Элементы геометрии, тригонометрии и механики в биомеханическом анализе движений.

Лично я всю дорогу в школе не понимал для чего нужна тригонометрия и как её применять в жизни. А вот геометрия фигур даже интересна была, но в той мере, в которой это мне помогало, когда я что-то конструировал или мастерил - чертежик простенький сделать, чтобы материал раскроить или ещё что-то подобное.

Идея тригонометрических функций достаточно универсальная, но я покажу как её использовать в анализе конкретного упражнения - планка, и все производные от неё упражнения: отжимания, упоры, смешанные висы и тяги с TRX. Но сначала теория.

Для тех кто забыл школу, вспомним самое начало тригонометрии. Помните: "язык" математики, это просто один из языков описания реальности, он очень лаконичен, поэтому его учить долго, но потом одной формулой много описывается, но чтобы это понимать, нужно знать этот "язык". Здесь мы разберем буквально несколько "слов" этого "языка", которые коротко и ёмко описывают механические процессы, происходящие при выполнении физических упражнений.

По большому счету из тригонометрии возьму только названия синус и косинус, а так это обычное сложение и разложение векторов из геометрии.

Тригонометрия.

Итак, берём две перпендикулярных относительно друг друга оси - X и Y.

В любом направлении из центра пересечения осей проводим произвольный радиус-вектор, который принимаем за единицу, поэтому он называется единичный вектор. Принятие за единицу нужно для того, что все вычисления легче делать с единицей, а в конце, получившееся значение просто умножить на реальное значение радиуса-вектора.

Как циркулем описываем круг концом радиуса-вектора, и получаем окружность с единичным диаметром. Если на нем обозначить все функции, то это будет уже тригонометрический круг. Но нам сейчас все не нужны, а нужны только две - синус и косинус.

Проведем проекции на оси (зеленый цвет), и вот у каждой проекции есть свое название: у проекции на ось Y - синус, у проекции на ось Х - косинус. Синус и косинус это функции, или другими словами правила зависимости изменения значений проекций от изменения угла между радиусом-вектором и осью Х.

Если радиус-вектор разложить на два перпендикулярных друг другу вектора, то получим картину, похожую на проекции, только теперь это будут компоненты радиуса-вектора. Раскладывать можно как угодно, но удобнее совмещать их с осями координат. Суть одна и та же, разница только в том, что в первом случае проекции это скалярные величины, а во втором - векторные.

Из последних двух рисунков понятно, что синус численно равен вектору y̅, а косинус равен вектору x̅. Если их сложить по правилам сложения векторов, то получим радиус-вектор, или, что то же самое, единичный вектор.

Если угол между осью Х и радиусом-вектором уменьшается, то синус или вектор y̅ тоже уменьшается, а косинус или вектор x̅ увеличивается. Если же угол увеличивается, то, соответственно, синус или вектор y̅ увеличивается, а косинус или вектор x̅ уменьшается.

Тригонометрический круг нам нужно было вспомнить, чтобы понимать откуда взялся радиус-вектор, и почему он именно единичный. Теперь уберем круг, уберем отрицательные значения осей, и у нас останется привычная декартова система координат.

Это была первая часть информации. Далее нам надо освежить знания о векторах и операции сложения векторов.

Геометрия. Векторы.

Вектор - это математический объект, который имеет величину (длину) и направление, которое тоже является величиной, и задается градусами поворота относительно оси отсчета. Величина это то, что можно выразить числом. Т.к. математика это язык науки, то вектор это часть этого языка, которым описываются некоторые свойства реального мира, которые ведут себя как вектор, эти свойства называются векторными величинами.

Векторы складываются и раскладываются геометрически, это значит что учитывается не только числовое значение (длина), но и направление, т.е. угол поворота. А углами поворота занимается тригонометрия, о которой говорилось выше.

Принципиально можно выделить 5 вариантов сложения векторов, а все остальные будут промежуточными между этими пятью.

