Решение задачи 489

Условие:

В ряд выложено 5 карточек. На оборотной стороне каждой написано вещественное число. Про любые две карточки можно узнать (а) сумму; (б) произведение чисел на них. (в) Всегда ли можно определить, какие числа написаны на карточках? (г) Можно ли хоть в одному случае определить, какие числа написаны на карточках?

Решение:

Для начала поймем, что в этой задаче 4 пункта: ав, аг, бв, бг.

ав + аг) Покажем, что всегда можно определить. Пронумеруем карточки от 1 до 5. Узнаем следующие 5 сумм: 1 + 2, 2 + 3, 3 + 4, 4 + 5, 5 + 1. Если сложить все пять сумм, то получится удвоенная сумма на всех карточках. Поделив ее на два, узнаем сумму чисел на всех карточках, обозначим ее через S. Хотим выяснить, что написано на карточке с номером 1. Для этого из S вычтем (2 + 3) и (4 + 5). Остальные определяются аналогично.

бв) Не всегда. Пусть все возможные произведения равны нулю. Тогда изначально мог быть набор (0,0,0,0,0), а мог быть (0,0,0,0,1).

бг) Нельзя. Пусть, зная все произведения, мы нашли какое-то решение (a1,a2,a3,a4,a5). Тогда набор (−a1,−a2,−a3,−a4,−a5) тоже решение. Другими словами, наборы (a1,a2,a3,a4,a5) и (−a1,−a2,−a3,−a4,−a5) неотличимы. Эти два набора совпадают только когда они нулевые, но если нулевой набор решение, то и набор (0,0,0,0,1) тоже решение.