അത്ഭുതങ്ങളുടെ ശാസ്ത്രം

Vaisakhan Thampi

May 22 at 9:36 AM ·

ഒരാൾ തന്റെ കൈയിൽ ഒരു തയ്യൽ സൂചി പിടിച്ചുകൊണ്ട് ഒരു ഉത്സവപ്പറമ്പിലെ ആൾക്കൂട്ടത്തിലൂടെ ഓടുകയാണെന്നിരിക്കട്ടെ, മറ്റൊരാൾ അതേ ആൾക്കൂട്ടത്തിലൂടെ കൈയിൽ ഒരു നൂലിന്റെ തുമ്പ് നീട്ടിപ്പിടിച്ചുകൊണ്ട് ഓടുകയാണെന്നും ഇരിക്കട്ടെ. ആ നൂല്, ആ സൂചിയുടെ ദ്വാരത്തിൽ കയറാനുള്ള സാധ്യത (probability) എത്രത്തോളമുണ്ട്?

രണ്ടുപേരുടേയും ഓട്ടത്തിനിടയ്ക്ക് സൂചിയുടെ തുമ്പും നൂലിന്റെ ദ്വാരവും ഒരേ രേഖയിൽ വന്നാൽ മാത്രമേ അത് സംഭവിക്കൂ. സൂചിയിൽ നൂല് കോർക്കാൻ ശ്രമിച്ച അനുഭവത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, അത് സംഭവിക്കാൻ തീരെ സാധ്യതയില്ല എന്ന് നിങ്ങൾ പറയും. ഞാനും പറയും. പക്ഷേ, അങ്ങനെ സംഭവിക്കുന്നത് ഏത് വിധേനയും തടയുന്ന ഒരു നിയമവും ശക്തിയും പ്രകൃതിയിലില്ല എന്നുകൂടി ഓർക്കണം. അതായത്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു മേശപ്പുറത്ത് 4 cm, 3 cm, 8 cm എന്നീ വശങ്ങളുള്ള ഒരു ത്രികോണം വരയ്ക്കാനാവുമോ എന്ന് ചോദിച്ചാൽ, പറ്റില്ല എന്ന് ഉറപ്പായും പറയാം. കാരണം, ഏത് രണ്ട് വശങ്ങളുടെ നീളങ്ങൾ കൂട്ടിയാലും മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന്റെ നീളത്തെക്കാൾ കൂടുതലാണെങ്കിൽ മാത്രമേ ത്രികോണം സാധ്യമാകൂ. അതായത് മേൽപ്പറഞ്ഞ ത്രികോണം ഉണ്ടാവില്ല എന്ന് പറയാൻ പോന്ന നിയമം പ്രകൃതിയിലുണ്ട്. അതുപോലെ നമ്മുടെ സൂചിയിൽ നൂല് കോർക്കൽ നടക്കില്ല എന്ന് പറയാൻ പോന്ന ഒന്നുമില്ല. അതായത്, അക്കാര്യം അസംഭവ്യം (improbable) ആയിരിക്കാം, പക്ഷേ അസാധ്യം (impossible) അല്ല.

നിങ്ങൾ രണ്ട് ആളുകളെ ഉപയോഗിച്ച് ഈ പരീക്ഷണം ചെയ്യുകയും കൃത്യമായി നൂൽ സൂചിയിൽ കയറുകയും ചെയ്താൽ അതിനെ അത്ഭുതം (miracle) എന്നതിൽ കവിഞ്ഞ് ഒന്നും വിളിക്കാൻ കഴിയില്ല. എന്നാൽ ഇനിയാണ് Law of truly large numbers എന്ന പ്രതിഭാസത്തെ മനസിലാക്കേണ്ടത്. സംഭവ്യത (probability) എന്ന സംഗതിയുടെ വളരെ കൗതുകകരവും പ്രധാനപ്പെട്ടതുമായ ഒരു മാനമാണത്. അത് മനസിലാക്കാൻ സംഭവ്യതയുടെ ഗണിതം പരിചയപ്പെടേണ്ടതുണ്ട്. (Warning: പെട്ടെന്ന് മനസിലായേക്കില്ല. ശ്രദ്ധിച്ച് വായിക്കുക 🙂 )

