Galois Field или как два плюс два превращаются в ноль
Какие только мысли не приходят в голову, пока переводишь текстики. Вот внезапно вспомнилась хохма из моих школьных времен (1990-е годы): какие-то шутники-студенты каким-то хитроумным способом какому-то там профессору доказали, что 2 + 2 = 0. Ну и лопух же этот профессор, если повелся на такую глупость, думал я тогда.
И вот встречаю в тексте книги по теории информации фразу примерно такого содержания (перевод):
«…можно ли построить то же самое над любым коммутативным кольцом, где деление есть не всегда? В общем случае — нет, и виноваты "делители нуля" (zero divisors): ненулевые числа, которые в произведении с другим ненулевым числом дают ноль».
Учитывая, что тут упоминается свойство коммутативности (в школьном изложении оно звучит как «от перестановки слагаемых сумма не меняется»), в этой фразе содержится ничто иное, как то самое «шутливое» утверждение из моих школьных времён.
Так каким же образом может быть 2 + 2 = 0?
В моём конкретном случае речь идёт о полях Галуа (конечных полях).
Давние подписчики моего блога, возможно, помнят заметку об этом французском учёном — Эваристе Галуа — из начала XIX века. В 17 лет он решил задачу из высшей математики, над которой лучшие математические умы мира бились без малого три века до него. В некоторых книгах даже упоминается, что именно он стал основателем высшей математики. Увы, нелепо погиб на дуэли в 20 лет.
Отвлёкся. Так вот, о полях Галуа (Galois field) или о конечных полях.
Одна из идей конечных полей (finite fields) — это конечное число используемых чисел. Как только мы в своих подсчётах доходим до последнего числа, мы снова откатываемся на начало. Вот и получается: если в нашем поле всего четыре числа — 0, 1, 2, 3, — то 2 + 2 в нормальной математике дают 4, а поскольку в этом поле такого числа нет, то после 3 будет 0. Таким образом, мы и получаем: 2 + 2 = 0, или применительно к умножению 2 × 2 = 0.