Перелік теоретичних питань для проведення співбесіди з дисципліни «Математика»

Натуральні числа — числа, що використовуються при лічбі. Це числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Множиною натуральних чисел є нескінченність. Множину натуральних чисел позначають знаком N.

• Щоб порівняти два різні числа, треба знайти яке з цих чисел більше, а яке менше. Із двох натуральних чисел меншим є те, яке в натуральному ряду стоїть раніше, а більшим — те, яке в натуральному ряду стоїть пізніше.
• Із двох натуральних чисел, які мають різну кількість цифр, більшим є те, у якого кількість цифр більша.
• Якщо два багатоцифрові числа мають однакову кількість цифр, то із двох натуральних чисел більшим є те, у якого більша перша (при читанні зліва направо) з неоднакових цифр.
• Із двох натуральних чисел, які розміщені на координатному промені, більше те, яке розміщене правіше, і менше те, що розміщене лівіше.

У записі a + b = c, числа a i b - доданки, число c, а також вираз a + b - сума чисел a i b.

Додавання багатоцифрових чисел виконується порозрядно (додавання одноцифрових чисел кожного стовпчика, починаючи з правого стовпчика).

Властивості:

1) Переставна: від перестановки сума не змінюється a + b = b + a.

2) Сполучна: щоб до суми двох чисел додати третє число, можна до першого ㅤㅤㅤ числа додати суму другого й третього чисел: (a + b) + c = a + (b + c).

3)Якщо один із двох доданків 0, то їх сума дорівнює другому доданку: a + 0 = a.

У записі a - b = c, число a - зменшуване, b - від’ємник, c - різниця. Різниця двох натуральних чисел показує, на скільки перше число більше від другого або на скільки друге число менше від першого.

Віднімання багатоцифрових чисел виконується порозрядно (віднімання одноцифрових чисел кожного стовпчика, починаючи з правого стовпчика).

Властивості:

1) Щоб відняти суму від числа, можна спочатку відняти від цього числа один ㅤㅤㅤ доданок, а потім від отриманої різниці — другий: a - (b + c) = (a - b) - c.

2) Щоб від суми відняти число, можна відняти його від одного з доданків, а до ㅤㅤㅤ отриманої різниці додати другий доданок: (a + b) - c = (a - c) + b.

3) Якщо від числа відняти нуль, воно не зміниться: a - 0 = a.

4) Якщо від числа відняти те ж саме число, одержимо 0: a - a = 0.

Помножити число a на b означає знайти суму b доданків, кожний їх яких дорівнює a: де a i b - множники, c - добуток.

Множення багатоцифрових чисел виконується у стовпчик.

Властивості:

1) Переставна: від перестановки множників добуток не змінюється: a * b = b * a.

2) Сполучна: щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше ㅤㅤ число помножити на добуток другого й третього чисел: ㅤㅤ (a * b) * c = a * (b * c) = a * b * c.

3) Розподільна: - щоб помножити суму на число, можна кожний доданок ㅤㅤㅤㅤㅤ помножити на це число і знайдені добутки додати: (a + b) * c = ac + bc. - щоб ㅤㅤ помножити різницю на число, можна зменшуване і від'ємник помножити на ㅤㅤ це число й від першого добутку відняти другий: (a - b) * c = ac - ab.

4) Якщо одиницю помножити на будь-яке число, отримаємо те саме число: ㅤㅤ a * 1 = a.

5) Якщо хоча б один множник дорівнює 0, добуток дорівнює 0: a * 0 = 0.

Дія, за допомогою якої за відомим добутком і одним із множників знаходять другий множник, де c - ділене, b - дільник, a, а також вираз с : b - частка.

Частка показує у скільки разів ділене більше дільника. Ділення багатоцифрових чисел виконується кутом.

Властивості:

1) На 0 ділити не можна: a : 0.

2) Якщо розділити число на 1, отримаємо те саме число: a : 1 = a.

3) Якщо розділити число на себе, дістанемо 1: a : a = 1.

4) Якщо розділити 0 на будь-яке число, крім 0, дістанемо 0: 0 : a = 0.

• Округляють натуральне число до певного розряду, всі цифри, що йдуть за ним, замінюють нулями.
• Якщо перша наступна за цим розрядом цифра 5, 6 ,7, 8, або 9, то останню цифру, яка залишилася, збільшують на одиницю; якщо перша наступна за цим розрядом цифра 0, 1, 2, 3, або 4, то останню цифру, яка залишилася, не змінюють.

1. Просте число — це натуральне число, яке має рівно два різні натуральні дільники (лише 1 і саме число). Решту чисел, окрім одиниці, називають складеними. Таким чином, всі натуральні числа, більші від одиниці, розбивають на прості і складені.

Послідовність простих чисел починається так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113 , 127, 131, 137, 139, 149 …

2. Складене число - натуральне число, яке більше ніж 1 і не є простим. Кожне складене число є добутком двох натуральних чисел, більших ніж 1.

Послідовність складених чисел починається так: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144 ...

Якщо складене число є добутком двох не обов'язково різних простих чисел, то таке число називається напівпростим. Якщо складене число є добутком трьох різних простих чисел то таке число називається сфенічним.

Якщо одне натуральне число ділиться націло на інше натуральне число, тоді перше число називають кратним другого числа, а друге число — дільником першого числа.

Дільником натурального числа a називають число, на яке a ділиться без остачі.

Визначення дільника можна сформулювати так:

Нехай m, n — натуральні числа, тоді m — дільник числа n, якщо існує таке натуральне число k, що n=m * k.

Визначення кратного:

• Будь-яке натуральне число має нескінченно багато кратних.
• Найменшим із кратних натурального числа є само це число , а найбільшого кратного не існує.
• Перші п'ять чисел, кратних числу 9, такі: 9,18,27,36,45.
• Для будь-якого числа а кожне з чисел виду а · 1; а · 2; а · 3; . . .; а · n (n- ㅤнатуральне число) є кратним числа а.
• Число 21 не є кратним числу 5, оскільки не ділиться на 5 без остачі.
• 21 = 5 * 4(остача 1)

Подання числа у вигляді добутку простих чисел називають розкладанням числа на прості множники.

Число 1 не належить ні до простих, ні до складених чисел.

Число 48 — складене, оскільки, крім 1 і 48, воно ділиться, наприклад, ще на 2.

Це число можна подати у вигляді добутку простих чисел:

знаючи, що добуток однакових множників можна записати у вигляді степеня, отримаємо: 48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 = 24 * 3.

(При розкладанні числа на прості множники використовують ознаки подільності та застосовують запис стовпчиком, при якому дільник розташовують праворуч від вертикальної риски, а частку записують під діленим.)

Найбільший спільний дільник (НСД) двох або більше невід'ємних чисел — найбільше натуральне число, на яке ці числа діляться без остачі.

Щоб знайти НСД двох або кількох чисел, необхідно:

1) Розкласти дані числа на прості множники;

2) Скласти добуток усіх спільних простих множників;

3) Обчислити складений добуток.

НСД (16 ,20 ,28) = 4.

Найменше спільне кратне (НСК) — найменше натуральне число, яке ділиться на кожне з даних чисел.

Щоб знайти НСК двох чисел, необхідно:

1) розкласти дані числа на прості множники;

2) скласти добуток усіх простих множників;

3) обчислити складений добуток.

НСК (2, 3, 4) = 12.

На 2: Якщо остання цифра числа парна, тоді число ділиться на 2.

На 3: Натуральне число ділиться на 3 тоді й тільки тоді, коли ділиться на 3 сума його цифр.

На 5: Якщо остання цифра числа 5 або 0, тоді воно ділиться на 5.

На 9: Натуральне число ділиться на 9 тоді й тільки тоді, коли ділиться на 9 сума його цифр.

На 10: Якщо число закінчується цифрою 0, тоді воно ділиться на 10.

При діленні з остачею правильна рівність: a = b * с + r, де a — ділене, b — дільник, с — неповна частка, r — остача.

Виконаємо ділення: 131 : 5 = 26 (1 ост.)

У таких випадках кажуть, що ділення виконано з остачею.

Компоненти ділення: 131 — ділене, 5 — дільник, 26 — неповна частка, 1 — остача.

Виконаємо перевірку: 131 = 5 * 26 + 1.

Цілі числа – це натуральні числа, протилежні їм числа і число нуль.

Множину цілих чисел позначають символом Z.

Властивості цілих чисел

Додавання:

1) Додавання додатних чисел: 5 + 9 = 14.

2) Додавання від’ємних чисел: -6 + (-2) = -8.

3) Додавання чисел із різними знаками: -10 + 2 = 10 - 2 = -8.

Віднімання:

1) Віднімання додатних чисел: 24 - 9 = 15.

2) Віднімання від’ємних чисел: -50 - (-35) = -50 + 35 = -15.

3) Віднімання чисел із різними знаками: 38 - (-5) = 38 + 5 = 43.

Множення:

1) Множення додатних чисел: 32 * 2 = 64.

2) Множення від’ємних чисел: -5 * (-9) = 45.

3) Множення чисел з різними знаками: 35 * (-5) = -(35 * 5) = -175.

Ділення:

1) Ділення додатних чисел: 128 : 4 = 32.

2) Ділення від’ємних чисел: -225 : (-15) = 15.

3) Ділення чисел із різними знаками: 180 : (-90) = -2.

Раціональними називають додатні числа (і дробові, і цілі), від’ємні числа (і дробові, і цілі) і число нуль. Раціональними називають числа, які можна представити у вигляді відношення двох натуральних чисел.

Сукупність натуральних чисел, протилежних їм чисел і числа нуль називають множиною цілих чисел. Сукупність цілих чисел (і додатних, і від’ємних), а також дробових чисел називають множиною раціональних чисел. Множину раціональних чисел позначають символом Q.

Додавання і віднімання:

Щоб додати (відняти) десяткові дроби, потрібно:

1) зрівняти в цих дробах кількість знаків після коми;

2) записати їх один під одним так, щоб кома була записана під комою;

3) виконати додавання (віднімання), не звертаючи уваги на коми;

4) звернути увагу на кількість знаків перед комою, і відокремити стільки ж ㅤㅤㅤㅤ чисел праворуч.

Множення і ділення:

1. Щоб перемножити два десяткові дроби, треба:

1) виконати множення, не звертаючи уваги на коми;

2) відокремити комою стільки цифр праворуч, скільки їх після коми в обох ㅤㅤㅤㅤㅤ множниках разом.