ഒരു നാണയം ടോസ് ചെയ്താൽ ഹെഡ് വീഴാനുള്ള സംഭവ്യത എത്രയാണെന്ന് ചോദിച്ചാൽ അത് 1/2 ആണ് (0.5). ആ കണക്ക് വരുന്നത് ഇപ്രകാരമാണ്: ഒരു കാര്യം സംഭവിക്കുമെന്ന് 100% ഉറപ്പുണ്ടെങ്കിൽ അതിന്റെ സംഭവ്യത 1 ആണ്. മറിച്ച് നടക്കാൻ തീരെ സാധ്യതയില്ലാത്ത ഒരു കാര്യത്തിന്റെ സംഭവ്യത 0 ആയിരിക്കും. ടോസ് ചെയ്യപ്പെട്ട ഒരു നാണയത്തിന് രണ്ട് സാധ്യതകളാണ് ഉള്ളത്, ഒന്നുകിൽ ഹെഡ് മുകളിലായി വീഴുക, അല്ലെങ്കിൽ ടെയിൽ മുകളിലായി വീഴുക. ഇതിലേതെങ്കിലും വീഴും എന്നത് 100% ഉറപ്പായതിനാൽ ആ സംഭവ്യത 1 ആണ്. ഇതിൽ ഹെഡ് വീഴാനും ടെയിൽ വീഴാനും തുല്യ സാധ്യത ആയതിനാൽ അതിൽ ഓരോന്നിന്റേയും സംഭവ്യത 1/2 ആയിരിക്കും, രണ്ടിൽ ഒന്ന്. അതായത് ഹെഡ് വീഴാനുള്ള സാധ്യത അവിടെ 1/2 ആണ് (50%).

ഇനി നിങ്ങൾ ചെറിയ തുണ്ടുകടലാസുകളിലായി ഞായർ മുതൽ ശനി വരെയുള്ള ഏഴ് ദിവസങ്ങൾ എഴുതി ചുരുട്ടി ഒരു പെട്ടിയിൽ ഇട്ടിട്ട് ഒരു സുഹൃത്തിനോട് അതിലൊന്ന് എടുക്കാൻ പറയുന്നു എന്ന് കരുതുക. അയാൾക്ക് അന്നത്തെ ദിവസം കിട്ടാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്? ആകെ ഏഴ് ഓപ്ഷനുകളുണ്ട്. പക്ഷേ അന്നത്തെ ദിവസം ഒരെണ്ണമേ ഉള്ളൂ എന്നുള്ളതുകൊണ്ട്, അവിടത്തെ സാധ്യത ഏഴിൽ ഒന്നാണ് (1/7).

ഇനി നിങ്ങൾ ചെറിയ തുണ്ടുകടലാസുകളിലായി ജനുവരി 1 മുതൽ ഡിസംബർ 31 വരെയുള്ള 365 ദിവസങ്ങളാണ് എഴുതി ചുരുട്ടിയിടുന്നത്. നിങ്ങളുടെ സുഹൃത്തിന് സ്വന്തം ബർത്ത്ഡേ കിട്ടാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്? ആകെ മൊത്തം 365 ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ടെങ്കിലും, അയാളുടെ ജനനത്തീയതി ഒരു ദിവസം മാത്രമായതിനാൽ അവിടെ സാധ്യത 365-ൽ ഒന്നാണ്.

താരതമ്യം ചെയ്താൽ, നാണയം ടോസ് ചെയ്യുമ്പോൾ നിങ്ങൾ വിളിക്കുന്നത് തന്നെ കിട്ടിയാൽ അത് 2-ൽ ഒന്ന് ചാൻസാണ്, ആഴ്ചകൾ എഴുതിയിട്ട് നറുക്കെടുത്താൽ സ്വന്തം ജനനദിവസം കിട്ടുന്നത് 7-ൽ ഒന്ന് ചാൻസാണ്, ദിവസങ്ങൾ എഴുതി നറുക്കിട്ട് സ്വന്തം ബർത്ത്ഡേ കിട്ടിയാൽ അത് 365-ൽ ഒന്ന് ചാൻസാണ്. നിങ്ങൾ ഹെഡ് വിളിച്ചിട്ട് ഹെഡ് തന്നെ വീണാൽ അതിൽ അങ്ങനെ ശ്രദ്ധേയമായിട്ടൊന്നും തോന്നില്ല. പക്ഷേ തീയതികൾ എഴുതിയിട്ട് സ്വന്തം ബർത്ത്ഡേ കിട്ടിയാൽ അത് 'കൊള്ളാലോ' എന്ന് തോന്നും. കാരണം, അത് സംഭവ്യത കുറഞ്ഞ ഒരു സംഭവമാണ്. A low-probability event!

ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭവ്യത കുറയുന്തോറും അത് അത്രയും ശ്രദ്ധേയമായ ഒരു അത്ഭുതമായി തോന്നും. വലിച്ചുകെട്ടിയ കയറിലൂടെ നടന്നാൽ വീഴാതെ അപ്പുറത്തെത്താനുള്ള സംഭവ്യത കുറവാണെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം, അതാണ് സർക്കസ് അഭ്യാസി അത് ചെയ്യുമ്പോൾ അത്ഭുതമായി അനുഭവപ്പെടുന്നത്.

