Работа с концепцией гиперчисел

Чарльз Мьюзес

Концепция числа одновременно привычна и парадоксальна. С ростом городов номера домов стали необходимостью, а во многих случаях и номера улиц. Даже личный номер больше не привилегия заключенных, теперь у каждого человека есть что-то вроде правительственного компьютерного номера от "Большого Брата", чтобы лучше за нами присматривать.

Мы практически не смогли бы жить без телефонных номеров, и никогда не существовало цивилизации без каких-либо календарных чисел, отмечающих течение времени и чередование недель, сезонов, лет и групп лет, таких как столетия и тысячелетия в нашей системе. Все цены обозначены цифрами, и мы почти ежедневно добавляем их в счета за продукты.

Несмотря на всю эту скромную вездесущность, в концепции чисел остается что-то внутренне загадочное, и люди во всем мире готовы принять тот факт, что в числах и их взаимосвязях заключены свои секреты. Эта двойная роль быть одновременно самым до смешного привычным и самым возвышенно загадочным, придала числу двойственное качество. Числа одновременно очевидны и максимально устрашающе непроницаемы. Некоторые люди, особенно те, которые вышколивались зубрёжкой, а не обучались на основе понимания, даже находили цифры и их действия ужасающими. Настолько, что при одном упоминании слова "математика" возникает неясное предчувствие, похожее на чудовищное видение.

Большинство из этих реакций являются красноречивым свидетельством отталкивающего качества большинства современных методов преподавания и презентации математики. Реальные модели почти никогда не приводятся, равно как и полезные, поучительные аналогии, или интересные человеческие истории из прошлого или настоящего.

Обнадеживающим фактом остается то, что педагоги в целом начинают осознавать многие отталкивающие черты, заложенные в преобладающих методах преподавания и написания статей о математике, которая, в конце концов, является одним из краеугольных камней культуры и достижений двадцатого века. Таким образом, естественно предсказать, что в ближайшие десятилетия гораздо большее количество людей, чем когда-либо прежде, проникнет в сокровищницу чисел.

Стойкая и плодотворная человеческая интуиция о том, что числа скрывают могущественные тайны понимания и прозрения, будет более чем оправдана, поскольку люди будут работать с новыми и более возвышенными видами чисел - гиперчислами, уже упомянутыми в нашей главе об исследовании сознания. Таким образом, будут высвобождены новые силы, которые не только увеличат способность человека что-либо делать, но и увеличат его способность повышать, углублять и освещать осознание сверх того, что он ранее представлял возможным. Идея по своей сути захватывающая, и хотя кому-то может показаться, что некоторые из следующих страниц требуют пристального внимания, все они основаны на одной идее, все являются частью “одного багажа”.

Приведенные ниже результаты слишком важны для повышения осведомленности человека, чтобы им было позволено остаться в сравнительном забвении книг или периодических специализированных изданий.

Эта глава предназначена для тех, кто прочитал отрывки о гиперчислах и мире симулякров в главе 8 и хочет узнать больше — или для тех, кому это просто любопытно.

Некорректность процесса научной истории

С самых архаичных времен главной характеристикой человека было использование им чисел и понимание их значения посредством символических манипуляций с ними, называемых арифметикой и алгеброй.

Но идея о различных видах чисел, каждое из которых имеет свою собственную природу, отраженную в уникальной и характерной арифметике, усваивалась медленно и довольно болезненно. Так, ещё греки отрицательные числа называли “несуществующими”. Существовала неизбежная историческая рутина сначала осуждать или даже пытаться отрицать существование незнакомого — как в случае тех, кто отказывался смотреть в телескоп Галилея из страха увидеть что-то, что нарушит его негибкие и ограниченные предубеждения. Вторая и более современная фаза этой рутины — заимствованная, однако, из освященной веками церковной и политической практики - заключается в том, чтобы, наконец, принять новое открытие, а затем тщательно ассимилировать его в устоявшиеся взгляды, часто даже меняя его название, чтобы скрыть тот факт, что та же самая группа, которая теперь принята, раньше отрицалась или игнорировалась с помощью заговоров молчания.