2. Щоб розділити число на десятковий дріб, треба:

1) в діленому і дільнику перенести кому вправо на стільки цифр, скільки їх після ㅤㅤ коми в дільнику;

2) після цього виконати ділення на натуральне число;

3) якщо в діленому не вистачає знаків, то праворуч приписують нулі.

Властивості:

1) Щоб помножити десятковий дріб на 10, 100, 1000 і т. д., треба в цьому дробі ㅤㅤ перенести кому вправо відповідно на 1, 2, 3 і т. д. цифр.

2) Щоб помножити десятковий дріб на 0,1; 0,01; 0,001 тощо достатньо в цьому ㅤㅤ дробі перенести кому вліво відповідно на 1, 2, 3 і т. д. цифри.

3) Щоб поділити десятковий дріб на 10, 100, 1000 і т.д. треба в цьому дробі ㅤㅤㅤㅤ перенести кому вліво відповідно на 1, 2, 3 і т.д. цифри.

4) Щоб поділити десятковий дріб на 0,1; 0, 01; 0,001 і т.д. треба в цьому дробі ㅤ ㅤㅤ перенести кому вправо відповідно на 1, 2, 3 і т.д. цифри.

Звичайним дробом називається вираз, де число a є чисельником, а число b - знаменником.

Дробова риска означає знак ділення. Знаменник дробу показує, наскільки рівних частин ділиться число (величина), чисельник – скільки таких частин узято.

Додавання:

1) Додавання дробів з однаковими знаменниками: 2/2 + 4/2 = 6/2. Щоб додати раціональні дроби з однаковими знаменниками, треба додати їхні чисельники, а знаменник залишити той самий, тобто без змін.

2) Додавання дробів з різними знаменниками: 3/5 + 2/10 = 6/10 + 2/10 = 8/10. Щоб додати раціональні дроби з різними знаменниками, треба звести їх до спільного знаменника та додати чисельники.

Віднімання:

1) Віднімання дробів з однаковим знаменниками: 17/5 - 6/5 = 11/5. Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба відняти їхні чисельники, а знаменник залишити той самий, тобто без змін.

2) Віднімання дробів з різними знаменниками: 25/6 - 2/2 = 25/6 - 6/6 = 19/6. Щоб відняти дроби з різними знаменниками, треба звести їх до спільного знаменника та відняти чисельники.

(Щоб знайти спільний знаменник звичайних дробів, ми знаходили найменше спільне кратне знаменників, розкладаючи їх на прості множники. Аналогічно, щоб знайти спільний знаменник раціональних дробів, може виявитися зручним попередньо розкласти знаменники на множники.)

Множення:

1) 10/6 * 2/10 = 20/60. Добутком двох дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників даних дробів, а знаменник - добутку їхніх знаменників.

Ділення:

1) 15/8 : 4/5 = 15/8 * 5/4 = 3/2. Часткою двох дробів є дріб, де перший дріб помножений на дріб, обернений другому.

• Із двох від'ємних чисел меншим є те, модуль якого більший:
• −24,7 < −20,9; 24,7 > 20,9
• Якщо порівнювати два від’ємних модуля, то знак змінюється на протилежній: |−27| < |−20|; 27 > 20
• Нуль більший від будь-якого від'ємного числа, але менший від будь-якого додатного числа: −14,3 < 0 і 2,4 > 0.
• Будь-яке від'ємне число менше від будь-якого додатного числа: -56,4 < 23,2.
• Будь-яке додатне число більше від будь-якого від’ємного числа: 45,5 > -3,4.

1. Звичайний дріб, у якого чисельник менший від знаменника, називають правильним: 11/13, 54/108, 1/2.

2. Дріб, у якого чисельник більший або дорівнює знаменнику, називають неправильним: 32/24, 3/2, 20/20.

3. Цілою частиною дійсного числа х називається найбільше ціле число, що не більше за х. Позначають [x]. Дробовою частиною дійсного числа х називається різниця між числом та його цілою частиною.

4. Суму 2 + 1/4 записуємо без знака +: 2 1/4. Таке число називається дробовим, або мішаним. У ньому 2 є цілою частиною числа, 1/4 - дробовою частиною числа. Дробова частина числа завжди є правильним дробом. Тобто: 9/4 = 2 1/4.

Щоб виділити цілу і дробову частини з неправильного дробу, треба чисельник поділити на знаменник. Одержана неповна частка буде цілою частиною, остача - чисельником дробової частини, а знаменник неправильного дробу - знаменником дробової частини.

Аналогічно можна вивести правило для зворотньої операції - запису мішаного числа у вигляді неправильного дробу:

Щоб записати мішане число у вигляді неправильного дробу, потрібно спочатку знаменник дробової частини помножити на цілу частину і до знайденого добутку додати чисельник дробової частини.Одержане число буде чисельником неправильного дробу, а його знаменником - знаменник дробової частини мішаного числа.

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на один і той самий відмінний від нуля вираз, то одержимо дріб, що дорівнює даному: a/b = ac/bc.

Основну властивість дробу застосовують для скорочення дробів на їх області допустимих значень, а таке тотожне перетворення називають скороченням дробу на множник с.

Скоротити дріб — означає поділити одночасно чисельник і знаменник дробу на їхній спільний множник (те саме, відмінне від нуля число).

Додатково: Вирази, відповідні значення яких рівні при будь-яких допустимих значеннях змінних, що в них входять, називають тотожністю.

Середнім арифметичним кількох чисел називають частку від ділення суми цих чисел на їх кількість:

Знайти середнє арифметичне чисел 0,27; 2,52; 6,38; 9,71; 12,47: (0,27 + 2,52 + 6,38 + 9,71 + 12,47) : 5 = 6,27. Середнє арифметичне даних чисел: 6,27.

Якщо відношення а до b дорівнює відношенню с до d, то рівність а : b = с : d називають пропорцією. (Рівність двох відношень називають пропорцією). Числа а і d називають крайніми членами пропорції, а числа b і с — середніми членами пропорції.

Основна властивість пропорції: Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх членів пропорції. Якщо a : b = c : d, то a * d = b * c.

1. Пряма пропорційна залежність: Дві величини називають прямо пропорційними, якщо при збільшенні (зменшенні) однієї з них у кілька разів інша збільшується (зменшується) у стільки ж разів.

2.Обернена пропорційна залежність: Дві величини називають обернено пропорційними, якщо при збільшені (зменшенні) однієї з них у кілька разів інша зменшується (збільшується) у стільки ж разів.

Алгоритм розв'язування задач за допомогою пропорцій:

1) Умову задачі записуємо у вигляді таблиці;

2) Невідоме число позначаємо через х;

3) Встановлюємо вид залежності прямо пропорційну залежність позначаємо ㅤㅤ однаково направленими стрілками обернену пропорційну залежність ㅤㅤㅤㅤ позначаємо протилежно направленими стрілками;

4) Записуємо пропорцію;

5)Знаходимо невідомий член пропорції;

1.Раціональні числа — це числа вигляду m/n , де m — число, а n — натуральне число. Раціональні числа — це всі цілі числа, а також додатні та від'ємні звичайні дроби. Будь-який десятковий дріб як окремий випадок звичайного дробу також є раціональним числом. Множину раціональних чисел прийнято позначати буквою Q.

Додатково: Група цифр після коми, що повторюється, називається періодом, а сам десятковий дріб — нескінченним десятковим періодичним дробом. ㅤㅤㅤㅤ1)Взагалі будь-яке раціональне число можна записати у вигляді кінцевого ㅤㅤㅤㅤдесяткового дробу або у вигляді нескінченного десяткового періодичного ㅤㅤдробу. ㅤ ㅤ2)Правильно і протилежне: будь-який нескінченний десятковий періодичний ㅤㅤㅤ дріб можна зобразити у вигляді звичайного дробу.

2. Дійсні числа - це будь-яке число, яке відповідає точці на дійсній прямій і може бути класифіковане на натуральне, ціле, раціональне та ірраціональне числа. Дійсні числа - це всі числа, які ми знаходимо найчастіше, оскільки складні числа не знаходять випадково, а їх потрібно спеціально шукати. Дійсні числа представлені літерою R.

Додатоково: Іншими словами, будь-яке дійсне число знаходиться між мінусом нескінченністю та плюс нескінченністю, і ми можемо представити його на дійсній прямій. Координатна пряма — це пряма з визначеним напрямом, початком відліку та одиничним відрізком.

Що входить в множину дійсних чисел:

1) Натуральні числа — це числа які ми використовуємо при лічбі предметів. ㅤㅤ Множину натуральних чисел прийнято позначати буквою N.

2) Цілі числа — це натуральні числа, протилежні їм числа та число 0. Множину ㅤ цілих чисел прийнято позначати буквою Z.

3) Множина раціональних чисел — це множина, що складається з чисел ㅤㅤㅤㅤ вигляду mn , де m, n взаємно прості числа і n — натуральне число, а m — ㅤㅤ ціле число. Множину раціональних чисел прийнято позначати буквою Q.

4) Ірраціональні числа — це нескінченні десяткові неперіодичні дроби. ㅤㅤㅤㅤ Множину ірраціональних чисел прийнято позначати буквою I.

1. Числа зі знаком «+» називаються додатними. Числа зі знаком «−» називаються від'ємними. Число 0 не є ні додатним, ні від'ємним!

Додатково: Якщо одне число додатне, а друге — від'ємне, то про такі числа говорять, що вони мають різні знаки. А якщо обидва числа додатні або обидва від'ємні, то говорять, що вони мають однакові знаки.

2. Два числа, що відрізняються одне від одного лише знаками, називають протилежними.

3. Відстань на координатній прямій від початку відліку до точки , яка зображує це число — називається модулем числа. Число 4 є модулем числа −4 і числа 4. | −4 | = 4, | 4 | = 4. Модуль числа не може бути від'ємним. Модуль додатного числа та нуля дорівнює самому числу, а модуль від'ємного числа — протилежному йому числу.

1. Ту частину прикладу, де є числа й арифметичні дії у математиці називають числовим виразом, а число з протилежного боку від знака «=» — це значення числового виразу. Замість «розв’яжи приклад» ми можемо говорити «знайди значення числового виразу».

1) Числові вирази складаються з чисел і знаків арифметичних дій.

2) Числовий вираз на додавання називається «сума».

3) Числовий вираз на віднімання — «різниця».

2. Вирази, які обов’язково містять букви, можливо числа, знаки дій, дужки, називають буквеними виразами або виразами із змінними.

