Решение задачи 427

Условие:

Назовем натуральное число интересным, если сумма его цифр — простое число. Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?

Решение:

Оценка:

Заметим, что среди любых пяти подряд идущих натуральных чисел найдутся три числа, которые находятся в одном десятке (десяток начинается с нулевой последней цифры, заканчивается последней цифрой-девяткой). Рассмотрим эти три числа A, B, C. Будем считать, что A < B < C. Тогда сумма цифр числа A ровно на 1 меньше суммы цифр числа B. Аналогично и сумма цифр числа B на 1 меньше суммы цифр числа C. Осталось заметить, что все эти три суммы цифр не могут быть простыми (нет трех подряд идущих простых чисел: см.тут). Значит простых чисел среди этих сумм цифр не больше 4.

Пример:

199, 200, 201, 202, 203. Соответственно суммы цифр: 19 (простое), 2 (простое), 3 (простое), 4 (составное), 5 (простое).

Ответ: 4.