Непостижимая эффективность математики Р. Хэмминга (антитруд. перевод The Unreasonable Effectiveness of Mathematics by R. W. HAMMING)

Пролог. Из названия ясно, что это философская дискуссия. Я не буду извиняться за философию, хотя прекрасно понимаю, что большинство ученых, инженеров и математиков не придают ей значения; вместо этого я приведу краткий пролог, чтобы обосновать подход.

Человек, насколько нам известно, всегда интересовался собой, окружающим миром и тем, что такое жизнь. Из прошлого до нас дошло множество мифов, рассказывающих о том, как и почему Бог или боги создали человека и вселенную. Эти мифы я буду называть теологическими объяснениями. У них есть одна общая особенность - нет смысла спрашивать, почему все происходит именно так, как происходит, поскольку нам дается в основном описание творения, как это решили сделать боги.

Философия зародилась, когда человек начал интересоваться миром вне этих теологических рамок. Ранний пример - описание философами того, что мир состоит из земли, огня, воды и воздуха. Несомненно, в то время им говорили, что боги создали все таким образом и не стоит беспокоиться об этом.

Из этих ранних попыток объяснить вещи постепенно возникла философия, а также наша современная наука. Не то чтобы наука объясняла, "почему" вещи такие, какие они есть, - гравитация не объясняет, почему вещи падают, - но наука дает так много деталей "как", что нам кажется, будто мы понимаем "почему". Давайте проясним этот момент: именно благодаря морю взаимосвязанных деталей наука, кажется, говорит, "почему" Вселенная такова, какова она есть.

Наш главный инструмент для проведения длинных цепочек сложных рассуждений, требуемых наукой, - математика. Действительно, математику можно определить как умственный инструмент, созданный для этой цели. Многие люди на протяжении веков задавались вопросом, который я фактически вынес в заголовок: "Почему математика так непостижимо эффективна?" Задавая этот вопрос, мы просто больше смотрим на логическую сторону и меньше на материальную сторону того, что представляет собой Вселенная и как она работает.

Математики, занимающиеся основаниями математики, в основном озабочены самосогласованностью и ограничениями системы. Их, похоже, не волнует, почему мир, очевидно, допускает логическое объяснение. В каком-то смысле я нахожусь в положении ранних греческих философов, которые задавались вопросом о материальной стороне, и мои ответы на вопросы о логической стороне, вероятно, не намного лучше, чем были у них в свое время. Но мы должны с чего-то начать и как-то объяснить тот феномен, что мир, похоже, устроен по логической схеме, которая параллельна большей части математики, что математика - это язык науки и техники.

После того как я составил основной план, мне предстояло подумать, как лучше донести свои идеи и мнения до других. Опыт показывает, что я не всегда преуспеваю в этом деле. В конце концов мне пришло в голову, что следующие предварительные замечания помогут в этом.

В некоторых отношениях это обсуждение носит сугубо теоретический характер. Мне придется хотя бы вскользь упомянуть различные теории общей деятельности, называемой математикой, а также затронуть отдельные ее разделы. Кроме того, существуют различные теории приложений. Таким образом, в некоторой степени это приводит к теории теорий. Что может вас удивить, так это то, что при обсуждении я буду придерживаться подхода экспериментатора. Неважно, какими должны быть теории, или какими, по вашему мнению, они должны быть, или даже какими их считают эксперты в этой области; давайте займем научную позицию и посмотрим, каковы они на самом деле. Я прекрасно понимаю, что многое из того, что я говорю, особенно о природе математики, будет раздражать многих математиков. Мой экспериментальный подход совершенно чужд их менталитету и предвзятым убеждениям. Да будет так!

Вдохновением для этой статьи послужила статья с аналогичным названием "Непостижимая эффективность математики в естественных науках", написанная Е. П. Вигнером. Вы заметите, что я опустил часть названия, а те, кто уже прочитал эту статью, заметят, что я не дублирую большую часть его материала (я не чувствую, что могу улучшить его изложение). С другой стороны, я потрачу относительно больше времени на то, чтобы объяснить подразумеваемый вопрос, вынесенный в заголовок. Но когда все мои объяснения закончатся, остаток все равно будет настолько велик, что вопрос останется, по сути, без ответа.