Таким образом, на рубеже веков гений Оливера Хевисайда обнаружил, как использовать совершенно новый класс функций — бесконечные импульсные функции, — которые он сформировал, взяв производные от ступенчатых функций, которые он же и открыл. Математический и научный истеблишмент его времени не принял ничего из этого — но позже, когда становилось все более очевидным, что импульсные функции Хевисайда незаменимы в электронике и квантовой физике, они были признаны — но не как производные ступенчатых функций Хевисайда: для них был изобретен новый маскирующий и в действительности неприменимый термин “дистрибутивы” — кто-нибудь менее доброжелательный назвал бы это белибердой - и имя Хевисайда в этой важной связи могло бы остаться преданным забвению из-за мелочного и неумолимого конспиративного молчания. Он усугубит свою ошибку неприсоединения ни к одной из клик истеблишмента своего времени, очень искусной сатирой против этих клик. И потому будет “наказан” чередой ограниченных и завистливых умов, пока не пройдет достаточно поколений, чтобы забыть о несправедливости.

Но “убийство, хоть и не имеет языка, всё ж говорит этим самым чудесным органом”. И попытка исторического убийства репутации и гения человека не является исключением. Иногда, как в случае с Эваристом Галуа (которого математический истеблишмент фактически вынудил трагически погибнуть в возрасте двадцати лет) и Николаем Лобачевским, истеблишмент добивается успеха. Во многих других случаях, как в случае открытия Пола Гербера в 1898 году и предсказания точной величины смещения перигелия Меркурия [уравнение Гербера для смещения перигелия в точности совпадает с уравнением Эйнштейна, объявленным несколькими годами позже, в начале двадцатого века. (См. Paul Gerber, стр. 93-104, Zeitschrift fur Mathematik und Physik, vol. 43, 1898.) Сэр Эдмунд Уиттакер во втором томе своей "Истории теорий электричества и эфира" частично исправил оплошность с перигелием Меркурия, но большая часть литературы этого не сделала.] это никогда не приносило пользы, к позору официальной истории. В случае Хевисайда это удалось лишь частично, и его собственное открытие производной от его собственной ступенчатой функции до сих пор называется дельта-функцией Дирака. К сожалению, Поль Дирак, несмотря на свои многочисленные притязания на славу, никогда публично не опротестовал неправильного названия.

К счастью, в каждом учреждении есть талантливые и честные люди, которые не следуют обычной тактике цензуры контролирующих групп — в недавнем прошлом такие люди, как Уильям Джеймс в психологии, Г. Г. Харди (который спас Рамануджана от забвения) в математике. Однако их число, по-видимому, даже меньше, чем число самоучек, которые проникают в истеблишмент скорее благодаря удачному стечению обстоятельств, чем благодаря каким-либо великодушным усилиям по принятию или радушному приему. Как однажды хорошо сказал Фрейд, если бы ревность между взрослыми мужчинами можно было устранить или даже заметно уменьшить, человеческое общество быстро расцвело бы.

Под поверхностью математики конца двадцатого века до сих пор довольно тихо разгорающийся спор становится все более настойчивым из-за растущих свидетельств того, что гиперчисла (открыто символизируемые как таковые) за пределами √-1 должны быть допущены правящим истеблишментом, даже если некоторые персоны потерпят поражение из-за нежелания признать, что явное присутствие таких гиперчисел требует более глубокого анализа допущений арифметики и природы числа.

Это очень недавняя тема, и до исследований автора было известно или подозревалось существование только первого гиперчисла за пределами √-1. Многие фундаментальные свойства этого гиперчисла были неизвестны, и даже отрицалось (еще в 1968 году), что оно может иметь квадратный корень.

Гиперчисла, превышающие √-1 (которое можно считать первым гиперчислом), только начинают приниматься и распознаваться. Даже √-1, обычно обозначаемому как i, пришлось нелегко, и даже Карл Гаусс, ведущий математик своего времени в начале девятнадцатого века, колебался из-за ожидаемой традиционной критики использовать его в геометрии, которую он элегантно и с пользой приводит к геометрии неевклидовой или неплоской, то есть — криволинейных геометрических поверхностей грунта и наземных пространств. Мода конца девятнадцатого и начала двадцатого веков затем перешла к другой и столь же неверной крайности - считать “неевклидовы” геометрии полным разрывом с Евклидом, не понимая, что каждая такая геометрия может быть включена в совершенно достоверную евклидову геометрию более высокого измерения. Одним из величайших уроков истории математических открытий является закон объединения всей реальности в том смысле, что существуют только относительные и никогда не абсолютные разрывы.

