May 27, 2023

Итоговый зачет по геометрии

12345678910

111213141516 17181920

2122232425

✅ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 19, 20, 22, 23, 24, 25

❌ 10, 14, 18, 21

Если текст на картинке слишком мелкий, то откройте ее в отдельной вкладке или скачайте на устройство
Символ 💢 в тексте билета означает, что один из вопросов не дописан до конца (вы можете помочь и прислать недостающие доказательства)

Билет №1

Теорема о сумме углов треугольника, о соотношении между сторонами и углами треугольника, неравенство треугольника

Теорема Пифагора (не менее двух доказательств, в том числе – доказательство Евклида). Обратная теорема.

I. Доказательство Евклида здесь наглядно

II. Доказательства с доп. построениями

Наверх

Билет №2

Теорема о медианах треугольника (не менее двух доказательств)

Векторное доказательство

Альтернативное доказательство

Вычисление скалярного произведения, угла между векторами, длины вектора в координатах.

Наверх

Билет №3

Теорема о биссектрисах треугольника. Возможность вписать окружность в треугольник.

Теорема о делении отрезка в данном отношении в векторной форме. Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении.

Наверх

Билет №4

Определение площади многоугольной фигуры. Теоремы о площади квадрата и прямоугольника. (Иррациональный случай в доказательстве теоремы про площадь квадрата – без доказательства).

Уравнение прямой через угловой коэффициент. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, вычисление угла между прямыми через угловые коэффициенты.

Продолжение: https://studfile.net/preview/2893861/page:10/

Наверх

Билет №5

Обобщенная теорема Фалеса.

Умножение вектора на число. Определение. Свойства.

Наверх

Билет №6

Теорема о серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Возможность описать окружность около треугольника. Теорема о высотах треугольника.

Расстояние от точки до прямой на координатной плоскости

https://yandex.ru/video/preview/13326498139537163709 - альтернативное докво

Наверх

Билет №7

Понятие подобных треугольников. Отношение периметров, площадей, высот, медиан, биссектрис, радиусов вписанных и описанных окружностей подобных треугольников.

💢 Здесь не все...

Скалярное произведение векторов. Свойства. Необходимое и достаточное условие ортогональности векторов.

Наверх

Билет №8

Признаки подобия треугольников.

Координаты радиус-вектора точки в прямоугольной системе координат. Выражение координат вектора через координаты его начала и конца, длина вектора в ДСК.

Наверх

Билет №9

Теорема Фалеса. Деление отрезка на несколько равных частей с помощью циркуля и линейки.

Теорема Фалеса

Деление отрезка на равные части

Теорема косинусов. Следствия.

‼️ Второй интересный короткий способ:

Наверх

Билет №10

Теоремы о радиусе и хорде; отрезках пересекающихся хорд; отрезках касательных; касательной и секущей.

💢 Нет вопроса

Соотношение между длинами сторон и диагоналями параллелограмма. Длина медианы треугольника.

💢 Нет вопроса

Наверх

Билет №11

Необходимое и достаточное условие возможности описать окружность около четырёхугольника.

Взаимное расположение прямой и окружности (доказательство любым способом).

Наверх

Билет №12

Необходимое и достаточное условие возможности вписать окружность в четырёхугольник.

Теорема о биссектрисе внутреннего угла треугольника. Вычисление длины биссектрисы треугольника (две формулы).

Способ чуть покороче:

Наверх

Билет №13

Векторы на плоскости. Основные понятия. Коллинеарность векторов. Необходимое и достаточное условие коллинеарности.

Площадь параллелограмма, трапеции (основные формулы).

Наверх

Билет №14

Сложение векторов. Корректность определения. Свойства. Разность векторов. Теорема о разности векторов.

💢 Нет вопроса, но скоро будет

Площадь треугольника (4 формулы – кроме формулы Герона).

💢 Нет вопроса

Наверх

Билет №15

Разложение вектора на составляющие. Теорема о разложении вектора по базису.

Измерение углов между секущими, между хордами, между хордой и касательной.

Наверх

Билет №16

Скалярное произведение векторов. Свойства. Доказательство дистрибутивности.

Центральный угол и мера дуги окружности. Вписанный угол. Измерение вписанных углов. Теорема о медиане прямоугольного треугольника.

Наверх

Билет №17

Задание множеств на координатной плоскости уравнениями и неравенствами. Вывод уравнения окружности и серединного перпендикуляра к отрезку.

💢 Нет вопроса

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Построение среднего пропорционального двух отрезков.

https://budu5.com/manual/chapter/3500 - пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

https://budu5.com/manual/chapter/3538 - Построение среднего пропорционального двух отрезков.

Наверх

Билет №18

Уравнение прямой по точке и нормали. Общее уравнение прямой. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, вычисление угла между прямыми через координаты нормалей.

💢 Нет вопроса

Вневписанные окружности. Площадь треугольника через радиус вписанной и вневписанной окружности.

💢 Нет вопроса

Наверх

Билет №19

Правильные многоугольники. Возможность вписать и описать окружность.

Умножение вектора на число. Свойства. Доказательство дистрибутивности относительно сложения чисел

Наверх

Билет №20

Ромб. Прямоугольник. Квадрат. Свойства. Признаки.

Теорема синусов (со следствием о радиусе описанной окружности).

Наверх

Билет №21

Каноническое уравнение прямой, уравнение прямой по двум ее точкам. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, вычисление угла между прямыми через координаты направляющих векторов.

💢 Нет вопроса

Теоремы о средней линии треугольника и трапеции.

Наверх

Билет №22

Параллелограмм. Свойства. Признаки. Возможность вписать и описать окружность.

💢 Нет доказательства возможности вписать и описать окружность.

Скалярное произведение векторов. Свойства. Доказательство ассоциативности по отношению к числовому множителю.

💢 Нет доказательства

Наверх

Билет №23

Взаимное расположение двух окружностей (доказательство любым способом).

💢 Нет доказательства

Трапеция. Свойства и признаки равнобедренной трапеции. Возможность описать окружность.

Откройте картинку в новой вкладке или скачайте

Возможность описать окружность

Наверх

Билет №24

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними. Площадь выпуклого четырехугольника, через диагонали и угол между ними.

Умножение вектора на число. Свойства. Доказательство дистрибутивности относительно сложения векторов

💢

Наверх

Билет №25

Координаты вектора в базисе. Радиус-вектор точки. Действия с векторами, заданными своими координатами.

Формула Герона.

Наверх