Четвертое измерение. Пифагор и Платон
Согласно воззрениям Парменида, принадлежавшего к элейской школе, весь мир есть нечто единое, неподвижное и неизменное. Это — постоянное среди преходящего и скоротечного, прочная опора для мысли, надёжный оплот для чувства. От степени раскрытия этого «нечто» зависит весь уклад нашей жизни. Это не иллюзия. Среди лжи и обмана оно является сущностью истинного бытия — вечного, непоколебимого, единственного. Так учил Парменид.
Но как объяснить изменчивость видимой сцены мира, всё это непостоянство и переменчивость вещей?
«Иллюзия», — отвечает Парменид. Различая истину и заблуждение, он утверждает подлинную доктрину об едином и отвергает мнение о том, что мир изменчив. Он не менее примечателен по методам защиты своего учения, чем по самому содержанию. Кажется, что, найдя прочную опору в бытии, он мог свободно играть мыслями, под тяжестью которых другие мыслители изнемогали. Именно от него, собственно, начинается та лёгкость предположений и гипотез, которая впоследствии составила основу диалектики Платона.
Можно ли представить более парадоксальную и забавную картину, чем Парменид, указывающий на единое, истинное и неизменное и в то же время охотно обсуждающий всевозможные ложные космогонии, даже заявляя: «Это ложь, но моя собственная», — как было принято в его эпоху?
Чтобы утвердить истину и правильное мнение, он начинал с отрицания, указывая на противоречия в идеях об изменчивости и движении. Сомнительно, чтобы его взгляды, за исключением второстепенных пунктов, когда-либо были успешно опровергнуты. Если выразить его учение современным и точным образом, то следует сказать: движение не реально, а феноменально.
Чтобы понять его доктрину, вообразим следующее.
Представьте себе полосу стоячей воды, в которую вертикально погружается палка, удерживаемая под наклоном. Пусть 1, 2 и 3 будут три последовательных положения палки. Точки A, B и C будут обозначать три последовательных места соприкосновения палки с поверхностью воды. По мере того как палка погружается, точка её соприкосновения с поверхностью будет смещаться от A к B и C.
Теперь представьте, что вся вода убрана, кроме самой верхней плёнки. В месте соприкосновения плёнки и палки появится разрыв. Если допустить, что плёнка, подобно мыльному пузырю, обладает свойством плотно обхватывать проникающий предмет, то по мере вертикального движения палки разрыв будет передвигаться вперёд.
Если через плёнку пропустить спираль, то в точке её пересечения с плёнкой получится движущаяся по кругу точка. Теперь предположим, что спираль неподвижна, а сама плёнка движется вертикально вверх. Тогда вся спираль будет воспроизводиться в плёнке последовательными положениями точки пересечения. Для самой плёнки это будет восприниматься как порядок во времени: след прохождения спирали будет выражаться движущейся по кругу точкой.
Если же предположить наличие некоторого сознания в плёнке, то пересечение её со спиралью будет обусловливать определённый опыт. В этом случае в плёнке будет восприниматься лишь движение точки по кругу, тогда как о самой спирали, которую эта точка на самом деле описывает, не будет известно ничего.
Теперь представим, что строение спирали очень сложно, что она состоит из множества различных волокон, и что каждое её сечение обнаруживает эту сложность. Если принять пересечения этих волокон с плёнкой во время движения за «атомы», составляющие вселенную плёнки, то получится особый мир видимого движения. В нём будут тела, соответствующие волокнистому строению спирали, и их взаимное расположение будет обусловливать появление тел, движущихся друг относительно друга. Но это движение будет лишь видимостью. В действительности строение волокон спирали неподвижно, а все относительные движения объясняются только одним неизменным движением всей плёнки как целого.
Таким образом, мы можем вообразить себе плоский мир, в котором всё наблюдаемое разнообразие движения является лишь следствием строения атомов-волокон, проходящих через плоскость сознания. Обращаясь теперь к четырёхмерному пространству и к нашему миру, мы можем представить, что все вещи и всякое движение в нашей действительности суть только внешние проявления неизменной реальности в том пространстве, которое доступно нашему сознанию.
