12 заблуждений о Фибоначчи
👁️ Это самая известная последовательность чисел!
— Спросите случайного попутчика-собеседника или знакомого в соцсети: помнит ли он первые пять-шесть чисел или хотя бы с чего начинается ряд.
Результат предсказуем.
👁️ Эти числа встречаются повсеместно в природе!
— Еще бы не встречались, 1, 2, 3, 5, 8...
Математически эта последовательность связана с пятиосевой симметрией, которая действительно много где прослеживается. Но есть и другие, не менее популярные в растительном и животном мире.
👁️ Числа Фибоначчи расположены по спирали, называемой «золотой спиралью».
— Вовсе нет. Расположите их на координатной плоскости (по оси X — номер элемента последовательности, по оси Y — само число), получится кривая, показывающая быстрый рост значений, никакой спирали вы не увидите:
👁️ Спираль золотого сечения уникальна! В ней отображается гармония космоса и законы развития живой материи.
— Отнюдь. Золотой спиралью или спиралью Фибоначчи называется логарифмическая спираль, задаваемая обычной для таких кривых формулой; единственное отличие — в коэффициенте, кратном числу φ = 0.6183 (обратное к « золотой пропорции» Φ имени греческого скульптора Фидия)
уравнение спирали в полярных координатах, r — длина радиус-вектора, Ө — угол его поворота, а — произвольная константа
(т.е. даже «золотых» спиралей несколько, в зависимости от постоянной, они отличаются размахом). Почему спираль логарифмическая
Лишь некоторые улитки, ископаемые моллюски и тп, являют собой приближение к спирали с коэффициентом φ (или φ в квадрате, в кубе);
спиральные рукава галактик близки по форме к логарифмической спирали, но не фибоначчиевой. Аналогично в растительном мире. Логарифмические спирали встречаются повсеместно (особенно там, где присутствует свойственный живой природе экспоненциальный рост), но совсем не обязательно связаны с «золотой пропорцией».
👁️ Спираль Фибоначчи вписывается в «паркет» из прямоугольников, построенный по принципу золотого сечения.
— Линия, построенная из фрагментов окружностей, не является математическим объектом, это коллаж из вписанных в квадраты дуг, неплохо, но все же не точно совпадающий с логарифмической «золотой» спиралью.
Примечание Не каждая спираль — логарифмическая, почувствуете разницу:
Слева размашистая логарифмическая спираль, справа — архимедова, с равномерными витками.
Кст. — детские раскраски ошибаются, рисуя паутину концентрическими окружностями. Паук работает по спирали — так же как бабушка вяжет круглый половичок. И спираль эта — ближе к арифметической:
👁️ Числа в ряду Фибоначчи относятся друг к другу в пропорции золотого сечения: каждое последующее больше предыдущего ~ в 1,618 раз.
— Нет. Соотношение последовательных членов только приближается к постоянной величине, но два к трем вовсе не то же, что три к пяти. 21/34 ближе к 55/89, чем к 5/8, но далеко не равны.
Если обвести в тетради одну клеточку и, продолжив, обвести еще две — мы не получим прямоугольник 3х1 рассеченный в соответствии с золотой пропорцией; соотношения начальных чисел в ряду Фибоначчи далеки от идеала. Что бы получилось настоящее золотое сечение, к одной клеточке нужно пририсовать еще 1,618 клеточки (и ширину прямоугольника сделать соответствующей).
👁️ Черепица из квадратов, с длинами сторон, равными числам Фибоначчи — визуализация золотого сечения.
— Это не так, в чем легко можно убедиться, сопоставив отношения площадей.
«Паркет» из выложенных по спирали четырехугольников лишь показывает занимательный факт возможности плотного замощения плоскости (термин такой) «фибоначчиевыми» квадратами.
👁️ Золотое сечение — выражение совершенства!
— Это гармоничное соотношение, но далеко не на всех гениальных полотнах «глаз главного героя» или смысловой акцент расположены в заветных точках, не все архитектурные шедевры без натяжек укладываются в классическую сетку. Не все фотографы придерживаются заданного канона.
Красота, растиражированная сверх меры — становится рутиной и кичем.
Кстати: не факт, что представление египтян о золотом сечении было отражено в пропорциях пирамиды Хеопса. Исследование пирамиды не даёт однозначного ответа на вопрос о ее первоначальных размерах. Пропорции не повторяются в соседних пирамидах. Версия, что в основу сооружения положен простой «египетский» треугольник 2-3-5 не менее убедительна. Понятно, что задавшись целью, можно отыскать золотую пропорцию в каких-либо произвольных обмерах любого строения.
👁️ Золотое сечение — это соотношение сторон (или площадей) рассеченного надвое прямоугольника: когда от большого прямоугольника отсечен малый, таким образом, что к оставшейся части он относится, так же, как оставшаяся часть к целому прямоугольнику.
— Не только. Участие прямоугольников не обязательно.
Золотой пропорцией называется разбиение в соотношении ~ 1,618... :
Можно и на пятиугольниках проиллюстрировать (верхняя картинка) и просто на отрезках. Лучи пятиконечной звезды делятся секущими в золотой пропорции: A относится к B, как А+В=D к С, и как В к D.
👁️ Числовая последовательность Фибоначчи — единственная в своем роде и связана со многими разделами математики.