Эффективность математики. В своей работе Вигнер приводит большое количество примеров эффективности математики в физических науках. Позвольте мне, таким образом, опираться на свой собственный опыт, который ближе к инженерным наукам. Мой первый реальный опыт использования математики для предсказания вещей в реальном мире был связан с разработкой атомных бомб во время Второй мировой войны. Как получилось, что числа, которые мы так терпеливо вычисляли на примитивных релейных компьютерах, так хорошо совпали с тем, что произошло во время первого испытательного выстрела в Альмагордо? Не было и не могло быть никаких маломасштабных экспериментов для прямой проверки вычислений. Более поздний опыт с управляемыми ракетами показал мне, что это не единичный феномен - постоянно то, что мы предсказываем, манипулируя математическими символами, реализуется в реальном мире. Естественно, работая в Bell System, я выполнял множество телефонных расчетов и других математических работ по таким разнообразным вопросам, как трубки бегущей волны, выравнивание телевизионных линий, стабильность сложных систем связи, блокировка звонков через телефонный центральный офис, и это лишь некоторые из них. Для придания гламура я могу привести в пример исследования транзисторов, космические полеты и компьютерный дизайн, но почти во всех областях науки и техники использовались обширные математические манипуляции с поразительным успехом.

Многие из вас знают историю с уравнениями Максвелла, как он из соображений симметрии ввел определенный термин, и со временем радиоволны, предсказанные теорией, были обнаружены Герцем. Многие другие примеры успешного предсказания неизвестных физических эффектов на основе математической формулировки хорошо известны и не нуждаются в повторении.

Вигнер подчеркивает фундаментальную роль инвариантности. Она является основополагающей как для математики, так и для естественных наук. Именно отсутствие инвариантности уравнений Ньютона (необходимость абсолютной системы отсчета для скоростей) привело Лоренца, Фицджеральда, Пуанкаре и Эйнштейна к специальной теории относительности.

Вигнер также замечает, что одни и те же математические понятия возникают в совершенно неожиданных связях. Например, тригонометрические функции, встречающиеся в астрономии Птолемея, оказываются функциями, инвариантными по отношению к переводу (инвариантность времени). Они также являются подходящими функциями для линейных систем. Огромная полезность одних и тех же математических выкладок в совершенно разных ситуациях не имеет рационального объяснения (пока).

Более того, уже давно считается, что простота математики - это ключ к ее применению в физике. Эйнштейн - самый известный выразитель этого убеждения. Но даже в самой математике простота поразительна, по крайней мере для меня: простейшие алгебраические уравнения, линейные и квадратичные, соответствуют простейшим геометрическим объектам, прямым, окружностям и коническим линиям. Это делает аналитическую геометрию возможной с практической точки зрения. Как может быть, что простая математика, являясь, в конце концов, продуктом человеческого разума, может быть столь удивительно полезной в столь разных ситуациях?

Благодаря этим успехам математики в настоящее время существует сильная тенденция к тому, чтобы сделать каждую из наук математической. Обычно это рассматривается как цель, которая должна быть достигнута если не сегодня, то завтра. Для этой аудитории я остановлюсь на физике и астрономии.

Пифагор - первый человек, который четко заявил: "Математика - это путь к пониманию Вселенной". Он сказал громко и четко: "Число - мера всех вещей".

Кеплер - еще один известный пример такого отношения. Он страстно верил, что Божий промысел может быть понят только с помощью математики. После двадцати лет утомительных вычислений он нашел свои знаменитые три закона планетарного движения - три сравнительно простых математических выражения, которые описывали сложные на первый взгляд движения планет.

Именно Галилей сказал: "Законы природы написаны на языке математики". Ньютон использовал результаты Кеплера и Галилея, чтобы вывести знаменитые ньютоновские законы движения, которые вместе с законом всемирного тяготения являются, пожалуй, самым известным примером непостижимой эффективности математики в науке. Они не только предсказали, где будут находиться известные планеты, но и успешно предсказали положение неизвестных планет, движение далеких звезд, приливы и отливы и так далее.

Наука состоит из законов, которые изначально были основаны на небольшом, тщательно отобранном наборе наблюдений, зачастую не очень точно измеренных; но впоследствии оказалось, что эти законы применимы к гораздо более широкому диапазону наблюдений и гораздо точнее, чем это было обосновано исходными данными. Не всегда, конечно, но достаточно часто, чтобы потребовать объяснения.

В течение тридцати лет, когда я занимался математикой в промышленности, меня часто беспокоили сделанные мною предсказания. На основе математических выкладок, которые я делал в своем кабинете, я уверенно (по крайней мере, для других) предсказывал некоторые будущие события - если вы сделаете так-то и так-то, то увидите то-то и то-то, - и обычно оказывалось, что я прав. Откуда феномены могли знать, что я предсказал (на основе созданной человеком математики), чтобы поддержать мои прогнозы? Нелепо думать, что все происходит именно так. Нет, дело в том, что математика каким-то образом обеспечивает надежную модель для многого из того, что происходит во Вселенной. А поскольку я способен заниматься лишь сравнительно простой математикой, как может быть, что простой математики достаточно, чтобы предсказать так много?