Каждый атом в каждый данный момент не есть то же самое, чем он был только что, но является новой частью бесконечной линии, которая существует сама по себе. И вся эта система, постепенно раскрывающаяся во времени, которое есть лишь последовательность сознания, как бы она ни казалась разделённой на части, в своём целом представляет одно только единство. Излагая учение Парменида таким образом, мы понимаем его гораздо вернее, чем если бы вслушивались лишь в его напыщенные и тяжеловесные слова. Одновременно мы получаем возможность проследить ход восточной мысли, которая, несомненно, не была чужда заключениям Парменида.
Возвращаясь к плоскости сознания и к строению атомов-волокон, допустим, что сами эти атомы движутся, действуют, живут. Тогда в поперечном движении плёнки будут наблюдаться два различных явления движения. Одно из них будет впечатлением, возникающим в плёнке от неизменно существующих в самих себе волокон; другое же — впечатлением от движения, вызванного изменениями самих атомов, совершающимися во время их прохождения через плоскость плёнки.
Следовательно, мыслящий обитатель этой плоскости будет получать двойственный опыт. С одной стороны, он будет воспринимать прохождение предмета как единого целого, пересечение которого с плёнкой обусловливает его сознание. Эти главные, общие движения произведут впечатление, соответствующее высшему существованию, неподвижному и неизменному. С другой стороны, малые изменения и отклонения от этих главных движений и действий будут представлять деятельность и самоопределение совершенного бытия, его высшего «Я».
Можно также предположить, что сознание плоскости имеет и свою долю участия в проявлении воли, которой определяется совершенное существование. Таким образом, побудительные причины и воля, инициатива и жизнь высшего бытия проявлялись бы для обитателя плёнки как инициатива и воля, способные влиять не на важнейшие обстоятельства и изменения его существования, но только на сравнительно мелкие и малозначительные стороны его деятельности. Во всех главных событиях своей жизни он по опыту заключал бы о таком виде существования высшего бытия, который определяет и его собственное бытие, по мере того как плёнка движется вперёд. Но в своих малых и на первый взгляд несущественных поступках он обладал бы волей и влиянием на собственную жизнь, подобно тому как существо его рода действует и живёт.
Изменение в высшем бытии соответствовало бы для него изменению условий жизни. Если теперь представить себе, что плёнка за плёнкой проходит через эти высшие структуры, а жизнь истинного бытия снова и снова воспринимается последовательными волнами сознания, то получится ряд существований в различных, постепенно совершенствующихся плоскостях сознания. Каждое из этих существований отличалось бы от предыдущего именно благодаря той воле и деятельности, которые в прошлых жизнях направлялись не на важнейшие, не на самые значительные обстоятельства, но главным образом на малые и, по-видимому, несущественные стороны жизни.
Во всех главных делах обитатель плоскости черпал бы волю в жизни своего собственного «Я», как это бывает и среди нас. В малых же вещах он следовал бы той воле, которой живёт, действует и изменяется высшее бытие.
Так мы приходим к понятию о жизни, изменяющейся и развивающейся в целом, к жизни, в которой наша временность, мимолётность и смертность лишь кажутся таковыми. На деле же сама жизнь в своём течении и в своих результатах изменяется и развивается. Сила, изменяющая и исправляющая жизнь в её целом, исходит из той воли и того могущества, которыми ограниченное бытие управляется и направляется в мелких и частных обстоятельствах своего существования.
Перенося эти представления в область идей о высшем измерении, которое пересекается плоскостью сознания, мы получаем пояснение мысли, находившей себе столь частое и разнообразное выражение. Однако, когда мы задаём себе вопрос о степени её достоверности, мы должны признать, что, насколько мы способны судить, всё это носит лишь символический характер. Истинный же путь исследования области высшего измерения пролегает в ином направлении.
Значение доктрины Парменида заключается в том, что и здесь повторяется то же, с чем мы встречаемся повсюду. Представления, которые человек составляет о самом себе, если только он их не создаёт под давлением внешнего опыта, имеют поразительное и знаменательное сходство с идеей о физическом существовании в мире высшего пространства. Насколько близко мы подходим к самому образу мыслей Парменида при таком представлении — сказать невозможно. Я лишь хочу указать на жизненность приведённой иллюстрации, которая даёт не только статический пример его учения, но и способна изменяться и развиваться в согласии с родственными формами мысли. Одно из двух положений должно быть признано истинным: либо идея о четвёртом измерении обладает удивительной силой воспроизводить мысль Востока, либо мыслители Востока действительно видели и учитывали в своих рассуждениях существование четырёхмерного бытия.
