Итоговый зачет по геометрии
1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10
11 • 12 • 13 • 14 • 15 • 16 • 17 • 18 • 19 • 20
✅ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 19, 20, 22, 23, 24, 25
Если текст на картинке слишком мелкий, то откройте ее в отдельной вкладке или скачайте на устройство
Символ 💢 в тексте билета означает, что один из вопросов не дописан до конца (вы можете помочь и прислать недостающие доказательства)
Билет №1
Теорема о сумме углов треугольника, о соотношении между сторонами и углами треугольника, неравенство треугольника
Теорема Пифагора (не менее двух доказательств, в том числе – доказательство Евклида). Обратная теорема.
I. Доказательство Евклида здесь наглядно
II. Доказательства с доп. построениями
Билет №2
Теорема о медианах треугольника (не менее двух доказательств)
Вычисление скалярного произведения, угла между векторами, длины вектора в координатах.
Билет №3
Теорема о биссектрисах треугольника. Возможность вписать окружность в треугольник.
Теорема о делении отрезка в данном отношении в векторной форме. Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении.
Билет №4
Определение площади многоугольной фигуры. Теоремы о площади квадрата и прямоугольника. (Иррациональный случай в доказательстве теоремы про площадь квадрата – без доказательства).
Уравнение прямой через угловой коэффициент. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, вычисление угла между прямыми через угловые коэффициенты.
Продолжение: https://studfile.net/preview/2893861/page:10/
Билет №5
Билет №6
Теорема о серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Возможность описать окружность около треугольника. Теорема о высотах треугольника.
https://yandex.ru/video/preview/13326498139537163709 - альтернативное докво
Билет №7
Понятие подобных треугольников. Отношение периметров, площадей, высот, медиан, биссектрис, радиусов вписанных и описанных окружностей подобных треугольников.
Скалярное произведение векторов. Свойства. Необходимое и достаточное условие ортогональности векторов.
Билет №8
Координаты радиус-вектора точки в прямоугольной системе координат. Выражение координат вектора через координаты его начала и конца, длина вектора в ДСК.
Билет №9
Теорема Фалеса. Деление отрезка на несколько равных частей с помощью циркуля и линейки.
Деление отрезка на равные части
‼️ Второй интересный короткий способ:
Билет №10
Теоремы о радиусе и хорде; отрезках пересекающихся хорд; отрезках касательных; касательной и секущей.
Соотношение между длинами сторон и диагоналями параллелограмма. Длина медианы треугольника.
Билет №11
Необходимое и достаточное условие возможности описать окружность около четырёхугольника.
Взаимное расположение прямой и окружности (доказательство любым способом).
Билет №12
Необходимое и достаточное условие возможности вписать окружность в четырёхугольник.
Теорема о биссектрисе внутреннего угла треугольника. Вычисление длины биссектрисы треугольника (две формулы).
Билет №13
Векторы на плоскости. Основные понятия. Коллинеарность векторов. Необходимое и достаточное условие коллинеарности.
Билет №14
Сложение векторов. Корректность определения. Свойства. Разность векторов. Теорема о разности векторов.
Билет №15
Разложение вектора на составляющие. Теорема о разложении вектора по базису.
Измерение углов между секущими, между хордами, между хордой и касательной.
Билет №16
Скалярное произведение векторов. Свойства. Доказательство дистрибутивности.
Центральный угол и мера дуги окружности. Вписанный угол. Измерение вписанных углов. Теорема о медиане прямоугольного треугольника.
Билет №17
Задание множеств на координатной плоскости уравнениями и неравенствами. Вывод уравнения окружности и серединного перпендикуляра к отрезку.
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Построение среднего пропорционального двух отрезков.
https://budu5.com/manual/chapter/3500 - пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
https://budu5.com/manual/chapter/3538 - Построение среднего пропорционального двух отрезков.
Билет №18
Уравнение прямой по точке и нормали. Общее уравнение прямой. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, вычисление угла между прямыми через координаты нормалей.
Вневписанные окружности. Площадь треугольника через радиус вписанной и вневписанной окружности.
Билет №19
Правильные многоугольники. Возможность вписать и описать окружность.
Умножение вектора на число. Свойства. Доказательство дистрибутивности относительно сложения чисел
Билет №20
Теорема синусов (со следствием о радиусе описанной окружности).
Билет №21
Каноническое уравнение прямой, уравнение прямой по двум ее точкам. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, вычисление угла между прямыми через координаты направляющих векторов.
Билет №22
Параллелограмм. Свойства. Признаки. Возможность вписать и описать окружность.
💢 Нет доказательства возможности вписать и описать окружность.
Скалярное произведение векторов. Свойства. Доказательство ассоциативности по отношению к числовому множителю.
Билет №23
Взаимное расположение двух окружностей (доказательство любым способом).
Трапеция. Свойства и признаки равнобедренной трапеции. Возможность описать окружность.
Возможность описать окружность
Билет №24
Площадь треугольника через две стороны и угол между ними. Площадь выпуклого четырехугольника, через диагонали и угол между ними.
Умножение вектора на число. Свойства. Доказательство дистрибутивности относительно сложения векторов
Билет №25
Координаты вектора в базисе. Радиус-вектор точки. Действия с векторами, заданными своими координатами.