Я мог бы и дальше приводить примеры, иллюстрирующие необоснованную эффективность математики, но это было бы только скучно. Более того, я подозреваю, что многие из вас знают примеры, которых я не знаю. Поэтому позвольте мне предположить, что вы предоставите мне очень длинный список успехов, многие из которых будут столь же впечатляющими, как предсказание новой планеты, нового физического явления, нового артефакта. Имея ограниченное время, я хочу потратить его на попытку сделать то, от чего, как мне кажется, уклонился Вигнер, - дать хотя бы частичные ответы на подразумеваемый вопрос, вынесенный в заголовок.

Что такое математика? Рассмотрев эффективность математики, мы должны обратиться к вопросу "Что такое математика?". Именно так называется знаменитая книга Куранта и Роббинса [R. Courant and H. Robbins, What Is Mathematics? Oxford University Press, 1941]. В ней они не пытаются дать формальное определение, а довольствуются тем, что показывают, что такое математика, приводя множество примеров. Точно так же и я не дам исчерпывающего определения. Но я буду ближе, чем они, к обсуждению некоторых существенных черт математики, как я их вижу.

Возможно, лучший способ подойти к вопросу о том, что такое математика, - это начать с самого начала. В далеком доисторическом прошлом, где мы должны искать истоки математики, уже существовало четыре основных ее аспекта. Во-первых, была способность к длинным цепочкам строгих рассуждений, которые и по сей день характеризуют большую часть математики. Во-вторых, была геометрия, ведущая через понятие непрерывности к топологии и далее. В-третьих, это число, ведущее к арифметике, алгебре и далее. И наконец, художественный вкус, который играет столь большую роль в современной математике. Конечно, в математике существует множество различных видов красоты. В теории чисел это, по-видимому, в основном красота почти бесконечных деталей; в абстрактной алгебре красота заключается главным образом в общности. Таким образом, различные области математики имеют различные стандарты эстетики.

Ранняя история математики, конечно, должна быть полностью спекулятивной, поскольку сейчас нет и, похоже, никогда не будет никаких фактических, убедительных доказательств. Тем не менее, похоже, что в самые основы первобытной жизни было заложено понимание причин и следствий, если не больше, то для выживания. Как только это понимание выходит за рамки единичного наблюдения и перерастает в последовательность: "Если это, то это, а из этого следует, что... ", мы становимся на путь первой особенности математики, о которой я упоминал, - длинных цепочек строгих рассуждений. Но мне трудно понять, как простое дарвиновское выживание сильнейших отбирает способность к длинным цепочкам, которые, похоже, требуются математике и науке.

Геометрия, по-видимому, возникла из проблем украшения человеческого тела для различных целей, таких как религиозные обряды, общественные дела и привлечение противоположного пола, а также из проблем украшения поверхностей стен, горшков, посуды и одежды. Отсюда вытекает и четвертый аспект, о котором я упоминал, - эстетический вкус, а это одно из глубоких оснований математики. В большинстве учебников, вторя грекам, говорится, что геометрия возникла из потребности египтян обследовать землю после каждого наводнения реки Нил, но я приписываю эстетике гораздо больше, чем большинство историков математики, и соответственно меньше - непосредственной пользе.

Третий аспект математики, числа, возник из счета. Числа настолько фундаментальны, что один известный математик однажды сказал: "Бог создал целые числа, человек сделал все остальное" [Л. Кронекер, пункт 1634. в книге "О математике и математиках", автор Р. Э. Мориц]. Целые числа кажутся нам настолько фундаментальными, что мы ожидаем найти их везде, где во Вселенной есть разумная жизнь. Я безуспешно пытался донести до некоторых своих друзей мое изумление тем, что абстракция целых чисел для счета возможна и полезна. Разве не замечательно, что 6 овец плюс 7 овец дают 13 овец; что 6 камней плюс 7 камней дают 13 камней? Разве не чудо, что Вселенная так устроена, что такая простая абстракция, как число, возможна? Для меня это один из самых сильных примеров непостижимой эффективности математики. Действительно, я нахожу ее одновременно странной и необъяснимой.

В развитии чисел мы пришли к тому, что эти счетные числа, целые числа, были успешно использованы для измерения того, сколько раз стандартная длина может быть использована для исчерпания желаемой длины, которая измеряется. Но вскоре должно было случиться так, что целое число единиц не совсем соответствовало измеряемой длине, и измерители перешли к дробям - оставшийся лишний кусок использовался для измерения стандартной длины. Дробь - это не счетное число, это измерительное число. Поскольку дроби часто используются для измерения, при соответствующем расширении представлений вскоре выяснилось, что они подчиняются тем же правилам манипулирования, что и целые числа, с тем дополнительным преимуществом, что они делают возможным деление во всех случаях (я еще не дошел до числа ноль). При знакомстве с дробями вскоре выясняется, что между любыми двумя дробями можно поместить еще столько же, сколько угодно, и что в некотором смысле они везде однородно плотные. Но когда мы расширяем понятие числа, включая в него дроби, нам приходится отказаться от идеи следующего числа.