Наприклад, позначимо довжину шляху буквою S, швидкість рівномірного руху – буквою V, а час – буквою t. Тоді вираз S=V*t є формулою шляху. Із цієї формули можна виразити інші змінні величини: V=S/t - формула швидкості, t=S/V - формула часу.

Додаток: Якщо вираз містить лише дії додавання, віднімання, множення, піднесення до степеня і ділення, то такий вираз називається раціональним. Раціональний вираз, який не містить ділення на вираз із змінною, називається цілим виразом.

Вирази, відповідні значення яких рівні при будь-яких значеннях змінних, що входять до них, називають тотожно рівними.

Можна замінити один вираз будь-яким іншим виразом, тотожно рівним першому. Така заміна називається тотожним перетворенням. Зведення подібних доданків і розкриття дужок – приклади тотожних перетворень виразів. Спрощуючи вираз, ми фактично замінюємо його простішим, тотожно рівним йому.

При розкритті дужок користуємось такими правилами:

1) Якщо перед дужками стоїть знак «–», то, розкриваючи дужки, потрібно ㅤㅤㅤㅤ змінити знак кожного доданка на протилежний. ㅤ Наприклад: -(a - b) = -a + b; x - (-y + z) = x + y - z.

2) Якщо перед дужками стоїть знак «+», то, розкриваючи дужки, знак кожного ㅤ доданка зберігаємо. Наприклад: a + (-b + c + 4) = a - b + c + 4.

3) Подібними є доданки, які мають спільну буквену частину. Числові доданки є ㅤ подібними. Наприклад: 4a і (-5a).

Заміну суми подібних доданків на один вираз називають зведенням подібних доданків.

1) Щоб звести подібні доданки, треба додати їх коефіцієнти і результат ㅤㅤㅤㅤㅤ помножити на їх спільну буквену частину. ㅤㅤ Наприклад: -4a + 6a = (-4 + 6)a = 2a; a - 4a + 7a = (1 - 4 + 7)a = 4a.

2) Якщо доданки мають спільний множник, то його можна винести за дужки. ㅤㅤ Наприклад: 6x + 6y = 6(x + y); 2ab + b = b(2a + 1).

1. Формула квадрата суми: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого і другого виразів плюс квадрат другого виразу.

2. Формула квадрата різниці: (a − b)^2= a^2 − 2ab + b^2. Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток першого і другого виразів плюс квадрат другого виразу.

3. Формула різниці квадратів: (a − b)(a + b)= a^2 − b^2. Різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів і їх суми.

2. Формула суми кубів: (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3. Куб суми двох виразів дорівнює кубу першого, плюс потрійний добуток квадрата першого виразу та другого виразу, плюс потрійний добуток квадрата другого виразу та першого виразу, плюс куб другого виразу.

3. Формула різниці кубів: (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3. Куб різниці двох виразів дорівнює кубу першого, мінус потрійний добуток квадрата першого виразу та другого виразу, плюс потрійний добуток квадрата другого виразу та першого виразу, мінус куб другого виразу.

4. Формула суми кубів двох виразів: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2). Сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів на неповний квадрат їх різниці.

5. Формула різниці кубів двох виразів: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2). Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів на неповний квадрат їх суми.

Щоб коротко записати добуток кількох однакових доданків використовують поняття степеня. Добуток однакових множників a * a * a * a записують у вигляді a⁴. Запис a⁴ називають степенем числа a. Число a називають основою степеня, а кількість множників називають показником степеня.

Степенем числа a з натуральним показником n називається добуток n однакових множників, що дорівнюють a. Першим степенем числа називають саме число: a¹ = a.

Властивості:

1) При множенні степенів із рівними основами основа залишається такою ㅤㅤㅤㅤ самою, а показники степенів додаються: am* an = a^m + n.

2) При діленні степенів із рівними основами основа залишається такою самою, а ㅤ показники віднімаються: am : an = a^m-n.

3) При піднесенні степеня до степеня основа залишається такою самою, а ㅤㅤㅤ показники перемножуються: (am)n = a^mn.

4) При піднесенні до степеня добутку до цього степеня підноситься кожний ㅤㅤㅤ множник: (ab)n = a^nb^n.

5) При піднесенні до степеня дробу до цього степеня підносяться чисельник і ㅤㅤ знаменник: (a / b)n = a^n/b^n.

Піднесення до степеня вважається арифметичною дією третього ступеня. Якщо вираз містить різні арифметичні дії, то спочатку виконується піднесення до степеня як дія вищого (третього) ступеня, потім множення і ділення (дії другого ступеня) і, нарешті, додавання і віднімання (дії першого ступеня).

Нульовий степінь числа, відмінного від нуля, дорівнює одиниці. Нульовий степінь нуля не визначений. Для степенів із цілими показниками характерні ті ж властивості, що й для степенів із натуральними показниками:

1) При множенні степенів із рівними основами основа залишається такою ㅤㅤㅤㅤ самою, а показники степенів додаються: am* an = am + n.

2) При діленні степенів із рівними основами основа залишається такою самою, а ㅤ показники віднімаються: am : an = a^m-n.

3) При піднесенні степеня до степеня основа залишається такою самою, а ㅤㅤㅤ показники перемножуються: (am)n = am^n.

4) При піднесенні до степеня добутку до цього степеня підноситься кожний ㅤㅤㅤ множник: (ab)n = a^nb^n.

5) При піднесенні до степеня дробу до цього степеня підносяться чисельник і ㅤㅤ знаменник: (a / b)n = a^n/b^n.

6) При піднесенні дробу до степеня з від’ємним показником можна піднести ㅤㅤㅤ обернений дріб до степеня з протилежним показником: (a / b)- n = (b / a)n.

Квадратним коренем із числа а називається число, квадрат якого дорівнює а. Наприклад: квадратний корінь із числа 4 дорівнює 2 або (-2), бо 2^2=4, (−2)^2 = 4.

Арифметичним квадратним коренем із числа а називається невід’ємне число, квадрат якого дорівнює а. Арифметичний квадратний корінь із числа а позначають так: √а

Знак √ називають знаком арифметичного квадратного кореня, вираз, який стоїть під знаком кореня, – підкореневим виразом. Запис читають так: «квадратний корінь із а» (слово «арифметичний» при читанні опускають). Якщо а < 0, то вираз √а не має змісту.

З означення арифметичного квадратного кореня випливає, що при невід’ємних значеннях а справедлива рівність (√а)^2= a.

Властивості:

1) Корінь із добутку невід’ємних множників дорівнює добутку коренів із цих ㅤㅤㅤ множників: √ab = √a * √b.

2) Корінь із дробу, чисельник якого невід’ємний, а знаменник додатний, ㅤㅤㅤㅤㅤ дорівнює кореню із чисельника, діленому на корінь із знаменника: ㅤㅤ √a / b = √a / √b.

3) Внесення множника під знак квадратного кореня:

• b√a = √b^2a (при b ≥ 0),

• b√a = -√b^2a (при b < 0).

4) Винесення множника з-під знака кореня:

• √b^2a = b√a (при b ≥ 0),

• -√b^2a = b√a(при b < 0).

Додатково: 1) Будь-яке ірраціональне число можна подати у вигляді нескінченного неперіодичного десяткового дробу. Наприклад: √2 = 1,41422135. Будь-який нескінченний неперіодичний десятковий дріб є записом деякого ірраціонального числа. 2) Будь-яке дійсне число можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу. Наприклад: 1 / 2 = 0,5. √10 = 3,1622776. Будь-який нескінченний десятковий дріб є записом деякого дійсного числа.

Одночленом називається добуток чисел, змінних та їх натуральних степенів, а також самі числа, змінні та їх натуральні числа. Наприклад: 5a, 6a^2b, 3, x, xyz – одночлени. Многочленом називається вираз, який є сумою кількох одночленів.

1. Одночлен стандартного вигляду – одночлен, який містить тільки один числовий множник, що стоїть на першому місці, і степені з різними буквеними основами. Наприклад: 3ab, 12y^2z, −a, −x^2y - одночлени стандартного вигляду.

2. Коефіцієнтом одночлена називають числовий множник одночлена стандартного вигляду. Наприклад: коефіцієнтами одночленів 5x^2, −3ab, −a^2b, xyz.

є відповідно числа 5, -3, -1, 1. Коефіцієнти 1 та -1 в одночленах не записують.

3. Щоб записати одночлен у стандартному вигляді, треба перемножити всі його числові множники й одержане число поставити на перше місце, а потім добутки однакових буквених множників записати у вигляді степенів.

Наприклад: 2ab * (−3a^2b) * (−3a^3b)=18a^6b^3.

4. Степенем одночлена називають суму показників степенів усіх буквених множників, що входять до одночлена. Наприклад: степінь одночлена 5x^3yz^6 дорівнює 3 + 1 + 6 = 10.

Дії над одночленами:

1) Щоб помножити одночлен на одночлен, треба перемножити їх коефіцієнти і ㅤㅤ перемножити степені з однаковими основами: ㅤ 12a^2y * (−2ab^3y^3) = −24a^3b^3y^4.

2) Щоб піднести одночлен до степеня, треба піднести його коефіцієнт до цього ㅤㅤ степеня і помножити показник степеня кожної букви на показник степеня, до ㅤ ㅤ якого підноситься одночлен: (−3a^2bx^5)^2 = 9x^4b^2^10.

3) Щоб поділити одночлен на одночлен, треба поділити коефіцієнт діленого на ㅤ коефіцієнт дільника, до знайденої частки приписати множниками кожну ㅤㅤㅤ змінну діленого з показником, що дорівнює різниці показників цієї змінної в ㅤ діленому і дільнику: ㅤ 12x^7y^3z^12 : (4x3yz^7) = 3x^7 − 3y^3 − 1z^12 − 7 = 3x^4y2z^5.

Рівність, що містить невідомі буквені величини і що не є тотожністю, називається рівнянням. Розв’язати рівняння – означає знайти всі корені рівняння, або довести, що їх немає.

Вираз, записаний у рівнянні ліворуч від знака рівності, називають лівою частиною рівняння, а вираз, записаний праворуч, - правою частиною рівняння.

Корінь рівняння – значення невідомого, що входить у рівняння, і перетворює рівняння в істинну рівність. Якщо рівняння мають одні й ті самі корені, то вони називаються рівносильними. Рівносильними вважають і ті рівняння, які не мають коренів.

