность.

Ответ - 0.097

Итак, первый вариант " стрелок поразит ровно пять мишеней" значит, что все выстрелы будут в цель. Вероятность события Р1=0.5*0.5*0.5*0.5*0.5
Второй вариант "поразит ровно три мишени", причем не сказано какие конкретно были мимо. Но вероятность события из двух промахов и трех попаданий Р2=0.5*0.5*0.5*0.5*0.5 (вероятность попасть и вероятность промахнуться = 0.5)

Посчитаем варианты второго события ("+"-попал, "-"-промахнулся) и составим отношение:

Ответ - 0.1

Либо есть хотя бы один не занятой, либо никто не занят, либо заняты все, тогда вероятность занятости всех Р=0.7*0.7*0.7=0.343

Ответ - 0.343

Берем сначала зеленую кружку, потом блюдце: Р=30/50*30/50=900/2500=0.36

Ответ - 0.36

Начнем с посадки одного мальчика на стул

3/6 - вероятность посадить мальчика на стул
3/5 - вероятность посадить девочку на соседний стул
2/4 - вероятность посадить мальчика на соседний стул
2/3 - вероятность посадить девочку на соседний стул
1/2 - вероятность посадить мальчика на соседний стул
Остается девочка ,которая сядет там, где останется место.

Получается 3/6*3/5*2/4*2/3*1/2=0.05

Но мы можем сажать сначала девочку и так далее, получается два варианта рассадить в нужном порядке, тогда Р=0.05*2=0.1

Ответ - 0.1

Порядок не задан, значит берем синий (8/25) * красный (9/24) или красный (9/25) *синий(8/24) фломастеры.
Получается

Р=8/25*9/24+9/25*8/24=0.24

Ответ - 0.24

Если команда А победила в трех раундах и заняла крайнюю позицию, то какой она была и с какой вероятностью?

1234 1245 1256 1345 1356 1456 2345 2356 2456 3456
1235 1246 1346 2346
1236

Всего вариантов 15 сыграть 3 раунда.

Команда №4 победила №1,2,3 с вероятностью 1/15.
Значит играть дальше №4 будет с №5 или №6 и проиграет судя по тому, что 5 и 6 побеждали бы №4 в первых трех турнирах. Вероятность выиграть раунд = 0.
Команда №5 победила 3 раунда с вероятностью 4/15. Значит играть дальше будет с №1, №2 или №3, или №4 или №6, причем либо победит №1-4 команды, либо проиграет 6 команде, если будет с ней играть. Вероятность выиграть в следующем раунде 1/2. Команда №6 победила с вероятностью 10/15
Команда №6 победила всех, поэтому она точно с вероятностью 1 выигрывает следующий раунд.

Р=Р4*0+Р5*1/2+P6*1=1/15*0+4/15*1/2+10/15*1=0.8

Ответ - 0.8