Это снова приводит нас к Пифагору, который, как считается, первым доказал, что диагональ квадрата и его сторона не имеют общей меры - они иррационально связаны. Это наблюдение, очевидно, произвело глубокий переворот в греческой математике. До этого времени дискретная система счисления и непрерывная геометрия процветали бок о бок без особых конфликтов. Кризис несоизмеримости поставил крест на евклидовом подходе к математике. Любопытно, что ранние греки пытались сделать математику строгой, заменив неопределенность чисел более определенной, по их мнению, геометрией (благодаря Евдоксу). Это было важным событием для Евклида, и в результате вы найдете в "Элементах" [Euclid, Euclid's Elements, T. E. Heath, Dover Publications, New York, 1956] многое из того, что мы сейчас считаем теорией чисел и алгеброй, изложено в форме геометрии. В противовес ранним грекам, сомневавшимся в существовании системы действительных чисел, мы решили, что должно существовать число, измеряющее длину диагонали единичного квадрата (хотя это и не обязательно), и именно таким образом мы расширили систему рациональных чисел, включив в нее алгебраические числа. Это было простое желание измерять длины. Разве кто-то может отрицать, что существует число, измеряющее длину любого отрезка прямой?

Алгебраические числа, которые представляют собой корни многочленов с целыми, дробными и, как было доказано позже, даже алгебраическими числами в качестве коэффициентов, вскоре оказались под контролем благодаря простому расширению тех же операций, которые использовались в более простой системе чисел.

Однако измерение окружности круга по отношению к его диаметру вскоре заставило нас рассмотреть соотношение, называемое пи. Это не алгебраическое число, так как ни одна линейная комбинация числа пи с целыми коэффициентами в точности не сходится. Одна длина, окружность, является кривой линией, а другая длина, диаметр, - прямой линией, что делает существование этого отношения менее определенным, чем отношение диагонали квадрата к его стороне; но поскольку кажется, что такое число должно существовать, трансцендентные числа постепенно вошли в систему счисления. Таким образом, путем дальнейшего подходящего расширения прежних представлений о числах, трансцендентные числа были последовательно введены в систему счисления, хотя немногим студентам удобен технический аппарат, который мы обычно используем, чтобы показать эту последовательность.

Дальнейшие манипуляции с системой счисления привели к появлению нуля и отрицательных чисел. На этот раз расширение потребовало отказаться от деления ради единственного числа ноль. Это, кажется, завершает для нас систему действительных чисел (пока мы ограничиваемся процессом взятия пределов последовательностей чисел и не допускаем дальнейших операций) - не то чтобы у нас и по сей день было твердое, логичное, простое основание для них; но говорят, что знакомство порождает презрение, а мы все более или менее знакомы с системой действительных чисел. Очень немногие из нас в здравом уме верят, что конкретные постулаты, придуманные некоторыми логиками, создают числа - нет, большинство из нас считает, что настоящие числа просто существуют и что это была интересная, забавная и важная игра - попытаться найти хороший набор постулатов для их учета. Но давайте не будем вводить себя в заблуждение - парадоксы Зено все еще, даже спустя 2000 лет, слишком свежи в нашей памяти, чтобы обманывать себя тем, что мы понимаем все, что хотели бы понимать о связи между дискретной системой чисел и непрерывной линией, которую мы хотим моделировать. Из нестандартного анализа, если не из какого-либо другого места, мы знаем, что логики могут выдвигать постулаты, которые помещают еще больше сущностей на реальную линию, но до сих пор мало кто из нас хотел идти по этому пути. Справедливости ради стоит отметить, что есть некоторые математики, которые сомневаются в существовании обычной системы вещественных чисел. Некоторые компьютерные теоретики признают существование только "вычисляемых чисел".

Следующий шаг в обсуждении - система комплексных чисел. Как я читал историю, именно Кардан был первым, кто понял их в каком-либо реальном смысле. В своем труде "Великое искусство или правила алгебры" [5. G. Cardano, The Great Art or Rules of Algebra, transl. by T. R. Witmer, MIT Press, 1968, pp. 219-220] он говорит: "Если отбросить умственные терзания, связанные с умножением (5 + sqrt 15) на (5 - sqrt -15), получается 25-(-15) ....". Таким образом, он ясно осознал, что те же формальные операции над символами комплексных чисел дадут значимые результаты. Таким образом, система действительных чисел была постепенно расширена до системы комплексных чисел, за исключением того, что на этот раз расширение потребовало отказа от свойства упорядочивания чисел - комплексные числа не могут быть упорядочены в обычном смысле.

К теории комплексных переменных Коши, по-видимому, привела проблема интегрирования действительных функций по действительной прямой. Он обнаружил, что, загнав путь интегрирования в комплексную плоскость, можно решать реальные задачи интегрирования.