Під час розв'язування рівняння використовують такі властивості:

1) якщо у будь-якій частині рівняння розкрити дужки або звести подібні ㅤㅤㅤㅤㅤ доданки, то дістанемо рівняння, рівносильне даному;

2) якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини в другу, змінивши його ㅤㅤ знак на протилежний, то дістанемо рівняння, рівносильне даному;

3) якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне й те саме, ㅤㅤ відмінне від нуля, число, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.

Рівняння виду ax = b, де a і b - деякі числа, x - змінна, називається лінійним рівняння з однією змінною.

Коренем рівняння називається значення змінної, за якого рівняння перетворюється на правильну рівність.

1) Якщо a не є 0, у рівняння один корінь. Наприклад: якщо 2x − 4 = 0, то x = 2.

2)  Якщо a = 0, але b не дорівнює 0, у рівняння немає коренів. Наприклад: 0x = ㅤ 3 немає такого значення x, при множенні якого на 0 можна отримати 3.

3) Якщо a = 0 і b = 0, то корінь рівняння — будь-яке число. Наприклад: 0x = 0, ㅤ нуль при множенні на будь-яке число, дає 0.

1. Рівняння вигляду ax^2 + bx + c = 0, у якому a, b і c — дійсні числа та a≠0, називається квадратним рівнянням.

Корені квадратного рівняння знаходять за формулами:

x1 = -b + √D / 2a

x2 = -b - √D / 2a

де D = b^2 - 4ac. D називається дискримінантом.

За значенням дискримінанта можна визначити кількість коренів квадратного рівняння:

1) Якщо D<0 (від'ємний), то в рівняння немає дійсних коренів.

2) Якщо D=0, то рівняння має два рівних корені.

3) Якщо D>0 (додатний), то рівняння має два різних корені.

Якщо квадратне рівняння зведене, його можна розв’язати за допомогою теореми Вієта:

x1 + x2 = -b / a

x1 * x2 = c / a

Сума коренів x^2 + bx + c = 0 дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а результат множення коренів дорівнює вільному члену.

2. Якщо в квадратному рівнянні ax^2 + bx + c = 0 хоча б один коефіцієнт дорівнює нулю, то таке рівняння називається неповним квадратним рівнянням. Неповні квадратні рівняння мають два види:

1) Якщо c = 0, то ax^2 + bx = 0.

2) Якщо b = 0, то ax^2 + c = 0.

Неповні квадратні рівняння можна розв'язувати за допомогою формули дискримінанта, але раціональніше вибрати спеціальні способи:

1) аx2 + bx = 0 можна розв'язати, розклавши на множники (винести за дужки x):

x(ax + b) = 0

x = 0 або ax + b = 0

Отже, один корінь дорівнює 0, а другий корінь x = −b / a (оскільки добуток двох чисел дорівнює 0 лише тоді, коли хоча б один із множників дорівнює 0).

2) ax2 + c = 0 можна розв’язати, добуваючи корінь із кожної частини рівняння.

ax2 = -с (обидві сторони діляться на а) x2 = - c / a.

Добуваючи корінь із лівої частини рівняння, отримуємо x за модулем.

А це означає, що:

x1 = √ -c / a

x2 = -√ -c / a.

Многочленом називається алгебраїчна сума кількох одночленів. Наприклад: 3xy + ab + 2; 7x^2b − 2xy + a - многочлени.

1. Одночлени, з яких складається многочлен, називають його членами. Одночлен – окремий вид многочлена. Многочлен, який містить два або три доданки, називають відповідно двочленом або тричленом. Наприклад: a^2 − b^2, x + y - двочлени; a + ab + b, x^2 + xy − y^2 - тричлени.

2. Подібні члени многочлена – це однакові одночлени, або одночлени, запис яких у стандартному вигляді відрізняється лише коефіцієнтами. Наприклад: у многочлені 15a^2b + 3ab2^ − 7a^2b + 5ab^2 - перший і третій, другий і четвертий члени подібні.

3. Зведення подібних членів – це спрощення многочлена, коли алгебраїчна сума подібних членів замінюється одним членом. Щоб звести подібні члени, треба додати їх коефіцієнти і результат помножити на їх спільну буквену частину. Наприклад: 15a^2b + 3ab^2 − 7a^2b + 5ab^2 = 8a^2b + 8ab^2.

4. Стандартний вигляд многочлена – це запис многочлена, усі члени якого мають стандартний вигляд і серед них немає подібних. Наприклад: a^2 − ab + b^2, ab + bc + ac - многочлени стандартного вигляду. 3a^2 + 2b^2 − 3ab + a^2 - многочлен нестандартного вигляду.

Дії над многочленами:

1) При додаванні многочленів користуються правилом розкриття дужок: якщо ㅤ перед дужками стоїть знак «+», то дужки можна опустити, зберігши знаки ㅤㅤ кожного одночлена: (3x^2 − 2x + 5)+(6x^2 + 5x − 3) = 3x^2 − 2x + 5 + 6x^2 + 5x − 3 = 9x^2 + 3x + 2.

2) При відніманні многочленів користуються правилом розкриття дужок: якщо ㅤ перед дужками стоїть знак «-», то дужки можна опустити, змінивши знак ㅤㅤ кожного одночлена, що містився в дужках, на протилежний: (3x^2 − 2x + 5)−(6x^2 + 5x − 3) = 3x^2 − 2x + 5 − 6x^2 − 5x + 3 = −3x^2 − 7x + 8.

3) Щоб записати алгебраїчну суму кількох многочленів як многочлен ㅤㅤㅤㅤㅤㅤ стандартного вигляду, треба розкрити дужки і звести подібні члени: (2x^2 − 3x+2)−(3x^2 − 2x − 1) − x^2 + 2x + 1 + (−2x^2 + x − 1) = 2x^2 − 3x + 2 − - 3x^2 + 2x + 1 + x^2 − 2x - 1 − 2x^2 + x − 1 = −2x^2 − 2x + 1.

4) Щоб помножити одночлен на многочлен, треба кожний член многочлена ㅤㅤㅤ помножити на цей одночлен й одержані одночлени додати: ㅤㅤㅤ3a(a^2 − 2a + ab) = 3a^3 − 6a^2 + 3a^2b.

ㅤ Щоб помножити многочлен на многочлен, треба кожний член одного ㅤㅤㅤㅤㅤ многочлена помножити на кожний член другого многочлена й одержані ㅤㅤㅤ многочлени додати: (3x − 2)(2x − 3) = 3x * 2x − 3x * 3 − 2 * 2x + 2 * 3 = 6x^2 − 9x − 4x + 6 = = 6x^2 − 13x + 6.

5) Щоб розділити многочлен на одночлен, треба кожний член многочлена ㅤㅤㅤㅤ розділити на цей многочлен й одержані результати додати: (5x^7 − 2x^5 + 3x^2 + 6x):2x = 5x^7 : 2x − 2x^5 : 2x + 3x^2 : 2x + 6x : 2x = 2,5x^6 − - x^4 + 1,5x + 3.

6) Розкладанням многочлена на множники називають запис многочлена у ㅤㅤㅤ вигляді добутку многочленів. При розкладанні многочлена на множники ㅤㅤ використовують такі способи:

- Винесення спільного множника за дужки: 5x2 + 10x = 5x(x + 2).

- Спосіб групування: 3x − 3y − x2 + xy = (3x − 3y) − (x2 − xy) = 3(x − y) − ㅤ - x(x − y) = (x − y)(3 − x).

- Використання формул скороченого множення.

Основне призначення теореми Вієта не в тому, що вона виражає деякі співвідношення між коренями та коефіцієнтами квадратного рівняння. Набагато важливіше те, що за допомогою теореми Вієта виводиться формула розкладання квадратного тричлена на множники.

Якщо x1 і x2 — корені квадратного тричлена ax^2 + bx + c, то правильною є тотожність ax^2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2).

Якщо дискримінант квадратного тричлена ax^2 + bx + c дорівнює нулю, тобто x1 =x2, то доведена формула набуває вигляду ax^2 + bx + c = a(x − x1)^2.

Якщо квадратний тричлен розкладається на лінійні множники, то він має корені.

Якщо квадратний тричлен не має коренів, то його не можна розкласти на лінійні множники.

Якщо числа x1, x2 такі, що x1 + x2 = −p; x1 * x2 =q, то ці числа — корені рівняння x^2 + px + q = 0.

1. Якщо дано числову множину X і правило f, що дозволяє поставити у відповідність кожному елементу x із множини X певне число y, то кажуть, що задано функцію y = f(x) із областю визначення X.

Областю визначення функції y = f(x) називається множина всіх значень x, для яких функція має зміст.

Множина всіх значень функції y = f(x), x∈X називається областю значень функції.

2. Задати функцію — означає вказати правило, яке дозволяє за довільно вибраним значенням x∈D(f) обчислити відповідні значення y.

Способи задання функції: (графіка, формули, таблиці)

1)  Графічний: функція задається графіком.

ㅤ Якщо дано функцію y = f(x), x∈X і на координатній площині xOy позначені всі ㅤ точки вигляду (x; y), де x∈X, а y = f(x), то множину цих точок називають ㅤㅤㅤ графіком функції y = f(x), x∈X.

2) Аналітичний: функція задається формулою.

y = √x

y = | x |

3) Табличний: функція задається таблицею значень.

X | 1 || 2 || 3 || 4 |

Y | 1 || 4 || 9 || 10 |

4) Числові пари: (1; 2), (2; 4), (3; 6).

1. Область визначення і область значень: Область визначення функції позначають D(f). Множина, що складається з усіх чисел f(x) таких, що х належить області визначення функції f, називається областю значень функції і позначається Е(f).

2. Зростання і спадання: 1) Функція y = f(x)є зростаючою, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Тобто для будь-яких значень x1, x2 з області визначення функції як таких, x1 < x2, що виконується нерівність f(x1) < f(x2)(або y1 < y2), і навпаки, якщо y = f(x) - зростаюча, то за умови f(x1) < f(x2)виконується нерівність x1 < x2. Графіком функції y = f(x)називають множину всіх точок площини з координатами (x; f(x)), де перша координата «пробігає» всю область визначення функції y = f(x), а друга – це відповідні значення функції у точці х.

2) Функція y = f(x)є спадною, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції. Тобто для будь-яких значень x1, x2 з області визначення функції як таких, x1 < x2, що виконується нерівність f(x1) > f(x2)(або y1 > y2), і навпаки, якщо y = f(x) - спадна, то за умови f(x1) > f(x2) виконується нерівність x1 <x2.

3. Парні та непарні функції: 1)  Функція y = f(x)є парною, якщо для будь-якого значення х із D(y) значення – х також належить D(y) і виконується рівність f(−x) = f(x). Графік парної функції симетричний відносно осі ОY.