1. Два одинаковых вектора a̅ и b̅ направлены в одном направлении, складывая их получим третий вектор, с̅, который численно равен арифметической сумме a̅ и b̅, и направлен в том же направлении. Это единственный вариант, когда арифметическая и геометрическая суммы равны, это наибольшее из возможных значений, все остальные геометрические суммы всегда будут меньше арифметической.
2. Так же складываем два численно одинаковых вектора, но теперь между их направлениями разница в 45°. Суммарный вектор будет иметь численное значение меньше чем арифметическая сумма значений, и дальше будет только уменьшаться.
3. Между складываемыми векторами 90°. В этом положении проекции векторов друг на друга равны нулю, соответственно при 90° их влияние друг на друга отсутствует. Суммарный вектор всё ещё больше больше каждого из складываемых векторов.
4. 135° между векторами. К этому моменту угол перешел положение 120°, когда суммарный вектор равен каждому из складываемых векторов по отдельности, т.к. при 120° вектора одинаковой длины образуют равносторонний треугольник.
5. Между векторами угол 180°, они противонаправлены, а значить взаимонейтрализуют друг друга, и суммарный вектор равен нулю.

В динамике изменение суммарного вектора можно проиллюстрировать так:

Далее, чтобы понимать механическую природу упражнения планка и других, производных от неё, нам нужно рассмотреть в общем виде понятие балка. Поэтому из математики перейдем в механику.

Механика. Статика. Балка.

Теперь нам надо разобраться со строительным понятием "балка", т.к. заявленные упражнения имеют одинаковую с балкой механическую природу. Поэтому перейдем от урока математики, к уроку физики.

Балка — линейный элемент несущих конструкций, с различными условиями опирания и работающий преимущественно на изгиб. Всё как в упражнении планка, и других, на неё похожих.

Модель 1 - однозвенная.

Рассмотрим пять вариантов опирания балки на какие-то опоры. Сама же балка массой 10 кг и длиной 4 будет рассматриваться как один однородный целый кусок с центром тяжести посередине. Сила, с которой Земля притягивает балку, называется сила тяжести и имеет значение G = 10 кг. Сила, с которой балка давит на опору, называется вес Р, и вот тут возможны варианты, в зависимости от положения балки. В положениях 2 и 5 правая опора приходится на расстоянии 3 от левого края балки.

В первом варианте всё очевидно - балка лежит горизонтально, центр тяжести у неё посередине, соответственно давление на каждую опору составляет половину веса балки.

В третьем варианте, всё ещё очевиднее - весь вес балки приходится на одну опору. По сути это уже не балка, а колонна. Для эрудиции: на латыни позвоночный столб будет columna vertebralis.

Во втором варианте вес вес балки на точки опоры распределяется обратно пропорционально расстояниям от центра тяжести до опоры.

В четвертом варианте, когда балка наклонена под углом 60°, вес между опорами распределяется неравномерно. Формулы этого расчета немного сложны, они даются в курсе теоретической механики в технических вузах, поэтому, те, кто знает математику, могут меня проверить, остальные - не заморачивайтесь пока, я работаю над тем, как это в простом виде изложить.

В пятом варианте угол наклона балки также 60°, но правая опора смещена на одну единицу длины от правого края. Соответственно значения сил, действующих на опоры опять изменилось.

Модель 2 - двухзвенная.

Представим что у нас балка состоит из двух частей, и скручена болтом с гайкой по середине, прямо в центре тяжести. Общая масса балки 10 кг, длина каждой части 2, в распрямленном состоянии длина 4, поэтому эти варианты не рассматриваются тут, они идентичны однозвенной модели. Рассмотрим три варианта когда в центре болтовое соединение позволило как-то изменить общую форму (прямую) балки, и стать согнутой.

Если вы поняли идею как меняется положение центра тяжести при изменении геометрии тела, то много говорить тут не придется, если же рассуждения непонятны, то повторите тему центр тяжести.

Как в однозвенной модели центр тяжести балки давил краями балки на опоры, также в двухзвенной модели каждое звено давит одним концом на опору, а вторым на ось соединения, поэтому у каждого звена выделен свой центр тяжести. Силы и моменты двухзвенной модели рассчитываются для каждого звена по отдельности, потому что углы наклона к горизонту у звеньев разные, а потом сумма прикладывается к оси.