Несколько лет назад я имел удовольствие преподавать курс по комплексным переменным. Как всегда бывает, когда я погружаюсь в эту тему, я снова ушел с ощущением, что "Бог создал вселенную из комплексных чисел". Очевидно, что они играют центральную роль в квантовой механике. Они являются естественным инструментом во многих других прикладных областях, таких как электрические цепи, поля и так далее.

Подводя итог, можно сказать, что от простого счета с помощью данных Богом целых чисел мы сделали различные расширения идеи чисел, чтобы включить в них больше вещей. Иногда расширения делались из эстетических соображений, а часто мы отказывались от какого-то свойства прежней системы счисления. Так мы пришли к системе счисления, которая является непостижимо эффективной даже в самой математике; посмотрите, как мы решили многие проблемы теории чисел первоначальной высокодискретной системы счисления с помощью комплексной переменной.

Из вышесказанного мы видим, что одним из основных направлений математики является расширение, обобщение, абстрагирование - все это более или менее одно и то же: применение известных понятий к новым ситуациям. Но обратите внимание, что при этом сами определения претерпевают незначительные изменения. Поэтому, что не так широко известно, старые доказательства теорем могут стать ложными доказательствами. Старые доказательства больше не охватывают новые определения. Чудо в том, что почти всегда теоремы остаются верными; нужно лишь подправить доказательства. Классический пример такого исправления - "Элементы" Евклида. Мы сочли необходимым добавить довольно много новых постулатов (или аксиом, если хотите, поскольку мы больше не заботимся о том, чтобы делать между ними различия), чтобы соответствовать современным стандартам доказательства. И все же как получилось, что ни одна теорема из всех тринадцати книг теперь не является ложной? Ни одна теорема не была признана ложной, хотя часто доказательства, приведенные Евклидом, кажутся теперь ложными. И это явление не ограничивается прошлым. Утверждают, что бывший редактор журнала Mathematical Reviews однажды сказал, что более половины новых теорем, публикуемых в наши дни, по сути верны, хотя опубликованные доказательства ложны. Как такое может быть, если математика - это строгий вывод теорем из предполагаемых постулатов и предыдущих результатов? Для любого, кто не ослеплен авторитетом, очевидно, что математика - это не то, о чем говорили учителя начальных классов. Это явно что-то другое.

Что же это за "другое"? Как только вы начинаете искать, то обнаруживаете, что если ограничиться аксиомами и постулатами, то можно сделать очень мало выводов. Первым важным шагом становится введение новых понятий, вытекающих из предположений, таких как треугольники. Поиск правильных понятий и определений - одна из главных особенностей большой математики.

Если говорить о доказательствах, то классическая геометрия начинается с теоремы и пытается найти доказательство. По-видимому, только в 1850-х годах или около того было четко осознано, что обратный подход также правомерен (до этого он, должно быть, иногда использовался). Часто именно доказательство порождает теорему. Мы смотрим, что можно доказать, а затем изучаем доказательство, чтобы увидеть, что мы доказали! Такие теоремы часто называют "теоремами, порожденными доказательством" [Imre Lakatos, Proofs and Refutations; Cambridge University Press, 1976, p. 33]. Классический пример - понятие равномерной сходимости. Коши доказал, что сходящийся ряд членов, каждый из которых непрерывен, сходится к непрерывной функции. В то же время были известны ряды Фурье непрерывных функций, которые сходились к разрывному пределу. При внимательном изучении доказательства Коши ошибка была обнаружена и исправлена путем изменения гипотезы теоремы на "равномерно сходящийся ряд".

В последнее время мы интенсивно изучаем так называемые основания математики, которые, на мой взгляд, следует рассматривать как верхние бастионы математики, а не как основания. Это интересная область, но основные результаты математики не зависят от того, что там найдено - мы просто не откажемся от большей части математики, какой бы нелогичной она ни казалась в результате исследований оснований.

Я надеюсь, что показал, что математика - это не то, чем ее часто считают, что математика постоянно меняется, и поэтому даже если бы мне удалось дать ей определение сегодня, оно не было бы уместным завтра. Точно так же и с идеей строгости - у нас меняются стандарты. В науке преобладает мнение, что мы не являемся центром Вселенной, что мы не обладаем уникальными возможностями и т. д., и поэтому мне трудно поверить, что сейчас мы достигли предельной строгости. Таким образом, мы не можем быть уверены в текущих доказательствах наших теорем. Мне кажется, что это действительно так:

Постулаты математики не были записаны на каменных скрижалях, которые Моисей снес с горы Синай.