2)  Функція y = f(x)є непарною, якщо для будь-якого значення х із D(y) значення x∈D(y) і виконується рівність f(−x) = −f(x). Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

4. Нулі функції: Нулі функції – це значення аргументу (х), при яких функція (у) перетворюється в нуль. Графічно визначити нулі функції досить просто – треба побачити всі значення х, при яких у = 0, тобто, точки перетину графіку функції з віссю х.

5. Проміжки знакосталості: Проміжки знакосталості – це проміжки, на яких функція набуває значень одного знаку.

Знайти проміжки знакосталості можна за допомогою графіку або аналітичним способом, визначивши попередньо нулі функції. Після цього для кожного проміжку визначаємо знак функції (додатній чи від’ємний) за допомогою графіку або підставивши значення аргументу в функцію і виконавши обчислення.

Серед функцій, що належать до класу основних елементарних функцій виділимо такі:

1) степенева функція у = хa,

2) показникова функція у=аx,

3) логарифмічна функція,

4) тригонометричні функції sin x, cos x, tg x, ctg x.

1. Cтепенева функція у = хa: Для степеневої функції незалежною змінною х є основа степеня, показник а степеня натомість – постійне число а 0. Області визначення і значень степеневої функції, її властивості та особливості графіка визначаються в залежності від конкретного значення а.

2. Показникова функція у = аx: Для показникової функції незалежною змінною є показник степеня, основа степеня а натомість – постійне число (а > 0, а 1 ).

1. Число а більше числа b, якщо різниця а - b є числом додатним. Число а менше числа b, якщо різниця а - b є числом від’ємним. Якщо а більше b, то пишуть: а > b; якщо а менше b, то пишуть: а < b. Отже, нерівність а > b означає, що різниця а - b є додатною, тобто а - b > 0; нерівність а < b означає, що різниця а - b є від’ємною, тобто а - b < 0.

Два вирази, які сполучені знаком > або <, називають строгими нерівностями.

Окрім знаків > і <, використовують також знаки:

≥ - більше або дорівнює (не менше),

≤ - менше або дорівнює (не більше).

Невірність а ≤ b означає, що а < b або а = b, тобто а не більше b.

2. При розв'язанні нерівностей використовують такі правила:

1) Будь-який член нерівності можна перенести з однієї частини ㅤ нерівності в іншу з протилежним знаком, при цьому знак нерівності не ㅤㅤㅤㅤ змінюється.

2) Обидві частини нерівності можна помножити або поділити на одне ㅤ і те ж додатне число, не змінивши при цьому знак нерівності.

3) Обидві частини нерівності можна помножити або поділити на одне ㅤ й те саме від'ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ протилежний.

3. Властивості (Теореми):

1) Якщо а < b, b < с, то а < с: Геометрично ця властивість означає: якщо точка А (якій відповідає число а) лежить лівіше від точки В (якій відповідає число b), а точка В, у свою чергу, лежить лівіше від точки С (якій відповідає число с), тоді точка А тим більше буде лежати лівіше від точки С.

2) Якщо а < b і с – будь-яке число, то а + с < b + с: Отже, якщо до обох частин правильної нерівності додати одне й те саме число, то отримаємо правильну нерівність.

3) Якщо а < b і с > 0, то ас < bс. Якщо а < b і с < 0, то ас > bс: Отже, якщо обидві частини правильної нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число, то отримаємо правильну нерівність.

Якщо обидві частини правильної нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число і замінити знак нерівності на протилежний, то отримаємо правильну нерівність.

4) Якщо а > b і с > d, то а + с > b + d: Якщо почленно додати правильні нерівності одного знака, то одержимо правильну нерівність.

5) Якщо а < b, с < d і а > 0, b > 0, с > 0, d > 0, то ас < b: Якщо почленно перемножити правильні нерівності одного знака, ліві і праві частини яких є додатними числами, то отримаємо правильну нерівність.

Декілька рівнянь із двома змінними, відносно яких поставлено завдання знайти всі спільні розв’язки, називають системою рівнянь із двома змінними. Систему рівнянь позначають зліва фігурною дужкою, що їх об’єднує.

Розв’язати систему рівнянь із двома змінними означає знайти всі її розв’язки або довести, що система розв’язків не має.

Розв’язком системи рівнянь із двома змінними називають пару значень змінних, яка перетворює кожне рівняння системи на правильну рівність.

Системи рівнянь із двома змінними, які мають одні й ті самі розв’язки, називають рівносильними. Системи рівнянь, які не мають розв’язків, також вважають рівносильними.

Системи рівнянь мають такі властивості:

1) Якщо замінити порядок рівнянь заданої системи, то одержимо систему ㅤㅤㅤㅤ рівносильну даній.

2) Якщо одне з рівнянь системи замінити на рівносильне йому рівняння, то ㅤㅤㅤ одержимо систему, рівносильну даній.

3) Якщо в системі рівнянь з одного рівняння виразити одну змінну, наприклад у, ㅤ через іншу змінну, і одержаний вираз підставити замість у в друге рівняння ㅤ системи, то одержимо систему, рівносильну даній.

4) Якщо перше рівняння системи замінити сумою першого рівняння, ㅤㅤㅤㅤㅤㅤ помноженого на число α ≠ 0, і другого рівняння, помноженого на число ㅤ β ≠ 0, а друге рівняння залишити без змін, то одержимо систему, ㅤㅤㅤㅤㅤㅤ рівносильну даній.

Дві нерівності називають рівносильними, якщо вони мають однакові розв'язки або, якщо обидві нерівності не мають розв'язків. При розв'язанні нерівності, дану нерівність замінюють більш простою, але рівносильною їй. Таку заміну називають рівносильним перетворенням нерівності.

Рівносильні перетворення нерівностей:

1) нерівність 3x^2 + 3,6x ≤ 0,84 рівносильна нерівності 3x^2 + 3,6x − 0,84 ≤ 0, 0,84 перенесли з правої частини нерівності в ліву з протилежним знаком;

2)  нерівність 4x^2 − 14x + 12 ≥ 0 рівносильна нерівності 2x^2 − 7x + 6 ≥ 0, обидві частини першої нерівності поділили на додатне число 2;

3)  нерівність −2x^2 + 7x − 6 > 0 рівносильна нерівності 2x^2 − 7x + 6 < 0, обидві частини першої нерівності помножили на від'ємне число −1, при цьому знак нерівності > змінили на протилежний, тобто <;

4) нерівність (2t^2 + 3)(7t − 6) > 0 рівносильна нерівності 7t − 6 > 0, обидві частини початкової нерівності поділили на вираз 2t^2 + 3, додатне при будь-яких значеннях t, при цьому знак початкової нерівності залишили без зміни;

5)  нерівність 11z + 6 − 2z^2 − 3 < 0 рівносильна нерівності 11z + 6 > 0, обидві частини початкової нерівності помножили на вираз −2z^2 − 3 від'ємне при будь-яких значеннях z, при цьому знак початкової нерівності < змінили на протилежний >.

1. Послідовність, в якій кожен наступний член можна знайти, додавши до попереднього одне і те ж число d, називається арифметичною прогресією.

Якщо послідовність (an) є арифметичною прогресією, тоді для будь-якого натурального значення n справедлива залежність an + 1 = an + d. Число d називається різницею арифметичної прогресії.

2. n-ий член арифметичної прогресії можна отримати, якщо до першого члену прогресії додати (n − 1) різниць, тобто, an = a1 + d(n−1), де n - порядковий номер члена прогресії, a1 - перший член прогресії, d - різниця. Ця рівність називається загальною формулою арифметичної прогресії. Її використовують, щоб обчислити n-ий член арифметичної прогресії (наприклад, десятий, сотий та ін.), якщо відомі перший член послідовності і різниця. Можна також таким способом: a3 = a2 + d.

Сума перших n членів арифметичної прогресії: Суму перших n членів арифметичної прогресії можна знайти, використовуючи формулу: Sn = (a1 + an)n / 2 , де n - число членів послідовності.

1. Послідовність (bn), у якій кожний наступний член можна знайти, якщо попередній член помножити на одне і те ж число q, називається геометричною прогресією. Число q називається знаменником геометричної прогресії. Якщо у геометричній прогресії (bn) відомий перший член b1 і знаменник q, тоді можливо знайти будь-який член прогресії.

2. Загальний член геометричної прогресії bn можна обчислити, використовуючи формулу: bn = b1 * qn - 1, де n- порядковий номер члена прогресії, b1 - перший член послідовності, q- знаменник. Можна також таким способом: b3 = b2 * q.

3. Сума перших n членів геометричної прогресії: Суму перших n членів геометричної прогресії Sn можна знайти, якщо обчислити її члени b1, b2, ..., bn і потім їх значення додати.

Обчислюючи суму перших n членів геометричної прогресії, зручніше використовувати 1-у формулу: Sn = bnq − b1 / q − 1, де n - кількість членів послідовності (порядковий номер), b1- перший член послідовності, bn - n-ий член послідовності, q - знаменник.

Розв'язуючи задачі, зручніше використовувати 2 - у формулу: Sn = b1(qn − 1) / q − 1.

1. Пряма - це відрізок, який не має ні початку, ні кінця, ми можемо накреслити тільки частину прямої, оскільки її можна продовжити.

Пряму прийнято позначати однією маленькою буквою латинського алфавіту.

2. Промінь — це пряма лінія, яка має початок, але не має кінця. Його можна продовжити тільки в одну сторону.

Промінь позначають або малою латинською буквою, або двома великими латинськими буквами, перша з яких позначає початок променя, а друга — якусь точку на промені.

3. Дві точки на прямій утворюють відрізок. Відрізок — має початок і кінець, його не можна продовжити.

Відрізок позначають двома великими латинськими буквами.

4. Ламана лінія — це лінія, що складається з кількох відрізків, послідовно поєднаних крайніми точками. Відрізки у ламаній називаються ланками. Кінець одного відрізка — одночасно початок іншого.

Назва ламаної складається із першої літери початкової ланки та останньої літери останньої ланки.

5. Виміряти відрізок - це означає підрахувати, скільки одиничних відрізків у ньому міститься.

Аксіома вимірювання відрізків: Кожний відрізок має певну довжину, що виражається додатним числом у заданих одиницях вимірювання. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які відрізок ділиться будь-якою його точкою.

Аксіома відкладання відрізків: На будь-якому промені від його початкової точки можна відкласти відрізок заданої довжини, і тільки один.

