1. Числовая последовательность и её предел

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел x_1, x_2, ..., x_n, следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого x_nзадается как функция целочисленного аргумента n, то есть x_n = f(n)
Число a называется пределом последовательности x_n, если для любой его окрестности eps > 0 существует натуральный номер N - ТАКОЙ, что ВСЕ члены последовательности с бОльшими номерами n >= N окажутся внутри окрестности: |x_n - a| < eps.

Рассмотрим некоторую точку a и её произвольную eps-окрестность:

Иными словами, какое бы малое значение «эпсилон» мы ни взяли, рано или поздно «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ окажется в этой окрестности.

Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера.

Теоремы числовых последовательностей

Теорема 1. Числовая последовательность не может иметь более одного предела.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. В противном случае числовая последовательность называется расходящейся.

Для сходящихся числовых последовательностей имеют место следующие теоремы.

Теорема 2. Предел суммы/разности двух последовательностей равен сумме/разности пределов от каждой из них, если последние существуют:
Теорема 3. Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов от каждой из них, если пределы сомножителей существуют:
Теорема 4. Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов от каждой из них, если пределы сомножителей существуют:

Критерий Коши сходимости числовой последовательности

Последовательность x_n сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной.

Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной или последовательностью Коши, если её элементы становятся ближе друг к другу с увеличением номера.