Пифагор придумал особый способ счёта — «двойное счисление». В обычном счёте мы просто считаем числа: 1, 2, 3, 4… А у Пифагора это заменялось сочетанием букв: например, «аа» вместо 1, «аb» вместо 2, «ас» вместо 3 и так далее. Здесь важен не смысл букв, а порядок, в котором они идут.
Сначала это просто последовательность — как будто имена или коды. Пока мы просто записываем такие сочетания, у нас нет понятия «расстояния» или «размера». Но если мы начнём представлять каждое сочетание как набор одинаковых маленьких частиц, которые стоят рядом друг с другом, то появляется идея протяжённости — длины или площади.
Дальше Пифагор показал, что можно строить целые системы из этих комбинаций. Например, взять не только «аа», но и «ba», «ca», «da», потом «ab», «bb», «cb», «db» и так далее. Если расположить такие пары в таблицу, то получится что-то вроде сетки.
Теперь представим поле, на котором стоят точки, расположенные правильными рядами. Четыре точки образуют квадрат. Такой квадрат можно взять за единицу измерения площади.
Но тут есть интересный момент: если внимательно посмотреть на сетку, то видно, что каждая точка угла одновременно принадлежит сразу четырём квадратам. То есть одна точка делится между ними.
Поэтому, если мы считаем площадь квадрата через количество точек, то получается, что квадрат вроде бы состоит из четырёх точек, но так как каждая из них принадлежит ещё трём соседним квадратам, то на самом деле «чисто его» точка — только одна. Отсюда вывод: площадь квадрата, выраженная в «точках», равна одной точке.
Когда мы измеряем площадь квадрата через точки, можно считать так: взять все внутренние точки (каждую за целую) и прибавить к этому по четверти от каждой угловой точки (потому что угол делится на 4 квадрата).
Если построить диагональный квадрат, то он содержит одну центральную точку и четыре угловые. Эти четыре угла в сумме дают ещё одну точку, то есть вместе получается 2. Значит, площадь диагонального квадрата равна двум квадратным единицам.
Теперь посмотрим на прямоугольный треугольник, к которому этот квадрат относится. На каждом катете тоже можно построить по квадрату. У них нет внутренних точек, а углы в сумме дают по одной точке каждому квадрату. Получается: квадрат на гипотенузе (диагонали) равен сумме квадратов на катетах. То есть мы получили знаменитое правило: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Дальше автор проверяет, работает ли это всегда. Если построить больший квадрат, то его площадь равна 5 квадратным единицам (4 внутренних точки + 4 угла, которые вместе дают ещё одну точку). Катеты при этом дают квадраты площадью 4 и 1. Снова совпадает: 5 = 4 + 1. Значит, закон действует и здесь.
Это свойство и стало одним из первых великих открытий прикладной математики. Автор делает важное замечание: это не свойство самого пространства, а именно расположения и соотношений материальных точек. Иными словами, это закон «сетки» или дискретной материи.
Пифагор пошёл дальше и задался вопросом: что будет, если повернуть квадрат? Например, квадрат со стороной 5 можно расположить прямо по линиям сетки, а можно — «наискось». В обоих случаях площадь будет одинаковая. И он заметил: такой квадрат равен сумме двух меньших квадратов — со сторонами 4 и 3.
И тут к нему пришла великая идея: числа выражают внутреннее свойство материи. Числовые соотношения проявляются не только в геометрии, но и в музыке. Например, если струны музыкального инструмента имеют определённые пропорции в длине, то они издают согласные и красивые для слуха звуки. Для уха такие соотношения так же приятны, как для ума — равенства площадей. Поэтому Пифагор приписал числам особое могущество.
Но важно помнить: у греков ещё не было идеи «сохранения материи» или «энергии», как у нас. Для них вещи были изменчивы и непрочны. Камень может разрушиться, металл сгореть и исчезнуть без остатка. Всё материальное им казалось скоротечным. Поэтому они искали нечто вечное, неизменное, что стоит за всеми изменениями.