Властивості довжини відрізка:

1) Рівні відрізки мають рівні довжини, а більший відрізок має більшу довжину.

2) Частина відрізка завжди має довжину, яка менша від довжини відрізка.

3) Якщо точки на відрізку ділять його на частини, то довжина відрізка дорівнює ㅤ сумі довжин цих частин: AB = AC + CB.

1. Кутом називається фігура, яка складається з точки, вершини кута, і двох променів, що виходять із цієї точки (промені називаються сторонами кута).

Види кутів:

1) Повний кут — це кут, у якого дві сторони збігаються. Протилежністю повного кута є — нульовий кут. Нульовий кут — це кут, у якого дві сторони збігаються, тобто, з вершини виходять два однаково напрямлених промені. Нульовий кут дорівнює 0°.

2) Чверть повного кута, або половина розгорнутого кута називається прямим кутом, для якого характерна величина ∠AOB = 90° і особливий знак у внутрішній частині кута.

3) Кут, величина якого 0°< ∠AOB < 90°, називається гострим кутом.

4) Кут, величина якого 90°< ∠AOB < 180°, називається тупим кутом.

5) Будь-який кут градусна міра якого від 0° до 180° включно називається опуклим кутом. Кут, величина якого лежить в межах 180°< ∠AOB < 360°, не включаючи граничні значення, називається відкритим (неопуклим або увігнутим) кутом.

Аксіома вимірювання кутів: Кожний кут має градусну міру, що виражається додатним числом. Розгорнутий кут дорівнює 180°. Якщо промінь ділить даний кут на два кути, то градусна міра даного кута дорівнює сумі градусних мір двох отриманих кутів.

Аксіома відкладання кутів: Від будь-якого променя даної прямої можна відкласти в заданий бік від прямої кут із заданою градусною мірою, меншою за 180°, і тільки один.

1. Два кути, у яких одна сторона спільна, а дві інші сторони є доповняльними променями, називаються суміжними. Сума суміжних кутів дорівнює 180°.

Рисунок 18.3.1 Оскільки ∠AOB = 180° — розгорнутий кут і промінь OC ділить його на дві частини, то ∠1 + ∠2 = 180°.

Властивості суміжних кутів:

1) Якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути також рівні.

2) Два кути, суміжні з одним і тим самим кутом, рівні.

3) Кут, суміжний і з прямим кутом, також прямий. Кут, суміжний із тупим кутом, ㅤ гострий. Кут, суміжний із гострим кутом, тупий.

2. Два кути називаються вертикальними, якщо обидві сторони одного кута є продовженням сторін другого.

Рисунок 18.3.2. Якщо перетинаються дві прямі, тої утворюються дві пари вертикальних кутів: ∠1,∠3 і ∠2,∠4. За властивістю суміжних кутів ∠1 + ∠2 = 180° і ∠1 + ∠4 = 180°. Отже,∠2 =∠4. Також зрозуміло, що ∠1 =∠3.

Властивості вертикальних кутів:

1) Вертикальні кути рівні.

2) Якщо один із вертикальних кутів прямий, тобто дорівнює 90°, то інші кути ㅤㅤ також прямі.

Якщо прямі лежать на одній площині й не перетинаються, то їх називають паралельними. Дві прямі, що перетинаються під прямим кутом, називаються перпендикулярними.

Скорочено це записують так: a⊥b. (Рисунок 18.3.3).

Відрізки або промені називаються перпендикулярними, якщо вони лежать на перпендикулярних прямих.

Теорема (про дві прямі, перпендикулярні до третьої): Дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні. Твердження теореми ілюструє рисунок 18.3.4. На цьому рисунку a⊥b,a⊥c,b∥c.

Ця властивість використовується для побудови паралельних прямих за допомогою лінійки та косинця. Двічі прикладаючи косинець до лінійки, можна провести дві прямі, перпендикулярні до краю лінійки.

Теорема (про існування і єдиність перпендикулярної прямої):

Через будь-яку точку площини можна провести пряму, перпендикулярну

до даної, і тільки одну.

Додатково: Перпендикуляром до даної прямої, проведеним із точки A, називається відрізок прямої, перпендикулярної до даної, одним із кінців якого є точка А, а другим (основою перпендикуляра) — точка перетину цих прямих. Відстанню від точки до прямої, яка не проходить через дану точку, називається довжина перпендикуляра, проведеного з даної точки до даної прямої.

Рух — це відображення площини на себе, при якому зберігаються відстані між точками. Якщо дві фігури поєднати одну з одною за допомогою руху, то ці фігури будуть однакові, рівні.

Один із таких рухів — осьова симетрія. Кожній точці на площині за певним законом ставиться у відповідність інша точка тієї самої площини.

Закон такий:

1. Із точки M проводиться перпендикуляр до осі симетрії (прямої) і виходить точка P — точка перетину перпендикуляра з віссю.

2. На перпендикулярі відкладається відрізок PM1 = PM і розташовується точка M1.

Отже, будь-якій точці M площини ставиться у відповідність єдина точка M1 площини. Осьова симетрія є окремим випадком так званого відображення площини на себе.
Щоб відобразити фігури в симетрії відносно прямої, достатньо відобразити відповідні вершини.

Іншим окремим випадком відображення площини на себе є центральна симетрія. Точка площини M переходить у точку площини M1 за наступним законом:

1. Із точки M проводиться пряма, що з'єднує точку з центром симетрії (точкою O).

2. На прямій відкладається відрізок OM1 = OM і розташовується точка M1.

M1 ставиться у відповідність точці M.
Щоб відобразити фігури в симетрії відносно точки, достатньо відобразити відповідні вершини.

Обидва наведених приклади відображень мають наступні властивості:

1) Кожен відрізок даної довжини переходить у відрізок тієї самої довжини, тобто ㅤ відстані між будь-якими точками зберігаються.

2) Промінь переходить у промінь, пряма — у пряму.

3) Під час руху фігура відображається в рівну їй фігуру.

4) Рух є оберненим. Відображення, зворотне руху, є рухом.

5) Композиція двох рухів також є рухом.

Спрямований відрізок називається вектором. Вектор можна позначити:

• двома великими буквами, поставивши над ними стрілочку; перша буква позначає початкову точку, друга — кінцеву точку; наприклад, AB→ (читається: вектор AB);
• маленькою буквою зі стрілочкою над нею, наприклад, a→(читається: вектор a).

Якщо початкова та кінцева точки вектора збігаються, виходить нульовий вектор, який позначається як 0→.

Будь-яку точку на площині можна вважати нульовим вектором.

Довжина відрізка AB називається довжиною, або модулем вектора AB→ і позначається як |AB→|.

Формула довжини вектора для плоских задач

У випадку плоскої задачі модуль вектора a = {ax; ay} можна знайти скориставшись наступною формулою:

• |a→| = √ax^2 + ay^2

Величини, з якими зустрічаємося в природничих науках, бувають скалярними або векторними.

Скалярними називаються величини, що мають числове значення, але не мають напряму. Наприклад: кількість якихось предметів, довжина, щільність.

Векторними величинами, або векторами, називаються величини, що мають і числове значення, і напрям. Приклади векторних величин: швидкість, сила, переміщення.

Запам'ятай відмінність між відстанню і переміщенням! Відстань — скалярна величина. Переміщення — векторна величина.

Колінеарні вектори

Вектори, паралельні одній прямій або які лежать на одній прямій називають колінеарними векторами (Рисунок. 20.3.1.).

Співнаправлені вектори

Два колінеарних вектора a→ і b→ називаються співнаправленими векторами, якщо їх напрямки співпадають: a↑↑b (Рисунок. 20.3.2.).

Протилежно направлені вектори

Два колінеарних вектора a→ і b→ називаються протилежно направленими векторами, якщо їх напрямок протилежний: a↑↓b (Рисунок 20.3.3.).

Компланарні вектори

Вектори, паралельні одній площині або які лежать на одній площині називають компланарними векторами. (Рисунок 20.3.4.).

Рівні вектори

Вектори a→ і b→ називаються рівними, якщо вони лежать на одній прямій або паралельних прямих, їх напрямки співпадають, а довжини рівні (Рисунок 20.3.5.).

Тобто, два вектори рівні, якщо вони колінеарні, співнаправлені та мають рівні довжини: a = b, якщо a↑↑b і |a| = |b|.

Одиничний та нульовий вектор

Одиничним вектором або ортом - називається вектор, довжина якого дорівнює одиниці.

Нульовим вектором називається вектор, у якого початкова і кінцева точки співпадають.

Формули додавання і віднімання векторів для плоских задач

У випадку плоскої задачі суму та різницю векторів a→ = {ax; ay} і b→ = {bx; by} можна знайти скориставшись наступними формулами:

• a→+ b→ = {ax + bx; ay + by}
• a→ - b→ = {ax - bx; ay - by}

Формули додавання і віднімання n -вимірних векторів

У випадку n -вимірного простору суму та різницю векторів a→ = {a1; a2; ...; an} і b→ = {b1; b2; ...; bn} можна знайти скориставшись наступними формулами:

• a→ + b→ = {a1 + b1; a2 + b2; ... ; an + bn}
• a→ - b→ = {a1 - b1; a2 - b2; ... ; an - bn}

Множення вектора на число для плоских задач

У випадку плоскої задачі добуток вектора a→ = {ax; ay} та числа k можна знайти скориставшись наступною формулою:

• k · a→ = {k · ax; k · ay}

Властивості добутку вектора на число:

• b→ || a→ - вектори b→ і a→ паралельні.
• a↑↑b, якщо k > 0 - вектори b→ і a→ співнаправлені, якщо число k > 0.
• a↑↓b, якщо k < 0 - вектори b→ и a→ протилежно направлені, якщо число k < 0.
• |b→| = |k→| · |a→| - модуль вектора b→ дорівнює модулю вектора a→ помноженому на модуль числа k.

Формули скалярного добутку векторів заданих координатами

У випадку плоскої задачі скалярний добуток векторів a→ = {ax; ay} і b→ = {bx; by} можна знайти скориставшись наступною формулою:

• a→ · b→ = ax · bx + ay · by

Многокутник — це проста замкнена ламана лінія і кінцева частина площини, яку вона обмежує. Вершини ламаної лінії називаються вершинами многокутника, а її ланки — сторонами многокутника.

Відрізки, які з'єднують вершини і не належать одній стороні, називаються діагоналями многокутника.

A, B, C, D, E — вершини;
AB, BC, CD, DE, AE — сторони;
AC, AD, BE, BD, CE — діагоналі.

