ГОСы
May 11, 2019
1. Числовая последовательность и её предел
Числовой последовательностью называется бесконечное множество чиселx_1, x_2, ..., x_n
, следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которогоx_n
задается как функция целочисленного аргументаn
, то естьx_n = f(n)
Число a называется пределом последовательностиx_n
, если для любой его окрестностиeps > 0
существует натуральный номерN
- ТАКОЙ, что ВСЕ члены последовательности с бОльшими номерамиn >= N
окажутся внутри окрестности:|x_n - a| < eps
.
Рассмотрим некоторую точку a и её произвольную eps-окрестность:
Иными словами, какое бы малое значение «эпсилон» мы ни взяли, рано или поздно «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ окажется в этой окрестности.
Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера.
Теоремы числовых последовательностей
Теорема 1. Числовая последовательность не может иметь более одного предела.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. В противном случае числовая последовательность называется расходящейся.
Для сходящихся числовых последовательностей имеют место следующие теоремы.
Теорема 2. Предел суммы/разности двух последовательностей равен сумме/разности пределов от каждой из них, если последние существуют:
Теорема 3. Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов от каждой из них, если пределы сомножителей существуют:
Теорема 4. Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов от каждой из них, если пределы сомножителей существуют:
Критерий Коши сходимости числовой последовательности
Последовательность x_n
сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной.
Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной или последовательностью Коши, если её элементы становятся ближе друг к другу с увеличением номера.
May 11, 2019, 12:43
0 views
0 reactions