ഇത്രയുമായാൽ Law of truly large numbers ഏകദേശം മനസിലാക്കാം. ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണം ഒരുപാട് കൂടുതലാണെങ്കിൽ എത്ര സംഭവ്യത കുറഞ്ഞ സംഭവവും നമുക്ക് നിരീക്ഷിക്കാനാകും എന്നാണ് അത് പറയുന്നത്. ഇത് മനസിലാക്കിയാൽ നമ്മൾ അത്ഭുതമെന്ന് കരുതുന്ന പല കാര്യങ്ങളും അത്ഭുതങ്ങളേയല്ല എന്ന് തിരിച്ചറിയാനാകും.

തത്കാലം, സംഭവിക്കാൻ പത്ത് ലക്ഷത്തിൽ ഒന്ന് മാത്രം ചാൻസുള്ള ഒരു സംഭവത്തെയാണ് നമ്മൾ ഒരു അത്ഭുതം എന്ന് വിശേഷിപ്പിക്കുന്നത് എന്ന് കരുതുക. നമ്മൾ നിത്യജീവിതത്തിൽ എത്ര സംഭവങ്ങൾക്ക് സാക്ഷ്യം വഹിക്കുന്നുണ്ട്? അത് തീരെ ചെറിയൊരു സംഖ്യയല്ല. പലതും വളരെ സാധാരണമായതുകൊണ്ട് ഒരു 'സംഭവം' തന്നെയായി തോന്നിക്കുന്നില്ല എന്നേയുള്ളു. നിങ്ങൾ അടുത്ത വാചകം വായിക്കുന്നത്, ഒരു ട്രാഫിക് സിഗ്നൽ പച്ചയാകുന്നത്, അടുപ്പിൽ തീ കത്തുന്നത്, അങ്ങനെ എന്തെല്ലാം നാം കാണുന്നു. ഓരോ സെക്കൻഡിലും ഒരു കാര്യം വച്ച് നാം കാണുന്നു എന്ന് കരുതുക. ശരാശരി ഒരു ദിവസം എട്ട് മണിക്കൂർ ഉണർന്നിരിക്കുന്ന ഒരാൾ ആ കണക്കിൽ 8 മണിക്കൂർ x 60 മിനിറ്റ് x 60 സെക്കൻഡ് = 28,800 സംഭവങ്ങൾക്ക് സാക്ഷ്യം വഹിക്കുന്നുണ്ടാകും. ഇങ്ങനെ ഒരു ദിവസം 28,800 സംഭവങ്ങൾ വച്ച്, പത്ത് ലക്ഷം സംഭവങ്ങൾക്ക് സാക്ഷ്യം വഹിക്കാൻ എത്ര ദിവസം വേണം? 10,00,000 ÷ 28,800 = 34.7 ദിവസങ്ങൾ മതി. അതായത്, ഒരാൾ ഓരോ 35 ദിവസത്തിലും ഒരു തവണ വെച്ച് പത്തുലക്ഷത്തിലൊന്ന് സംഭവ്യത മാത്രമുള്ള ഒരു സംഭവത്തിന് സാക്ഷ്യം വഹിക്കാനുള്ള സാധ്യത സ്വാഭാവികമായിത്തന്നെ ഉണ്ടെന്നർത്ഥം. ഇത് ഒരാൾക്കാണ്. ആയിരം പേരുള്ള ഒരു സമൂഹത്തിൽ ആരെങ്കിലും ഒരു അത്ഭുതസംഭവത്തിന് സാക്ഷ്യം വഹിക്കാനുള്ള സാധ്യതയാണെങ്കിൽ, അത് ഓരോ അമ്പത് മിനിറ്റിലും ഒന്ന് എന്ന തോതിലായിരിക്കും!