Многокутник, у якого всі кути менші, ніж 180°, називається опуклим многокутником.

П'ятикутник ABCDE є опуклим многокутником.(Рисунок 20.1.).

Сума кутів опуклого n-кутника

У загальному випадку многокутник можна назвати n-кутником. Це означає, що в даного многокутника n сторін та n вершин.

Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180° * (n − 2).

Трикутником називається геометрична фігура, що складається з трьох точок (вершин трикутника), які не лежать на одній прямій, і трьох відрізків (сторін трикутника), що попарно сполучають ці точки.

Сторони трикутника утворюють у його вершинах три кути. Іншими словами, трикутник — це многокутник, у якого є рівно три кути.

Різносторонній

Трикутник, який має три різні за довжиною сторони, називають різностороннім.

Рівнобедрений

Трикутник, який має дві рівні сторони, називається рівнобедреним. Рівні сторони називаються бічними, а третя сторона – основою трикутника.

Рівносторонній

Трикутник, у якого всі сторони рівні, називають рівностороннім, або правильним. У рівностороннього трикутника всі кути рівні, величина кожного з них дорівнює 60°.

Гострий

Гострокутним називається трикутник, у якого всі кути гострі. Тобто кути, градусні міри якого менше 90°.

Тупий

Тупокутним називається трикутник, у якого є тупий кут. Тобто кут, градусна міра якого більше 90°.

Прямокутний

Прямокутним називається трикутник, у якого є прямий кут. Сторону прямокутного трикутника, протилежну прямому куту, називають гіпотенузою, а дві інші сторони – катетами. Тобто кут, градусна міра якого дорівнює 90°

1. Медіана трикутника — це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Для побудови медіани необхідно виконати такі дії:

1. Знайти середину сторони.
2. З'єднати точку, яка є серединою сторони трикутника, з протилежною вершиною трикутника. Це і буде медіана.

2. Бісектриса трикутника — це відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину з точкою на протилежній стороні.

Для побудови бісектриси необхідно виконати такі дії:

1. Побудувати бісектрису кута трикутника (бісектриса кута — це промінь, що виходить із вершини кута й ділить його на дві рівні частини).
2. Знайти точку перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною.
3. З'єднати вершину трикутника з точкою перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною — цей відрізок і буде бісектрисою трикутника.

3. Висота трикутника — це перпендикуляр, опущений із вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону.

Для побудови висоти необхідно виконати такі дії:

1. провести пряму, яка містить одну зі сторін трикутника (у разі, якщо проводиться висота з вершини гострого кута в тупокутному трикутнику);
2. із вершини, що лежить навпроти проведеної прямої, опустити до неї перпендикуляр (перпендикуляр — це відрізок, проведений із точки до прямої, який утворює з нею кут величиною 90°). Це і буде висота.

4. Якщо трикутник має тупий кут, то висоти, опущені з вершин гострих кутів, знаходитимуться за межами трикутника. Прямі, на яких розташовані висоти, перетинатимуться за трикутником. Отже, в тупокутному трикутнику ортоцентр лежить поза межами трикутника.

Точку перетину висот трикутника називають ортоцентром. В гострокутному він знаходиться всередині трикутника.

В рівнобедреному трикутнику (трикутник в якому дві сторони конгруентні) висота проведена до його основи є одночасно і медіаною, і бісектрисою.

Синус

Синусом гострого кута α прямокутного трикутника називають відношення катета, протилежного куту α, до гіпотенузи: sin α = BC / AB

Косинус

Косинусом гострого кута α прямокутного трикутника називають відношення катета, прилеглого до кута α, до гіпотенузи: cos α = AC / AB

Тангенс

Тангенсом гострого кута α прямокутного трикутника називають відношення катета, прилеглого до кута α, до катета, протилежного куту α: tg α = BC / AC

tg α = sin α / cos α

Котангенс

Котангенсом гострого кута α прямокутного трикутника називають відношення катета, прилеглого до кута α, до катета, протилежного куту α: ctg α = AC / BC

ctg α = cos α / sin α

Значення синуса, косинуса, тангенса і котангенса деяких кутів подано в таблиці Брадіса:

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів c^2 = a^2 + b^2.

Якщо знаходимо довжину гіпотенузи c, тоді виконуємо додавання квадратів довжин катетів a і b і визначаємо квадратний корінь:

• c^2 = a^2 + b^2
• с = √a^2 + b^2

Якщо знаходимо довжину одного катета, тоді виконуємо віднімання довжини квадрата іншого катета з квадрата довжини гіпотенузи і визначаємо квадратний корінь:

• a^2 = c^2 − b^2
• a = √c^2 − b^2

Зворотна теорема використовується, як ознака прямокутного трикутника: Якщо квадрат однієї сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, тоді трикутник є прямокутним.

Основні тригонометричні тотожності

Для будь-якого кута α прямокутного трикутника:

• sin(90° - α) = cos α
• cos(90° - α) = sin α
• tg(90° - α) = ctg α
• ctg(90° - α) = tg α

Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на іншій його стороні.

Теорему Фалеса використовують, щоб поділити відрізок на декілька рівних частин:

BD = DE = EF = FG = GH = HJ = JC та BR = RP = PN = NM = ML = LK = KA. BD = DE = EF = FG = GH = HJ = JC і AC ∥JK ∥ HL ∥ GM ∥FN ∥ EP ∥ DR. (Рисунок 21.5.1.).

Перша ознака рівності трикутників (за двома сторонами і кутом між ними)

Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники є рівними.

Друга ознака рівності трикутників (за стороною і двома прилеглими кутами)

Якщо сторона і два прилеглі до неї кути одного трикутника відповідно дорівнюють стороні і двом прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники - рівні.

Третя ознака рівності трикутників (за трьома сторонами)

Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники є рівними.

Два прямокутні трикутники рівні, якщо виконується одна з умов:

1. два катети одного трикутника відповідно дорівнюють двом катетам другого трикутника;
2. катет і гострий кут одного трикутника відповідно дорівнюють катету і гострому куту другого трикутника;
3. гіпотенуза і гострий кут одного трикутника дорівнюють гіпотенузі і гострому куту другого трикутника;
4. гіпотенуза і катет одного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі і катету другого трикутника.

Перша ознака подібності трикутників

Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого, то такі трикутники подібні.

Якщо ∠B = ∠E і ∠C = ∠F, тоді ΔABC∼ΔDEF.(Рисунок 22.1.1.).

Друга ознака подібності трикутників

Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника і кути, утворені цими сторонами рівні, то такі трикутники подібні.

Якщо AB / DE = AC / DF і ∠A = ∠D, тоді ΔABC∼ΔDEF.(Рисунок 22.1.2.).

Третя ознака подібності трикутників

Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого, то такі трикутники подібні.

Якщо AB / DE = BC / EF = AC / DF, тоді ΔABC∼ΔDEF.(Рисунок 22.1.4.).

Під час розв'язання задач спочатку потрібно переконатися, що дані трикутники подібні. Якщо подібність трикутників не дано, її необхідно довести.

Чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні, називається паралелограмом.

Властивості паралелограма:

1. Протилежні сторони паралелограма рівні:

AB = DC, BC = AD.(Рисунок 23.1.1.).

2. Протилежні кути паралелограма рівні:

∠A = ∠C, ∠B = ∠D.(Рисунок 23.1.2.).

3. Діагоналі паралелограма діляться навпіл точкою перетину:

BO = OD, AO = OC.(Рисунок 23.1.3.).

4. Діагональ ділить паралелограм на два рівні трикутники:

ABC і CDA.(Рисунок 23.1.4.).

5. Сума кутів, прилеглих до кожної сторони паралелограма, дорівнює 180°:

∠A + ∠D = 180°.(Рисунок 23.1.5.).

6. Різносторонні кути при діагоналі рівні:

∠BAC= ∠ACD, ∠BCA= ∠CAD.(Рисунок 23.1.6.).

Прямокутником називається паралелограм, у якого всі кути прямі.

Властивості прямокутника:

Оскільки прямокутник є паралелограмом, він має всі властивості паралелограма.

1. Протилежні сторони прямокутника рівні:

AB = CD, BC = AD.(Рисунок 23.2.1.).

2. Кожен кут прямокутника дорівнює 90°:

Це означає, що протилежні кути рівні й сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°.(Рисунок 23.2.2.).

3. Діагоналі прямокутника точкою перетину діляться навпіл:

BO = OD, AO = OC.(Рисунок 23.2.3.).

4. Діагональ прямокутника ділить його на два рівні прямокутні трикутники:

5. Різносторонні кути при діагоналі рівні:

6. Діагоналі прямокутника рівні:

BD = AC.(Рисунок 23.2.6.).

Ромбом називається паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Властивості ромба:

1. Протилежні сторони ромба рівні:

AB = BC = CD = AD (оскільки всі сторони рівні).(Рисунок 23.3.1.).

2. Протилежні кути ромба рівні:

∠A = ∠C і ∠B = ∠D.(Рисунок 23.3.2.).

3. Діагоналі ромба точкою перетину діляться навпіл:

BO = OD і AO = OC.(Рисунок 23.3.3.).

4. Сума кутів, прилеглих до однієї сторони ромба, дорівнює 180°:

∠A + ∠D = 180°.(Рисунок 23.3.4.).

5. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні:

AC ⊥ BD.(Рисунок 23.3.5.).

6. Діагоналі ромба є також бісектрисами його кутів (ділять кути ромба навпіл):

7. Діагоналі ділять ромб на чотири рівні прямокутні трикутники:

Трикутники ABO, CBO, CDO, ADO — рівні прямокутні трикутники.(Рисунок 23.3.7.).

Ознаки ромба:

Використовуючи ознаки ромба, можна визначити, чи є даний паралелограм ромбом.

1. Якщо діагоналі паралелограма перпендикулярні, то такий паралелограм є ромбом.

2. Якщо дві суміжні сторони паралелограма рівні, то такий паралелограм є ромбом.

3. Якщо діагоналі паралелограма є бісектрисами його кутів, то такий паралелограм є ромбом.

4. Якщо всі сторони опуклого чотирикутника рівні, то такий чотирикутник є ромбом.

Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні.

Властивості квадрата:

1. Всі сторони квадрата рівні:

AB = BC = CD = AD.(Рисунок 23.4.1.).

2. Кожен із кутів квадрата дорівнює 90°:

3. Діагоналі квадрата рівні й точкою перетину діляться навпіл:

BD = AC і BO = OD = AO = OC.(Рисунок 23.4.3.).