И вот здесь Пифагор сделал шаг: если в мире всё разрушается и изменяется, то единственным подлинно постоянным может быть число. Оно остаётся тем же самым, каким бы образом ни проявлялось — в форме, в движении, в звуке.
Пифагор видел в числе «скрытую основу» мира. Но числа — это ещё не полнота бытия. Платон сделал следующий шаг: он сказал, что над чувственным миром существует мир идей.
То, что мы воспринимаем чувствами (зрение, слух, осязание), постоянно меняется, разрушаясь и исчезая. Но в вещах есть нечто устойчивое — идея, то, что не подвержено разрушению.
Пример: вещи могут быть разными по цвету, но сама идея «красоты» или «равенства» остаётся вечной.
Платон говорит: есть мир, где существуют вечные и неизменные сущности — красота, добро, справедливость. Всё, что мы видим вокруг, лишь тени и отражения этих подлинных сущностей.
Он даже рисует сравнение с «линией»:
- нижняя часть — это явления (тени, отражения, блеск на воде),
- верхняя часть — это реальность (солнце, красота, добро).
Задача души — уйти от иллюзорного восприятия и увидеть не видимость, а подлинное бытие.
Можно представить четырёхмерное существо, которое живёт в своём более высоком мире, но ограничено восприятием трёхмерного.
Такое существо знало бы реальность более глубоко, чем мы — так же, как мы знаем объём лучше, чем житель воображаемой «плоской страны».
Для него наш трёхмерный мир — это только поверхность.
То есть Платонова идея вечных сущностей может пониматься как намёк на измерение выше нашего.
Приводится знаменитый образ из «Государства»:
- люди прикованы в пещере и видят лишь тени на стене,
- они думают, что тени и есть реальность,
- но один из них вырывается наружу и видит настоящий мир (солнце, природу),
- возвращаясь, он рассказывает остальным, что они живут в иллюзии.
Для Платона наш чувственный мир — это пещера, тени, иллюзия. Настоящий мир — мир идей.
Таким образом, различие наше с Аристотелем во взглядах объясняется скорее нашим односторонним вниманием к изучению природы, чем какой-либо особой способностью создавать теории о целом, которые превосходили бы его собственные.
Аристотель всё подвергает исследованию. Он не отделяет материю от её проявлений, он соединяет всё в единое целое и охватывает одной общей идеей весь мировой процесс. Для него нет ничего случайного или мёртвого: перемещение пылинки, рост листа или движение небесных светил — всё это части единой гармонии.
И точно так же, как наши теории рассыпаются в прах перед его несравненной способностью оценивать факты, так и платоновская «доктрина идей» не выдержала его критики. По его мнению, рассуждения Платона, изложенные, например, в «Парменидах», не соответствуют действительности: они лишь подменяют одно неизвестное другим.
Вместо этого Аристотель выдвигает своё великое определение, которое не только согласуется с фактами, но и подтверждается жизненным опытом. Подобно тому как платоновское мистическое царство идей возвышается над чувственным миром, так и аристотелево учение о материи и форме предполагает существование высшей протяжённости.
Согласно Аристотелю, субстанция относительна, а не абсолютна. Во всякой вещи есть материя, из которой она состоит, и форма, в которой она проявляется; и то и другое неразрывно связано, одно немыслимо без другого. Каменные глыбы — это материал для строителя, но для каменолома они — просто вещество скалы, которому придана определённая форма. Слова — окончательный продукт для грамматика, но для поэта или оратора — это лишь материал. Даже атом, из которого построены вещества, может рассматриваться и как элементарное основание, и как результат сложнейших процессов.
Таким образом, нигде не удаётся найти окончательного предела: материя всегда выступает как материя в одной области и как материя плюс форма — в другой. В геометрии, например, плоские фигуры существуют только как ограничения частей плоскости. Плоскость, ограниченная линиями, приобретает форму. Но сама плоскость — это материя по отношению к пространству, которое она определяет. Следовательно, плоскость придаёт форму пространству, а пространство, в свою очередь, получает действительность только через то, что оно ограничивает и определяет. Мы вынуждены сделать ещё один шаг: само пространство — это то, что определяет и ограничивает высшее пространство.