Наклонная зеленая линия иллюстрирует ситуацию, как если бы балка не согнулась, а осталась прямой, но просто стала короче, и как на ней располагался бы новый центр тяжести.

В третьем варианте вес левого звена полностью уходит в опору и не создает крутящего момента на оси, а само левое звено превращается в опору. Поэтому в третьем варианте ситуация похожа на вариант 1 в однозвенной модели. Но на рисунке также видно, что правое звено своей тяжестью создает крутящий момент для всей конструкции, хотя и не такой большой, как если бы звенья были соединены в прямую линию.

Получается, при одинаковом угле наклона линии, соединяющей крайние точки звеньев (зеленый цвет), момент, действующий на крайнюю правую и на срединную ось, будет иметь наибольшее значение, во всех стальных случаях это значение будет меньше. Действие на ось, это аналог действия в планке на мышцы пресса, а действие на правый край - аналог действия на места контакта рук с опорой.

Для описания воздействия планки на мышцы пресса достаточно двухзвенной модели, но для описания воздействия на колени, тбс, плечи и локти нужна шестизвенная модель. Если в шестизвенной модели балки заменить костями получится модель скелета, и таким образом наши рассуждения переходят от механики к анатомии.

Анатомия скелета.

После такого длинного повествования, если нарисовать фигурки скелета в определенных позах, то по аналогии с балками станет более наглядна и понятна механика планки. При этом стрелочки уже можно не рисовать.

Поза 1. Начальное положение упражнения "пила".

Поза 2. Правильный вариант конечного положения упражнения "пила".

Поза 3. Неправильный вариант конечного положения упражнения "пила". Таким образом избегается нагрузка с плечевых суставов и с мышц пресса.

Поза 4. Неправильный вариант конечного положения упражнения "пила". Это второй способ снизить нагрузку с плечевых суставов и мышц пресса. И ещё один момент. Если присмотреться, то в этой позе немного кифозирована поясница, так ягодицы и хамстринги не "пускают" в дальнейшее сгибание тбс, и человек после определенного угла сгибания в тбс, делает дальнейшее сгибание в пояснице. Также бывает что поясница лордозируется, это значит что мышцы живота и разгибатели бедра не очень включились в работу, и человек тогда перенапрягает поясницу.

Рекомендация. Лучше перемещаться между позами 1 и 2, но в более вертикальном, т.е. облегченном, положении. Постепенно делая угол между телом и полом острее. Так плечи и пресс постепенно адаптируются под возрастающую нагрузку.

Ну и на последок.

Ради интереса провел такое измерение: взвесился стоя, в планке локти на весы, в планке стопы на весы.

При обычном взвешивании напольные весы показали 81,35 кг. Далее встал в планку на полу, под руки поставил напольные весы и они показали 57,85 кг. Потом, стараясь чтобы поза не изменилась, взвесился упираясь передней частью стопы на весы, они показали 23,5 кг. Суммируя показатели, получилось что потерялось 200 граммов. Я думаю что у этой погрешности три причины.

1. Я полностью не сохранил позу, небольшие изменения позы повлекли изменение длин плечей сил, что отразилось на результатах измерения.
2. Поменялись углы наклона всего тела из-за того, что весы, имея высоту 2 см, находясь по очереди то под руками, то под ногами, дали разницу в 4 см на крайних точках, что также повлияло на длины плеч.
3. Чувствительность весов далеко не идеальная.

Кстати, М.Ф. Иваницкий подобным способом определял общий центр тяжести тела.

Резюме.

При реабилитации, при тренировке точных восприятий своего тела, при тренировке новичков с проблемами ода и т.п., важно соблюдать технику, т.к. от этого зависит дозировка и адресность нагрузки. При проблемах с ода, небольшие отклонения в технике могут вызвать неприятные ощущения или боль, что в таких случаях является негативным фактором, когда человеку психологически и так не легко.