4. Діагоналі квадрата взаємно перпендикулярні:

BD ⊥ AC.(Рисунок 23.4.4.).

5. Діагоналі квадрата є бісектрисами його кутів:

∠ABD = ∠DBC = ∠BCA = … =45°.(Рисунок 23.4.5.).

6. Діагоналі квадрата ділять його на чотири рівні прямокутні рівнобедрені трикутники:

Чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не паралельні, називається трапецією. Паралельні сторони трапеції називаються її основами. Сторони, які не паралельні, називаються бічними сторонами трапеції.

Прямокутна трапеція

Трапеція, у якої одна бічна сторона перпендикулярна до основ, називається прямокутною трапецією.(Рисунок 23.5.1.).

Рівнобічна (рівнобедрена) трапеція

Рівнобедрена трапеція — це трапеція, у якої бічні сторони рівні.(Рисунок 23.5.2.).

Властивості трапеції

Сума внутрішніх кутів трапеції (і будь-якого іншого чотирикутника) дорівнює 360°. Властивість, яка притаманна трапеції будь-якого виду: сума кутів, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°.(Рисунок 23.5.3.).

Коло — це фігура на площині, в якій усі точки розташовані на рівній відстані від однієї точки , яка є центром кола. Відстань від центра кола до будь - якої точки кола називається радіусом і в записах позначається буквою R.

Центр кола найчастіше позначається буквою O. Коло ділить площину на дві частини: внутрішню та зовнішню.

Відрізок, що проходить через центр кола (круга), називається діаметром і позначається буквою D.

Хорда — відрізок, що з'єднує будь - які дві точки кола.

Діаметр кола — це найбільша хорда.
Довжина діаметра дорівнює довжині двох радіусів: D = 2R. Діаметр ділить коло на два півкола, а круг — на два півкруги.

Точки на колі ділять коло на частини, які називаються дугами, а точки — кінцями цих дуг.

1. Якщо відстань від центра кола до прямої дорівнює радіусу, то в прямої і кола одна спільна точка. У цьому випадку пряму називають дотичною до кола. Дотичною до кола називається пряма, що має з колом одну спільну точку.

Дотична до кола перпендикулярна радіусу, проведеному до точки дотику.

Якщо з точки до кола проведено дві дотичні, то:
a) довжини відрізків дотичних від цієї точки до точки дотику рівні;
b) пряма, що проходить через центр кола і цю точку, ділить кут між дотичними навпіл.(Рисунок 24.2.1.).

Якщо відстань від центра кола до прямої менша від радіуса, то в прямої і кола дві спільні точки. У цьому випадку пряму називають січною кола. Якщо пряма має дві спільні точки з колом, то вона називається січною.

2. Дуга кола (◡) - частина кола, яка сполучає дві точки на колі.

Градусна міра дуги - кут між двома радіусами, які обмежують цю дугу. Градусна міра дуги завжди дорівнює градусній мірі центрального кута, який обмежує цю дугу своїми сторонами.

Формула довжини дуги через центральний кут (в градусах): l = πr / 180°∙ α.

Півколо - дуга у якої кінці сполучені діаметром кола.

Півкруг (◓) - частина круга, яка обмежена півколом та діаметром.

Сектор (◔) - частина круга, яка обмежена двома радіусами та дугою між цими радіусами.

Формула площі сектора через центральний кут (в градусах): S = πr^2 / 360°∙ α.

Сегмент - частина круга, яка обмежена дугою та хордою, що сполучає її кінці.

Кут із вершиною в центрі кола називається центральним кутом.

Градусна міра центрального кута дорівнює градусній мірі відповідної дуги кола: ∠AOB = ∪ AB.(Рисунок 25.1.).

Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають коло, називається вписаним кутом.

Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається: ∠ACB = 1 / 2 ∪ AB.(Рисунок 25.2.).

1. Вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу, рівні. 2. Вписаний кут, що спирається на півколо, дорівнює 90°. (Рисунок 25.3.).

1. Площа трикутника дорівнює пів добутку його сторони (основи) на проведену до неї висоту: S = 1 / 2 ah.

Крім того, площу трикутника можна обчислити за формулою Герона: S = √p(p - a)(p - b)(p - c), де a, b, c – сторони трикутника, p = a + b + c / 2 – його півпериметр.

2. Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів: S = 1 / 2 ab.

Площу правильного (рівностороннього) трикутника можна обчислити за формулою: S = a^2√3 / 4, де а – його сторона.

3. Формула площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними
Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін помноженого на синус кута між ними:

• S = 1 / 2a * b * sin γ
• S = 1 / 2 a * c * sin β
• S = 1 / 2 b * c * sin α

4. Формула площі трикутника за трьома сторонам і радіусом описаного кола: S = a * b * с / 4R.

5. Формула площі трикутника за трьома сторонами і радіусом вписаного кола
Площа трикутника дорівнює добутку півпериметра трикутника на радіус вписаного кола: S = p * r.

1. Площа прямокутника дорівнює добутку довжин двох його суміжних сторін: S = a * b.

1. Формула площі паралелограма за довжиною сторони і висоти
Площа паралелограма дорівнює добутку довжин його сторони і опущеної на цю сторону висоти: S = a * h.

2. Формула площі паралелограма за двома сторонами і кутом між ними
Площа паралелограма дорівнює добутку довжин його сторін помноженому на синус кута між ними: S = a * b * sin α.

3. Формула площі паралелограма за двома діагоналями і кутом між ними
Площа паралелограма дорівнює половині добутку довжин його діагоналей, помноженого на синус кута між ними: S = 1 / 2 d1 * d2 * sin γ.

1. Формула площі квадрата за довжиною сторони. Площа квадрата дорівнює квадрату довжини його сторони: S = a^2.

2. Формула площі квадрата за довжиною діагоналі.
Площа квадрата дорівнює половині квадрата довжини його діагоналі: S =1 / 2 d^2.

1. Формула площі ромба за довжиною сторони і висоти
Площа ромба дорівнює добутку довжин його сторони і опущеної на цю сторону висоти: S = a * h.

2. Формула площі ромба за довжиною сторони і кутом
Площа ромба дорівнює добутку квадрату довжини його сторони і синуса кута між сторонами ромба: S = a^2 * sin α.

3. Формула площі ромба за довжинами його діагоналей
Площа ромба дорівнює половині добутку довжин його діагоналей: S = 1 / 2 d1 * d^2.

1. Формула Герона для трапеції: S = a + b / |a - b| * √(p - a)(p - b)(p - a - c)(p - a - d).

2. Формула площі трапеції за довжиною основ і висоти
Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ та висоти: S = 1 / 2 (a + b) * h.

1. Формула площі круга через радіус
Площа круга дорівнює добутку квадрату радіуса та числа пі: S = π r^2.

2. Формула площі круга через діаметр
Площа круга дорівнює чверті добутку квадрата діаметра та числа пі: S = 1 / 4 π d^2.

Коло — це фігура, що складається з усіх точок площини, відстань від яких до даної точки не більша від даної. Дана точка називається центром кола, а дана відстань — радіусом кола.

У колі відношення довжини кола до діаметра кола не залежить від кола й наближено дорівнює 3,14. Це число позначають буквою π.

Таким чином, довжина кола дорівнює l = 2πR, де R — це радіус кола, l — довжина кола.

Дуга кола визначається радіусом кола r і центральним кутом α. Знаючи ці два значення, нескладно обчислити довжину дуги L за формулою: L = πr/180 * α.

Площа круга обчислюється за формулами:

• S = πR^2
• S = πd^2 / 4

Круговим сектором називається частина круга, яка лежить усередині відповідного центрального кута.

Площа сектора може бути обчислена за формулою:

• S = R^2 n° / 360°

Подібні фігури

Фігура F1 називається подібною до фігури F (F1∼ F), якщо існує відображення фігури F на фігуру F1, при якому для будь-яких двох точок A і B фігури F їх образів A1 і B1 фігури F1 відношення відстаней AB і A1B1 є величиною сталою.(Рисунок 28.1.).

Число k = AB / A1B1 називають коефіцієнтом подібності. У подібних фігур відповідні кути рівні, а відповідні відрізки пропорційні.

Відношення площ подібних фігур

Відношення площ подібних трикутників пропорційне квадрату лінійних розмірів відповідних сторін: S / S1 = AB^2 / A1B1^2.

Sabc / Sa1b1c1 = k^2.

Для обчислення елементів прямокутного трикутника достатньо 2 дані величини (дві сторони або сторона і кут). Для обчислення елементів довільного трикутника необхідно хоча б 3 дані величини.

Теорема косинусів: Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними:

Також теорема виконується для будь-якої сторони трикутника:

• b^2 = a^2 + c^2 − 2ac * cosB.
• c^2 = a^2 + b^2 − 2ab * cosC.

Теорема косинусів використовується для обчислення:

• невідомої сторони трикутника, якщо відомі дві сторони і кут між ними;
• обчислення косинуса невідомого кута трикутника, якщо відомі всі сторони трикутника.

Значення косинуса тупого кута знаходиться за формулою зведення: cos(180° − α)= −cosα.

Найчастіше використовуються тупі кути:

cos120° = cos(180° − 60°)= −cos60° = −1/2.

cos150° = cos(180° − 30°)= −cos30° = −√3/2.

cos135° = cos(180° − 45°) = −cos45° = −√2/2.

Теорему Піфагора і тригонометричні функції гострого кута можна використовувати для обчислення елементів лише в прямокутному трикутнику.

Для знаходження елементів у довільному трикутнику використовується теорема синусів або теорема косинусів.

Теорема синусів: Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів:

Теорема синусів використовується для обчислення:

• невідомих сторін трикутника, якщо відомі два кути і одна сторона;
• невідомих кутів трикутника, якщо відомі дві сторони і один прилеглий кут.

Оскільки один із кутів трикутника може бути тупим, значення синуса тупого кута знаходиться за формулою зведення: sin(180°− α) = sin α.

Найчастіше використовуються тупі кути:

• sin120° = sin(180° − 60°) = sin60° = √3/2.
• sin150° = sin(180° − 30°) = sin30°= 1/2.
• sin135° = sin(180° − 45°) = sin45° = √2/2.

Радіус описаного кола

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R = D, де R — радіус описаного кола, D — діаметр описаного кола.(Рисунок 29.2.1.).

Виразивши радіус, отримуємо: R = a/2sinA, або R = b/2sinB, або R = c/2sinC.