Как линия немыслима без плоскости, которую она ограничивает, так и плоскость — без объёмного тела. И точно так же пространство само по себе непостижимо: оно есть лишь отрицание возможности движения более чем в трёх направлениях. Следовательно, понятие пространства неизбежно требует понятия высшего пространства. Подобно тому как поверхность представляется бесплотной и невещественной без материи, которой она принадлежит, так и материя без высшей материи остаётся чем-то неоконченным.
Аристотель внёс в философию и науки новый метод. Он изобрёл алгебраический способ представления неизвестных величин с помощью символов, вместо того чтобы изображать их линиями, как это делали геометры-греки. Этим он проложил дорогу объективированию мысли, которая дала математикам орудие для анализа, своего рода «мыслящую машину». Подобным образом, разрабатывая учение о материи и форме, о возможности и действительности, о относительности вещества, он выдвинул и философское определение, обладавшее живой силой и объяснительной мощью.
Однако Аристотель не довёл свои рассуждения о материи до самых последних выводов. Он скорее ограничивал её область, нежели развивал понятие о чистой форме, лежащей вне всякого известного материального определения. Высшее начало, неподвижный двигатель всех вещей, он полагал целью и источником движения, к которому стремится всё существующее.
Для него Вселенная — это не застывший механизм, пущенный когда-то в ход, но живой и непрерывный процесс развития. В нём есть место деятельности, воле, самодвижению и даже случайностям. Мы же не можем следовать за Аристотелем полностью: нам привычнее мыслить природу как бесконечный ряд явлений, а не как систему, и мы не чувствуем себя обязанными принимать веру в конечное достижение, к которому, кажется, указывает вся его философия.
Несмотря на то что Аристотель утверждал стремление Вселенной к некоторому совершенству, его учение об относительности материи остаётся безупречным по своей логике. Именно он первым показал необходимость такого пути рассуждения, который в итоге приводит нас к гипотезе о четырёхмерном пространстве.
Хотя в практическом отношении к миру явлений Аристотель был противником Платона, в одном важном пункте он с ним сходился. И здесь он проявил свою честность и беспристрастность: для него важнее было не упустить ничего, чем во что бы то ни стало дать объяснение всему. Там, где многие ученики Платона запутывались и не могли освободиться от влияния его школы, Аристотель показал тонкость наблюдения и редкую проницательность.
По его мнению, помимо знания, которое мы получаем через органы чувств, существует ещё особый «активный интеллект». Это не пассивный приёмник внешних впечатлений, а самостоятельное и деятельное бытие, способное воспринимать истину непосредственно. Под «активной душой» Аристотель понимал в человеке то, что не является продуктом его физических условий существования, а представляет собой нечто творческое. Деятельность этой души — это знание, независимое от органов чувств. И эта часть человека, утверждал он, бессмертна и нетленна.
Таким образом, можно сказать, что Аристотель был близок к признанию существования четырёхмерной реальности — как во внешнем мире, так и в самом человеке. А попытки построить практические методы представления четырёхмерных фигур являются лишь продолжением и развитием его гипотезы о душе.
Представьте, что мы говорим о четырёх измерениях. Для начала полезно провести сравнение с инженером. Когда инженер строит машину, он пользуется чертежами и диаграммами. Эти рисунки не показывают саму машину «как она есть», но помогают понять, как её части связаны друг с другом, как движется пар в двигателе или как работает клапан. То есть такие схемы дают возможность мыслить о реальных процессах через условные модели.
Точно так же идея четвёртого измерения нужна не только для того, чтобы утверждать: «Есть невидимый мир за пределами трёхмерного». Она полезна ещё и как инструмент мышления — как схема, которая помогает нам яснее представить связи между вещами и понять то, что иначе осталось бы в полной темноте.
Чтобы объяснить это, возьмём аналогию с числами.
Мы знаем, что числа — это не только сами по себе величины, но и отношения между ними можно выразить числом. Например: 12 и 3 — это два числа. Но и отношение между ними («12 разделить на 3») — это тоже число, 4. Это очень удобно: мы остаёмся в рамках одного языка (чисел) и можем строить целые теории, не привлекая что-то чужое.
