Коровы на лугу (задача из «Универсальной арифметики» И. Ньютона)
«При изучении наук задачи полезнее правил»
И. Ньютон
Исаак Ньютон был не только великим физиком, но и выдающимся математиком. Именно ему принадлежит открытие, независимое от Лейбница, дифференциального и интегрального исчисления. В 1707 году вышел сборник лекций Ньютона по алгебре «Универсальная арифметика» (лат. Arithmetica Universalis), где Ньютон приводит различные численные методы. (Эту книгу называют ещё «Всеобщая арифметика». Универсальной арифметикой Ньютон называл алгебру, и данный труд внёс существенный вклад в её развитие.) Приведённая ниже задача впервые была опубликована во «Всеобщей арифметике».
«Трава на всём лугу растёт одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров поели бы её в 24 дня, а 30 коров — в 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву луга в 96 дней?»
При анализе и моделировании этой задачи многие ошибочно излагают ход решения, не учитывая, что трава всё время растёт. И в итоге они приходят к нелепым ответам, типа дробного числа коров.
В самом деле, 96 дней больше, чем 24 дня, ровно в 4 раза. Поэтому если 70 коров съедят траву в 24 дня, то, чтобы трапеза продолжалась вчетверо дольше, количество коров надо во столько же раз уменьшить, и оно становится равным 70:4 = 17,5. Наверное, условие содержит ошибку? Нет.
Имеются различные варианты решения этой задачи. Мы приведём некоторые интересные из них. Ну и предлагаем вам самим подумать над другими решениями.
Решение задачи также разбирается Я. И. Перельманом в книге «Занимательная алгебра».
1 способ
Обозначим искомое число коров через x. Ещё введём вспомогательное неизвестное y, обозначающее количество прирастающей травы за одни сутки как долю от общего запаса травы на лугу, принимаемого за 1. Тогда количество травы, съедаемое одной коровой в сутки, равно:
• с одной стороны: (24y + 1) / (24 × 70)
• с другой стороны: (60y + 1) / (60 × 30)
Приравняв их, получим уравнение относительно y и его корень: y = 1/480.
Найдём, сколько травы за сутки съедает одна корова:
(24y + 1) / (24 × 70) = 1/1600
За 96 дней x коров съедают (1/1600)⋅96х = 96y + 1 травы.
Используя найденное значение y = 1/480, получим x = 20.
В современных учебниках эта задача встречается как оригинальная «задача на работу».
2 способ (арифметическое решение)
Предположим, что одна корова в день съедает некоторую часть травы (назовём её 1 порцией). 30 коров за 60 дней съедают 1800 порций, 70 коров за 24 дня — 1680 порций. Это означает, что за 60 − 24 = 36 дней выросло ещё 1800 − 1680 = 120 порций травы, которые должны съесть 30 коров. Всего они съедают 1800 + 120 = 1920 порций. Таким образом, в ответе получится, что за 96 дней их съедят 1920:96 = 20 коров.
3 способ (физическая интерпретация)
Этот способ был предложен И. Акуличем (журнал «Квант», 2016, №3, С. 25–26). Переформулируем задачу на язык «Движение по реке».
«Если катер поплывёт вверх по течению реки с собственной скоростью 70 км/ч, то он доберётся до пункта назначения за 24 часа, а если он поплывёт с собственной скоростью 30 км/ч, то он доберётся до пункта назначения за 60 часов. С какой собственной скоростью ему надо плыть, чтобы достичь цели за 96 часов?»
Здесь количество коров преобразовалось в собственную скорость катера, а растущая трава — во встречное течение.
Обозначим собственную скорость катера через x, а скорость течения через y. Тогда одно и то же расстояние, которое проплыл бы катер, можно записать тремя способами, что порождает вот такую систему уравнений:
24(70 − y) = 60(30 − y) = 96(x − y)
Откуда также получается ответ: x = 20.
4 способ
1. 30 × 60 = 1800 (дней) — на столько дней одной корове хватит травы на поле и той, которая вырастет за 60 дней.
2. 70 × 24 = 1680 (дней) — на столько дней одной корове хватит травы на поле и той, что вырастет на нём за 24 дня.
3. 1800 – 1680 = 120 (дней) — хватит корове травы, которая вырастет на поле за 60 − 24 = 36 дней.
4. 1800 + 120 = 1920 (дней) — хватит одной корове травы, что вырастет на нём за 60 + 36 = 96 дней.
5. 1920/96 = 20 (коров) — съедят 20 коров.
Ответ получается аналогичным: за 96 дней съедят всю траву 20 коров.