2. Предел функции и его свойства.
Предел функции по Коши: число A называется пределом функции f(x) в точке x_0
, если для любой заранее выбранной окрестности (сколь угодно малой), существует -окрестность точки , ТАКАЯ, что: КАК ТОЛЬКО значения (принадлежащие ) входят в данную окрестность: (красные стрелки) – ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции гарантированно зайдут в -окрестность: (синие стрелки).
Замечательные пределы
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
Основные виды неопределенностей:
⌈0/0⌉, [∞/∞], [0⋅∞], [∞−∞], [1^∞], [0^0], [∞^0]
Все другие выражения не являются неопределенностями и принимают какое-то конкретное конечное или бесконечное значение.
Для раскрытия неопределенностей используют следующее:
- упрощают выражение функции: раскладывают на множители, преобразовывают функцию с помощью формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножают на сопряженное, что позволяет в дальнейшем сократить и т.д., и т.п.;
- замечательные пределы - первый замечательный предел и второй замечательный предел;
- правило Лопиталя;
- эквивалентные бесконечно малые функции.
Правило Лопиталя
В пределе отношение функций можно заменить отношением производных этих функций. Т.е. надо производную числителя разделить на производную знаменателя и от этой дроби взять предел.
Пусть функции y=f(x) и y=g(x) удовлетворяют следующим условиям:
- эти функции дифференцируемы в окрестности точки a, кроме, может быть, самой точки a;
- g(x)≠0 и g′(x)≠0 в этой окрестности;
- lim f(x)=0 при x→a, lim g(x)=0 при x→a;
- lim f′(x)/g′(x) при x→a существует конечный или бесконечный.
Тогда существует и lim f(x)/g(x) при x→a, причем lim f(x)/g(x) при x→a = lim f′(x)/g′(x) при x→a.
Таким образом, вычисление предела отношения двух функций может быть заменено при выполнении условий теоремы вычислением предела отношения производных этих функций.
Хотя правило Лопиталя работает только с неопределенностями [0/0] и [∞/∞], неопределенности других типов могут быть раскрыты с его помощью, если путем преобразований удастся привести изучаемую неопределенность к указанному типу.