Но одними числами природу не объяснить. В ней есть не только количество, но и форма, направление, расположение. Для этого существует геометрия — наука о пространстве. И здесь можно задать вопрос: если «отношение между числами — это число», то можем ли мы сказать: «отношение между формами — это тоже форма»?
Оказывается, да.
Пример: возьмём два прямоугольных треугольника. У них одинаковая гипотенуза (длинная сторона), но катеты разной длины. Это разные формы, но они связаны определённым соотношением. И это соотношение тоже можно изобразить в виде фигуры.
Мы строим координатные оси: горизонтальную и вертикальную линию. Каждая точка на таком чертеже определяется двумя числами — насколько она отстоит вправо и насколько вверх. Таким образом, отношения между формами мы можем перевести в геометрический язык.
И вот тут появляется параллель: как арифметика дала нам мощный инструмент через числа, так геометрия (и даже более высокая — четырёхмерная геометрия) может дать нам способ мыслить об отношениях форм и явлений.
Представим снова треугольники. У каждого прямоугольного треугольника есть два катета. Если мы возьмём катеты как два числа (например: один катет равен 7, другой — 1), то такой треугольник можно обозначить точкой с координатами (7,1). Другой треугольник, у которого катеты равны 5 и 5, можно записать как точку (5,5).
Таким образом, каждый отдельный треугольник превращается в точку на чертеже, а вся группа треугольников — в набор точек, которые образуют фигуру. Например, если построить дугу (часть окружности), то на ней окажутся все точки, соответствующие треугольникам с одинаковой гипотенузой.
Получается удобный способ: вместо того чтобы описывать каждый треугольник по отдельности, мы видим их «класс» целиком — в виде фигуры из точек. И можно сравнивать треугольники по расстоянию между их точками: чем ближе точки друг к другу, тем больше сходство.
Такой способ изображения называют поилографом (по аналогии с «годографом» Гамильтона). Суть его в том, что предмет реального мира представляется одной точкой, где учитывается только его положение среди других предметов. Все детали (форма, цвет, материал) отбрасываются, остаётся лишь взаимное расположение.
Пример: таблица Менделеева. Каждый химический элемент можно считать точкой. Отношения между элементами (их свойства и связи) — это расположение этих точек в системе.
Но тут есть важное «но». Мир куда сложнее. Мы не можем всё свести только к положению точек в пространстве. У объектов есть масса, силы притяжения, электрические и магнитные свойства. То есть кроме координат и движения в пространстве, нам приходится учитывать ещё целый набор «переменных». Поэтому построить «поилограф всего мира» в полном виде, как мечтал Лаплас, — невозможно.
Если мы строим поилографы (графические схемы, где каждое явление или объект представляется точкой), то иногда нам недостаточно привычного трёхмерного пространства. Чтобы отразить всю сложность связей, нам может понадобиться и больше измерений.
Чтобы не углубляться в слишком тяжёлые научные примеры, он берёт простой случай — логическую задачу (силлогизм).
Что такое силлогизм?
Это рассуждение из двух утверждений (посылок), из которых выводится заключение.
Пример:
Как это можно нарисовать?
Можно представить каждое утверждение в виде области (например, кругов или прямоугольников), вложенных друг в друга. Если «М находится внутри Р» и «S находится внутри М», то логично, что «S находится и внутри Р».
«Фазы» утверждений
Но утверждения бывают разного типа, не только «все входят в…».
Есть 4 варианта (их обозначают буквами A, E, I, O):
- A — Общее утверждение («все М находятся в Р»).
- E — Общее отрицание («ни одно М не находится в Р»).
- I — Частное утверждение («некоторые М находятся в Р»).
- O — Частное отрицание («некоторые М не находятся в Р»).
Чтобы это отобразить, каждое утверждение можно изобразить как квадрат в таблице. Получается сетка: в одном направлении — варианты первой посылки, в другом — варианты второй.
Где появляется четвёртое измерение?
Заключение — это третья переменная. Чтобы его учесть, уже недостаточно плоской таблицы: приходится переходить к кубу.
В кубе:
Таким образом, силлогизмы можно рассматривать как трёхмерную систему взаимосвязей. А если бы логическая схема была ещё сложнее, пришлось бы идти дальше — к четырёхмерным фигурам.