Это необходимо подчеркнуть. Мы начинаем с расплывчатой концепции в нашем сознании, затем создаем различные наборы постулатов и постепенно останавливаемся на одном конкретном наборе. При строгом постулативном подходе исходное понятие заменяется тем, что определяют постулаты. Это затрудняет дальнейшую эволюцию концепции и, как следствие, замедляет развитие математики. Не то чтобы постулатный подход был неправильным, просто его произвольность должна быть четко осознана, и мы должны быть готовы изменить постулаты, когда в этом возникнет необходимость.

Математику создал человек, и поэтому она постоянно подвергается изменениям. Возможно, первоисточники математики были навязаны нам, но, как видно из примера, который я использовал, в развитии такого простого понятия, как число, мы сделали выбор в пользу расширений, которые лишь частично контролировались необходимостью, а чаще, как мне кажется, эстетикой. Мы пытались сделать математику последовательной, красивой вещью, и благодаря этому у нас появилось удивительное количество успешных приложений к реальному миру.

Идея о том, что теоремы следуют из постулатов, не соответствует простому наблюдению. Если бы оказалось, что пифагорейская теорема не следует из постулатов, мы бы снова искали способ изменить постулаты до тех пор, пока она не стала бы истинной. Постулаты Евклида вытекают из пифагорейской теоремы, а не наоборот. Вот уже более тридцати лет я говорю, что если бы вы пришли ко мне в кабинет и показали доказательство ложности теоремы Коши, я бы очень заинтересовался, но я верю, что в конечном итоге мы изменили бы предположения до тех пор, пока теорема не стала бы истинной. Таким образом, в математике существует множество результатов, которые не зависят от предположений и доказательства.

Как мы решаем в условиях "кризиса", какие части математики следует сохранить, а от каких отказаться? Полезность - один из главных критериев, но часто эта полезность заключается в создании большего количества математики, а не в приложениях к реальному миру! Вот и все мои рассуждения о математике.

Некоторые частичные объяснения. Свои объяснения непостижимой эффективности математики я разложу по четырем разделам.

1. Мы видим то, что ищем. Никого не удивляет, если после надевания очков с синей тонировкой мир кажется голубоватым. Я предлагаю показать несколько примеров того, насколько это верно в современной науке. Для этого я снова собираюсь нарушить множество широко распространенных, горячо поддерживаемых убеждений. Но выслушайте меня.

Я выбрал пример ученых в предыдущей части по уважительной причине. Пифагор, на мой взгляд, является первым великим физиком. Именно он обнаружил, что мы живем в пространстве, которое математики называют L2 - сумма квадратов двух сторон правильного треугольника дает квадрат гипотенузы. Как я уже говорил, это не результат постулатов геометрии - это один из результатов, который сформировал эти постулаты.

Далее рассмотрим Галилея. Не так давно я пытался поставить себя на место Галилея, чтобы почувствовать, как он пришел к открытию закона падения тел. Я стараюсь заниматься подобными вещами, чтобы научиться думать так, как думали мастера, - сознательно пытаюсь думать так, как могли бы думать они.

Галилей был образованным человеком и мастером схоластических аргументов. Он прекрасно знал, как определить количество ангелов на булавочной головке, как аргументировать обе стороны любого вопроса. Он был обучен этим искусствам гораздо лучше, чем любой из нас в наши дни. Я представляю, как однажды он сидит с легким и тяжелым мячом, по одному в каждой руке, и осторожно подбрасывает их. Он говорит, подбрасывая их: "Любому очевидно, что тяжелые предметы падают быстрее, чем легкие, - во всяком случае, так утверждает Аристотель". "Но предположим, - говорит он себе, обладая подобным умом, - что при падении тело разломилось на две части. Конечно, обе части немедленно замедлились бы до соответствующих скоростей. Но предположим далее, что одна часть случайно коснулась другой. Стали бы они теперь одним целым и оба ускорились? Предположим, что я связал два куска вместе. Как крепко я должен это сделать, чтобы они стали одним целым? Легкой ниткой? Веревкой? Клей? Когда два куска становятся одним?"

Чем больше он думал об этом - и чем больше вы об этом думаете, - тем более неразумным становится вопрос о том, когда два тела становятся одним. Просто нет разумного ответа на вопрос, откуда тело знает, насколько оно тяжело - одно ли оно, или два, или много. Поскольку падающие тела что-то делают, единственно возможным является то, что все они падают с одинаковой скоростью - если им не мешают другие силы. Больше они ничего не могут делать. Возможно, позже он провел какие-то эксперименты, но я сильно подозреваю, что нечто подобное тому, что я себе представил, произошло на самом деле. Позже я нашел похожую историю в книге Полиа [Г. Полиа, Математические методы в науке, МАА, 1963, с. 83-85]. Галилей нашел свой закон не путем экспериментов, а путем простого, обычного мышления, путем схоластических рассуждений.

