Последовательности Рачинского
Многие любители математики знают картину Н. П. Богданова-Бельского «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского» (1895).
На картине изображён известный народный учитель, просветитель, профессор Московского университета, ботаник и математик Сергей Александрович Рачинский вместе со своими учениками.
В 70-х годах XIX века Рачинский на волне движения народничества оставил свою карьеру, жильё в Москве, работу профессора, и уехал в родное село Татево в Смоленской губернии (ныне Тверской области). Он до конца жизни преподавал математику и другие предметы в народной школе для крестьянских детей. Рачинский разработал уникальную методику обучения устному счёту, прививая деревенским ребятишкам основы математического мышления. Художник Богданов-Бельский, кстати, был одним из его учеников.
На доске написана арифметическая задача на устный счёт:
(10² + 11² + 12² + 13² + 14²) ÷ 365
Эту задачу можно решить несколькими способами.
Попробуйте сначала решить её устно, в уме.
А для приобретения опыта решения подобных задач, мы вам предлагаем ещё один красивый метод «последовательностей Рачинского», который он придумал самостоятельно и использовал для создания задач на устный счёт.
Посмотрите внимательно на числовые тождества Рачинского и постарайтесь заметить закономерности, заложенные в них:
10² + 11² + 12² = 13² + 14² = 365
21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27² = 2030
1) В каждом тождестве используется нечётное количество подряд идущих натуральных чисел (Обозначим это количество 2k + 1, через n — первое число. Тогда это числа n, n + 1, n + 2, … , n + 2k).
2) Сумма квадратов первых k + 1 чисел равна сумме квадратов последних k чисел:
n² + (n + 1)² + … + (n + k)² = (n + k + 1)² + ... + (n + 2k)²
Такая последовательность натуральных чисел называется «последовательностью Рачинского».
На первый взгляд никакая закономерность (какая связь между числами n и k, чему равна сумма левых и правых частей у разных тождеств) не проглядывается.
Но эту закономерность можно найти, использовав алгебраические уравнения.
При k = 1 получается уравнение: n² + (n + 1)² = (n + 2)², откуда следует квадратное уравнение n² − 2n − 3 = 0. Его корни n = 3, n = −1.
При n = 3 получается первая последовательность Рачинского из трёх чисел: 3² + 4² = 5² = 25.
При n = −1 (но это число не натуральное) получается тождество 1 = 1.
Аналогично исследуются следующие уравнения.
При k = 2: n² + (n + 1)² + (n + 2)² = (n + 3)² + (n + 4)², n² − 8n − 20 = 0. Его корни n = 10, n = −2.
При n = 10 получается вторая последовательность Рачинского из пяти чисел:
10² + 11² + 12² = 13² + 14² = 365.
Именно она и используется для решения задачи на картинке: (365 + 365)/365 = 2.
Далее предлагаем самостоятельно построить последовательность Рачинского из семи чисел:
21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27² = 2030
1) Найдите квадратное уравнение, положительный корень n которого выражается явно через k и даёт последовательность Рачинского из 2k + 1 чисел.
Это означает, что для заданного целого k ≥ 1 существует только одна последовательность Рачинского.
2) Докажите, что последовательные разности чисел n = n(k) образуют арифметическую прогрессию с разностью 4.
3) Найдите выражения S(k), выражающие левую и правую часть k-го тождества Рачинского: S(k) = n² + (n + 1)² + … + (n + k)².
Прежде чем смотреть решение ниже, попытайтесь всё же найти ответы самостоятельно! :)
Решение
1) n² + (n + 1)² + … + (n + k)² = (n + k + 1)² + … + (n + 2k)².
2) Используя выведенную формулу n = 2k² + k = k(2k + 1) зависимости между числами n и k, составим разность 2k² + k − (2(k − 1)² + (k − 1)) = 4k − 1.
Это и означает, что последовательные разности чисел n = n(k) образуют арифметическую прогрессию с разностью 4.
В самом деле, 10 − 3 = 7, 21 − 10 = 11, 36 − 21 = 15, …
При этом при необходимости легко вычислить последовательно по рекуррентной формуле первые числа тождеств: nₖ = nₖ₋₁ + 4k − 1.
Например, n₄ = n₃ + 16 − 1 = 21 + 15 = 36.
Но легче использовать формулу n = k(2k + 1) = 4(8 + 1) = 36.
Используя эту формулу, легко построить последующие тождества Рачинского. Например, при k = 4, тождество для девяти чисел:
36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44² = 7230
3) S(k) = n² + (n + 1)² + … + (n + k)², где n = 2k² + k.
Понадобится известная формула для суммы квадратов первых k чисел:
1² + 2² + … + k² = k(k + 1)(2k + 1) / 6