February 22
Решение. Хозяйка Медной горы (#157)
После двух часов ходьбы возможны следующие варианты:
- Шахтёр достигает выхода
- Шахтёр попал в туннель, не ведущий к выходу. Таким образом, если он продолжит двигаться в первоначальном направлении, то с равной вероятностью ему останется идти 1 или 5 часов. То есть, в среднем 3 часа. Но шахтёр может повернуть обратно и по условию достигнуть залы за 2 часа, что в среднем быстрее.
С учётом сказанного, получаем варианты:
- Шахтёр выходит из пещеры за 2 часа с вероятностью 1/3
- Шахтёр возвращается в начальную комнату через 4 часа с вероятностью 2/3
Пусть X₀ – общее время на выход из пещеры, I₀ – индикатор случайного события «в первую попытку был выбран туннель с выходом», X₁ – время необходимое на выход из пещеры после первой попытки. Отметим, что I₀ и X₁ по условию независимы.
Так как по условию при попадании в начальную комнату пропадает зависимость от прошлого, то распределения X₀ и X₁ совпадают. Поэтому математические ожидания E[X₀] = E[X₁] = x. Возьмём математическое ожидание от обеих частей уравнения:
E[X₀] = 2 E[I₀] + (4 + E[X₁]) (1 − E[I₀])
Математическое ожидание времени, необходимого для выхода из пещеры при оптимальной стратегии, составляет 10 часов.