Я знаю, что в учебниках закон падающего тела часто представляют как экспериментальное наблюдение; я же утверждаю, что это логический закон, следствие того, как мы склонны думать.

Ньютон, как вы читаете в книгах, вывел закон обратного квадрата из законов Кеплера, хотя в учебниках это часто преподносится иначе; из закона обратного квадрата учебники выводят законы Кеплера. Но если вы верите во что-то похожее на сохранение энергии и считаете, что мы живем в трехмерном евклидовом пространстве, то как еще может отпасть симметричное поле центральной силы? Измерение экспоненты путем проведения экспериментов - это в значительной степени попытка выяснить, живем ли мы в евклидовом пространстве, а вовсе не проверка закона обратного квадрата.

Но если вам не нравятся эти два примера, позвольте мне обратиться к самому разрекламированному закону последнего времени - принципу неопределенности. Так случилось, что недавно я занялся написанием книги о цифровых фильтрах [R. W. Hamming, Digital Filters, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ., 1977], когда я еще очень мало знал об этой теме. В результате я рано задался вопросом: "Почему я должен проводить весь анализ в терминах интегралов Фурье? Почему они являются естественным инструментом для решения этой задачи?" Вскоре я выяснил, как многие из вас уже знают, что собственные функции трансляции - это комплексные экспоненты. Если вы хотите получить инвариантность во времени, а физики и инженеры, безусловно, хотят этого (чтобы эксперимент, проведенный сегодня или завтра, давал одинаковые результаты), то вы обращаетесь к этим функциям. Аналогично, если вы верите в линейность, то это снова собственные функции. В квантовой механике квантовые состояния абсолютно аддитивны; это не просто удобное линейное приближение. Таким образом, тригонометрические функции являются собственными функциями, которые нужны и в теории цифровых фильтров, и в квантовой механике.

Теперь, когда вы используете эти собственные функции, вы естественным образом приходите к представлению различных функций, сначала в виде счетного числа, а затем в виде их несчетного количества - а именно, ряда Фурье и интеграла Фурье. В теории интегралов Фурье есть теорема о том, что изменчивость функции, умноженная на изменчивость ее преобразования, превышает фиксированную постоянную, в одном обозначении l/2pi. Это говорит мне о том, что в любой линейной, инвариантной во времени системе необходимо найти принцип неопределенности. Величина постоянной Планка - это вопрос детальной идентификации переменных с интегралами, но неравенство должно иметь место.

В качестве другого примера того, что часто считалось физическим открытием, но оказалось, что мы сами его туда ввели, я обращусь к хорошо известному факту, что распределение физических констант не является равномерным; скорее, вероятность того, что случайная физическая константа будет иметь ведущую цифру 1, 2 или 3, составляет примерно 60 %, и, конечно, ведущие цифры 5, 6, 7, 8 и 9 встречаются в общей сложности только около 40 % времени. Такое распределение применимо ко многим типам чисел, включая распределение коэффициентов степенного ряда, имеющего только одну сингулярность на круге сходимости. Внимательное изучение этого явления показывает, что оно в основном является артефактом того, как мы используем числа.

Приведя четыре совершенно разных примера нетривиальных ситуаций, когда выясняется, что оригинальное явление возникает из-за используемых нами математических инструментов, а не из-за реального мира, я готов решительно предположить, что многое из того, что мы видим, происходит из-за очков, которые мы надеваем. Конечно, это противоречит многому из того, чему вас учили, но внимательно рассмотрите аргументы. Вы можете сказать, что именно эксперимент навязал нам эту модель, но я предполагаю, что чем больше вы будете размышлять над этими четырьмя примерами, тем более неуютно вам будет. Это не произвольные теории, которые я выбрал, а те, которые являются центральными для физики.

В последние годы именно Эйнштейн наиболее громко провозглашал простоту законов физики, использовал математику настолько эксклюзивно, что в народе его стали называть математиком. При рассмотрении его специальной теории относительности [G. Holton Thematic Origins of Scientific Thought, Kepler to Einstein, Harvard University Press, 1973.] возникает ощущение, что имеешь дело со схоластическим философским подходом. Он заранее знал, как должна выглядеть теория, и исследовал ее с помощью математических инструментов, а не реальных экспериментов. Он был настолько уверен в правильности теорий относительности, что, когда проводились эксперименты для их проверки, его мало интересовали результаты, он говорил, что они должны были получиться именно такими, иначе эксперименты были ошибочными. И многие люди считают, что обе теории относительности опираются скорее на философские основания, чем на реальные эксперименты.

