March 8
Решение. Площадь пятиугольника (#158)
Проведём в пятиугольнике ABCDE все диагонали из точек C и D.
По условию S(△ABC) = S(△ABE), поэтому EC||AB. Обозначим
h = расстояние от D до AB
h’ = расстояние от EC до AB
a = длина EC
b = длина AB
Обозначим S – площадь пятиугольника. Две диагонали, проведённые из одной точки делят его на три треугольника. Заметим, что все треугольники со сторонами из двух диагоналей (примеры закрашены на чертеже) имеют одинаковую площадь. Обозначим её Ф.
Ф = S(△ABD) = bh/2
Ф = S(△ACE) = ah’/2
1 = S(△ECD) = a(h-h’)/2
1 = S(△ECD) = bh’/2
Поделив первое равенство на четвёртое, получим
Ф=h/h’
Поделив второе на третье, получим
Ф=h’/(h-h’)
С учётом того, что Ф>0, получаем Ф = (1+√5)/2. Число Ф также называют золотым сечением.