Головоломка, которая вдохновила Ньютона (Sir Isaac Newton's tree-planting puzzle)
Природа проста и не роскошествует излишними причинами. Исаак Ньютон
Исаак Ньютон, один из величайших умов в истории науки, известен не только своими законами механики и теорией гравитации, но и любовью к математическим головоломкам.
Одна из таких задач, приписываемых Ньютону, звучит так: «Посадите девять деревьев в десять рядов так, чтобы в каждом ряду было по три дерева» (A farmer wants to plant 9 trees in such a way that there are 10 rows of 3 trees. How does he do this?). Эта проблема, кажущаяся простой на первый взгляд, стала классическим примером геометрической комбинаторики и до сих пор вдохновляет математиков и любителей головоломок.
Задача была написана в стихах:
Your aid I want, nine trees to plant In rows just half a score, And let there be in each row three, Solve this: I ask no more.
Вольный перевод с английского:
Прошу помочь: девять деревьев В ряды поставить мне изволь. Чтоб в каждом три, а всех — десяток, Решенье успокоит боль.
(Примечание: в оригинале score это устаревшее слово, означающее 20, от древнеанглийского scoru — насечка на палке для счёта. Значит half a score будет 10, а русский аналог — «десятка»).
Так как деревьев только девять, то некоторые деревья должны стоять на пересечении нескольких рядов. Здесь некоторые деревья должны стоять на пересечении четырёх или большего числа рядов.
Одно из решений этой головоломки (смотрите первую иллюстрацию), предложенное самим Ньютоном, предполагает расположить деревья на таком расстоянии, чтобы можно было провести 3 горизонтальные прямые, 1 вертикальную прямую по центру и диагонали между деревьями, соединяя по 3 дерева в ряд.
Подумайте, какие ещё могут быть решения? Затем сравните их с решениями ниже.
Задача Ньютона о девяти деревьях не просто головоломка. Это напоминание о том, что математика — в том числе, про красоту, гармонию и воображение!
Литература
Решения
В решениях ниже цифры обозначают номера деревьев, которые лежат на одной прямой.
Решение 2
1-2-3, 1-6-5, 1-8-4, 2-7-4, 2-9-5, 3-4-5, 3-7-6, 3-8-9, 4-9-6, 5-8-7.
Решение 3
Вот другие 10 рядов при ином выборе:
1-2-3, 1-7-9, 1-5-4, 2-6-5, 2-9-4, 3-9-5, 4-6-7, 4-3-8, 5-9-8, 7-2-8.