Таким образом, мой первый ответ на подразумеваемый вопрос о необоснованной эффективности математики заключается в том, что мы подходим к ситуациям с интеллектуальным аппаратом, так что во многих случаях мы можем найти только то, что делаем. Это и так просто, и так ужасно. То, чему нас учили, что основой науки являются эксперименты в реальном мире, верно лишь отчасти. Эддингтон пошел дальше: он утверждал, что достаточно мудрый ум может вывести всю физику. Я лишь предполагаю, что удивительно много может быть выведено таким образом. Эддингтон привел прекрасную притчу, чтобы проиллюстрировать этот тезис. Он сказал: "Некие люди отправились ловить рыбу в море сетью, и, изучив то, что они поймали, они пришли к выводу, что в море водится рыба минимального размера".

2. Мы выбираем, какую математику использовать. Математика не всегда работает. Когда мы обнаружили, что скаляры не подходят для определения сил, мы придумали новую математику - векторы. А пойдя дальше, мы придумали тензоры. В книге, которую я недавно написал [R. W. Hamming, Coding and Information Theory, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ., 1980.] для меток используются обычные целые числа, а для вероятностей - вещественные; но в остальном вся арифметика и алгебра, которые встречаются в книге, а их там очень много, подчиняются правилу

1+1=0.

Таким образом, мое второе объяснение заключается в том, что мы выбираем математику, чтобы она соответствовала ситуации, и просто неправда, что одна и та же математика работает везде.

3. На самом деле наука отвечает на сравнительно небольшое количество проблем. У нас есть иллюзия, что у науки есть ответы на большинство наших вопросов, но это не так. С древнейших времен человек, должно быть, размышлял о том, что такое Истина, Красота и Справедливость. Но, насколько я могу судить, наука не внесла никакого вклада в поиск ответов, и мне не кажется, что она сделает это в ближайшем будущем. Пока мы используем математику, в которой целое - это сумма частей, математика вряд ли будет основным инструментом в изучении этих знаменитых трех вопросов.

Действительно, если обобщить, то почти весь наш опыт в этом мире не относится к области науки или математики. Более того, мы знаем (по крайней мере, думаем, что знаем), что из теоремы Годеля следует, что существуют определенные пределы того, что может сделать чистое логическое манипулирование символами, - это пределы области математики. Ученые верили, что мир можно объяснить в простых терминах, которыми оперирует математика. Если задуматься о том, на сколько вопросов наука еще не ответила, то становится ясно, что наши успехи не столь впечатляющи, как могло бы показаться.

4. Эволюция человека послужила моделью. Я уже касался вопроса эволюции человека. Я заметил, что в самых ранних формах жизни, должно быть, были зачатки нашей нынешней способности создавать длинные цепочки логических рассуждений и следовать им. Некоторые люди [H. Mohr, Structure and Significance of Science, Springer-Verlag, 1977] далее утверждают, что дарвиновская эволюция естественным образом отбирает для выживания те конкурирующие формы жизни, которые имеют в своем сознании лучшие модели реальности - "лучшие" означает лучшие для выживания и распространения. Несомненно, в этом есть доля истины. Например, мы обнаруживаем, что можем думать о мире, когда он сопоставим по размерам с нами и нашими неокрепшими органами чувств, но когда мы переходим к очень маленькому или очень большому, наше мышление испытывает большие трудности. Похоже, мы не способны адекватно мыслить в экстремальных ситуациях, выходящих за рамки нормального размера.

Как существуют запахи, которые собаки чувствуют, а мы нет, так и звуки, которые собаки слышат, а мы нет, так и существуют длины волн света, которые мы не видим, и ароматы, которые мы не чувствуем. Почему же тогда, учитывая то, как устроен наш мозг, вас удивляет замечание "Возможно, есть мысли, которые мы не можем думать"? Эволюция, возможно, пока что блокирует нашу способность мыслить в некоторых направлениях; возможно, существуют немыслимые мысли.

Если вспомнить, что современной науке всего около 400 лет и что в каждом столетии сменяется от 3 до 5 поколений, то со времен Ньютона и Галилея прошло не более 20 поколений. Если вы выберете 4 000 лет для возраста науки в целом, то получите верхнюю границу в 200 поколений. Учитывая эффекты эволюции, которые мы ищем через отбор небольших случайных вариаций, мне не кажется, что эволюция может объяснить более чем малую часть необоснованной эффективности математики.

Заключение. Из всего этого я вынужден заключить, что математика непостижимо эффективна и что все приведенные мною объяснения, сложенные вместе, просто недостаточны для объяснения того, что я хотел объяснить. Я думаю, что мы - то есть вы, в основном - должны продолжать пытаться объяснить, почему логическая сторона науки - то есть математика, в основном - является надлежащим инструментом для изучения Вселенной, как мы ее воспринимаем в настоящее время. Подозреваю, что мои объяснения вряд ли так же хороши, как объяснения ранних греков, которые в отношении материальной стороны вопроса говорили, что природа Вселенной - это земля, огонь, вода и воздух. Логическая сторона вопроса о природе Вселенной требует дальнейшего изучения.