На сколько длиннее путь пьяницы, когда он, шатаясь, идет домой?
Будем считать, что пьяница движется по идеальной синусоиде и пройти ему требуется ее полный период. Итак, взглянем на рисунок:
Идеальный маршрут по прямой составляется примерно 6,28 единиц пути. А что же с маршрутом по синусоиде? В курсе вузовской математики дается универсальная формула длины дуги плоской кривой в декартовых координатах, которой мы можем воспользоваться:
Но это неберущийся интеграл! Его можно свести к эллиптическому интегралу второго рода, который в подавляющем большинстве высших учебных заведений, не связанных с серьезной математикой не изучается. Поэтому длину синусоиды абсолютно точно найти не получится! Так же, как и с периметром обыкновенного эллипса, при попытках вычисления которого и появились одноименные интегралы.
К счастью, в сети есть множество сервисов, которые позволяют вычислить даже такой интеграл приближенно:
Итак, на таком маршруте мы получаем превышение дистанции в 8,81/6,28 = 1,4 раза, т.е. фактически на 40%! Конечно, многое зависит от амплитуды движения и от частоты «болтаний», но одно можно утверждать точно: дорога домой у пьяницы будет значительно длиннее, чем у трезвого человека.