കുറച്ചുകൂടി സ്പഷ്ടമായ ഒരു ഉദാഹരണം എടുക്കാം. ഒരു സ്വപ്നം സത്യമാകുന്ന സംഭവം എടുക്കാം.അത് ഒരു ബന്ധു മരിയ്ക്കുമെന്ന് സ്വപ്നം കണ്ടതാവാം, പരീക്ഷയ്ക്ക് റാങ്ക് കിട്ടുമെന്ന് സ്വപ്നം കണ്ടതാവാം, അങ്ങനെ എന്തുമാവാം. മനശാസ്ത്രജ്ഞർ പറയുന്നത് ഒരാൾ ശരാശരി ഒരു ദിവസം അഞ്ച് സ്വപ്നം കാണുന്നുണ്ട് എന്നാണ്. അങ്ങനെയെങ്കിൽ ഒരു വർഷം 365 x 5 = 1,825 സ്വപ്നങ്ങൾ. പക്ഷേ എല്ലാ സ്വപ്നവും നമ്മൾ ഓർക്കാറില്ല. പത്ത് സ്വപ്നങ്ങളിൽ ഒമ്പതും നമ്മൾ മറന്നുപോകുന്നു എന്ന് കരുതിയാൽ, ഒരു വർഷം 182 സ്വപ്നങ്ങളെങ്കിലും നമ്മൾ ഓർക്കുന്നുണ്ടാകും. കേരളത്തിൽ മൂന്നരക്കോടി മനുഷ്യരുണ്ടല്ലോ. അപ്പോ, ഒരു വർഷം 182 X 3.5 കോടി = 637 കോടി സ്വപ്നങ്ങൾ ഉണ്ട്. ഒരു സ്വപ്നം കണ്ടിട്ട് അത് സത്യമാകാനുള്ള സാധ്യത ഒരു കോടിയിൽ ഒന്നാണെന്ന് കരുതുക. (നിർത്താതെ എണ്ണിയാൽ 1 മുതൽ ഒരു കോടി വരെ എണ്ണാൻ കുറഞ്ഞത് മൂന്നര മാസമെടുക്കുമെന്നോർക്കണം. അതുകൊണ്ട് ഒരുകോടിയിൽ ഒരംശം എന്നത് വളരെ ചെറിയ ഒരു സംഭവ്യതയാണ്.) അങ്ങനെയെങ്കിൽ കേരളത്തിൽ മാത്രം ഒരു വർഷം 637 സ്വപ്നം സത്യമാകൽ നമുക്ക് പ്രതീക്ഷിക്കാം, ഒരു ജില്ലയിൽ ശരാശരി 45 എണ്ണം! മറ്റൊരു രീതിയിൽ പറഞ്ഞാൽ, കേരളത്തിലെ ഒരു ജില്ലയിൽ ഒരു വർഷം 45 സ്വപ്നങ്ങളെങ്കിലും സത്യമാകുന്നില്ല എങ്കിൽ സ്വപ്നം സത്യമാകാൻ ഒരു കോടിയിൽ ഒന്ന് സാധ്യത പോലുമില്ല എന്നർത്ഥം.

വല്ലപ്പോഴും ഒരു സംഭവം കേൾക്കുമ്പോൾ 'അതെങ്ങനെ സംഭവിച്ചു?' എന്നോർത്ത് ബേജാറാകുന്നതിന് മുൻപ് ഈ കണക്കോർക്കുന്നത് ഗുണം ചെയ്യും.

വാൽക്കഷണം: സ്വപ്നങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ രണ്ട് വശങ്ങൾ കൂടി ചേർക്കാനുണ്ട്. ഒന്ന്, നമ്മൾ പല വിചിത്ര സ്വപ്നങ്ങളും കാണാറുണ്ട്. അതിൽ ഭൗതികമായി യാഥാർത്ഥ്യമാകാൻ സാധ്യത, possibility, ഉള്ള സ്വപ്നങ്ങൾ മാത്രമേ ശരിക്കും സത്യമായതായി കേൾക്കൂ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കണം. ഉദാഹരണത്തിന് ഒരാൾ തന്റെ മകന് ചിറക് മുളച്ചതായിട്ടും, മറ്റൊരാൾ മകൻ സൈക്കിളിൽ നിന്ന് വീണതായിട്ടും സ്വപ്നം കണ്ടു എന്ന് കരുതുക. ഇതിൽ ആദ്യത്തേത് ഒരിക്കലും സത്യമാകാൻ സാധ്യത ഇല്ലാത്തതും, രണ്ടാമത്തേത് നല്ല സാധ്യതയുള്ളതുമാണ്. രണ്ടാമത്തെ കാര്യം, സത്യത്തിനോട് അടുത്തുവരുന്ന സ്വപ്നങ്ങൾ കൂടുതൽ ഓർമ്മിക്കപ്പെടും എന്നതാണ്. പൂച്ച സൈക്കിളിന് കുറുകേ ചാടി വീഴുന്നതായി സ്വപ്നം കണ്ടിട്ട് പിന്നീട് പൂച്ച കുറുകേ പോകുന്നത് കണ്ടാൽ തന്നെ ആ സ്വപ്നം നമ്മൾ കൂടുതൽ ഓർത്തിരിക്കും.