— Это одна из рекуррентных последовательностей, несомненно заслуживающая внимания, но существует множество других, не менее любопытных; можно построить аналогичные последовательности — трибоначчи, тетрабоначчи, ... дека-, гектобоначчи и прочие, даже дробные и случайные «-боначчи», их изучают и применяют в самых разных областях.
Интерес представляют не числа 0 1 1 2 3 5 8 ..., а принцип:
«каждый последующий член последовательности равен сумме двух (трех и тп) предыдущих». Именно он дает увлекательные математические эффекты:
например, если начать «фибоначчев ряд» не с «пары кроликов», а с произвольного количества, удивительным образом обнаружим, что соотношение двух последовательных членов точно так же приближается к «золотому сечению». Хотя числа в ряду будут другими.
👁️ Леонардо из Пизы, по фамилии Фибоначчи обнаружил «золотое сечение», которое теперь связывают с его именем.
— Сечение, считающееся наиболее гармоничным, было известно и до него, в разных культурах, с незапамятных времен. Леонардо, сын Боначчи (известный позывной он получил лишь в работах последователей) не исследовал «золотое» соотношение.
Он расплод кроликов считал (пара производителей дает приплод, которые тоже приносит потомство и тд), в процессе подсчетов наткнулся на интересную числовую последовательность, «числа Фибоначчи» - одно из подмножеств множества натуральных чисел: 1 1 2 3 5 8 13 21...
На ай-кью тестах любят подобные загадки - продолжи ряд.. Покрутив его так и эдак, не сложно догадаться, что каждое следующее число - сумма двух предыдущих. Фибоначчи догадался. Связь с золотым сечением Φ была установлена не им и позже.
👁️ Средневековый математик Фибоначчи открыл (переоткрыл) знаменитые числа и этим прославился в веках.
— Отчасти правда. «Благодарные потомки» выдернули из многотомного математического труда задачу на подсчет кроликов, с примечательной числовой последовательностью, в последствии связали ее с «золотым сечением» и распиарили как единственное выдающееся достижение.
(Та же история, что с Архимедом, запомнившимся дурацкой побасенкой про корону и ванную).
А меж тем, заслуги Фибоначчи куда как более весомы, и, возможно неоценимы.
Купеческий сын Боначчи действительно жил в Пизе и много где побывал, учился у арабов индийской математике. О биографии Ф.Боначчи известно всего-ничего. Родился. Математикой занимался. Описал числовую последовательность. Этим и известен.
Самый важный вклад Фибоначчи в науку — остался в тени. Именно с его подачи и его усилиями начался переход европейской науки к позиционной десятеричной системе счисления вместо громоздкой и несуразной римской нотации.
Посчитайте число человеко-суток в неделе, возведите его в квадрат, пользуясь только римскими цифрами и представьте удобство пользования логарифмами в этой системе записи... представили?
Скажите спасибо энтузиазму любопытного Леонардо, нашедшего как подкатиться к арабским мудрецам (или там кто угодно мог на курсы записаться?), а позже преуспевшего со своими обновлениями в среде именитых евроматематиков.
О нем бы сериал снять - как ему удалось такое провернуть? Был ли он ловким дельцом, использовавшим навыки торговца для "продвижения" прорывных технологий или краснобаем, мастером "презентаций", привлекшим на свою сторону очарованных слушателей?
— Представьте изумленных мэтров, которым предложили новую запись вместо родных-привычных римских цифр: — Мы так привыкли! Нам удобно! Наши деды так писали!
Сравните - целая академия десятилетиями не может убедить упертых горе-грамотеев, что свЕрлит и звОнит - явления одного порядка, не говоря уж о священном "кофеон"-е и прочих лингвистических окаменелостях.
Или думаете средневековый люд был менее привержен отеческим заветам
и привезенные с востока математические идеи были встречены с готовностью и сами собой нашли последователей?
Остановись математика на римской нотации - магией тригонометрии и функционального анализа владели бы немногие кудесники, как сейчас ракетными технологиями. Если бы при таком раскладе дошло до ракетостроения.
- Позиционное исчисление все равно бы изобрели, рано или поздно.
- А вот не факт, что все равно.
Так ли страшна современная математика, как обозначения к ней?
Упс, не так картинка скачалась..
Может быть новейшие разделы (созданные чуть позже средневековья), ждут своего Фибоначчи?..
Считается, что прогресс не удержим.
Но есть вероятность, что эта уверенность из разряда "ошибок выжившего" (@те, кого дельфины толкали не к берегу, а в противоположную сторону, никогда уже нам об этом не расскажут).
Все ли технологии выжили, всегда ли утраченные были неэффективны?
(Небольшой красочный пример - Так ли плох был бы мир с медленным, но комфортным воздухоплаванием? С парящими в воздухе гостиницами на дирижаблях?)
👁️ Есть у меня предположение - чистая отсебятина )
Гильермо Боначчи, потомственный торговец на службе в Бенджаи - карфагенской Салде, кто он?
А с другой стороны - что ж там за "арабы" такие в средневековье занимались математикой?
Сложить два плюс два =) Вот так сын папы Гильермо с ними и договорился.
Да не оскудеют математические изыскания разнообразными бесполезными занимательными числами! Не менее затейливо связанными между собой!
(Очень даже полезными на самом деле :))
👁️ Фибоначчи не имел никакого отношения к спекуляциям на Форексе. Спекулятивность теории биржевых «уровней Фибоначчи» — предмет отдельного рассмотрения.