Уравнения, демонстрирующие арифметическое и алгебраическое существование √-1 (например, x² + 1 = 0) было хорошо известны, по меньшей мере, со времен итальянского Ренессанса, но потребовалось еще около половины тысячелетия, чтобы эти так называемые мнимые числа стали общепринятыми, когда было обнаружено, что без использования √-1 простые представления электромагнитных явлений и эффектов были невозможны. Как разъясняет профессор Вигнер в своей главе, √-1 входит в квантовую физику как физическое основание, а не просто как элегантный метод.

Как появились гиперчисла

Так было и с гиперчислами, которые вошли в моду, когда Уильям Роуэн Гамильтон в 1843 году обнаружил высшие порядки √-1, которые больше не следовали коммутативной арифметике, но были чувствительны и по-разному реагировали на умножение справа или слева. Таким образом, такие числа (которые Гамильтон назвал "кватернионами”, потому что они были основаны на четырех взаимно перпендикулярных числовых осях) нельзя было безнаказанно “коммутировать” или менять местами в качестве множителей, как это делают с обычными числами.

Менее чем через год, в 1844 году, друг и коллега Гамильтона по математике Джон Грейвс обнаружил еще более высокие порядки √-1, которые, как правильно предположил гений Гамильтона, больше не будут следовать ассоциативному правилу арифметики, где (xy)z обозначает то же произведение, что и x(yz). Артур Кейли, который посещал лекции Гамильтона и был знаком с открытием Грейвса, год спустя расширил эти результаты до полномасштабной "неассоциативной” алгебры.

В начале двадцатого века эти алгебры были дополнены открытием Адольфом Гурвицем 24 фундаментальных единиц некоммутативной алгебры Гамильтона, доказательством Леонарда Диксона, что каждое число в неассоциативной алгебре Кэли-Грейвса имеет конечную обратную величину, и демонстрацией Г.С.М. Коксетера того, что 240 единиц последней алгебры были изоморфны центрам 240 равных 8-мерных сфер, которые могли быть максимально сконцентрированы вокруг центральной 8-мерной сферы. Ранее было обнаружено, что 24 единицы алгебры Гамильтона изоморфны центрам 24 равных 4-мерных сфер, которые могут быть просто сконцентрированы вокруг центральной 4-мерной сферы. В 1964 году мы опубликовали в предварительной форме открытие первой недистрибутивной алгебры, а позже показали, что она обязательно должна включать необычные или "нереальные” формы √ + 1, в дополнение к высшим формам √-1, и что она содержит 24 вместо ожидаемых 16 или 32 элементов.

Гиперчисла в физике

Уильям Кингдон Клиффорд в конце девятнадцатого века впервые предположил, что должно существовать определенное число, которое было бы гиперчислом, назовем его ∈ {примечание переволчика: иногда, в силу обстоятельств (например, в числах степеней) вместо символа ∈ будет использоваться символ ε}, такое, чтобы его квадрат был равен +1, хотя само по себе ∈ не является ни +1, ни -1. Мало что было сделано для развития арифметики и алгебры чисел такого рода, хотя Эдуард Штуд на рубеже веков проделал некоторую работу в проективной геометрии. До 1968 года считалось, что это число не имеет квадратного корня, на самом деле у него вообще не было четных корней (подробнее смотрите приложение к этому и предыдущему разделу).

Современная квантовая физика действительно выводит ε на передний план использования; ε входит в квантовую физику не по чьему-либо выбору, а по наблюдательной необходимости, посредством (см. дополнение к этому разделу в приложении):
(1) спиновых операторов Паули (2) спиноров Дирака (3) проекционных операторов (4) операторов нейтрино (5) правильных квадратные корней из нуля, используемых в квантовой теории поля Дирака
во всех из них ε предстает замаскированным в матричных формах.

Во всех этих категориях основными строительными блоками являются взаимно ассоциативные, но некоммутативные члены ∈₁, ∈₂ и ∈₃; (первые три гиперформы √+1), из которых выводятся все остальные гиперформы √ + 1, появляющиеся в квантовой физике. Числа a и b некоммутативны, если произведение a × b отличается от произведения b × a; и a, b, с ассоциативны, если (ab)c = a(bc). Также ∈₁ ∈₂ = -i₃, ∈₂ ∈₃ = -i₁, и ∈₃ ∈₄ = -i₂, где i₁, i₂, и i₃ - несколько элементов кватерниона Гамильтона. (Все они имеют матричные формы, приведенные далее в приложении.)

Гиперчисла, превышающие √+1

Называя единицу (±1) оси обычных или вещественных чисел r или “u₁”, т.е. единицей первого рода, мы можем обозначить √-1 как “u₂” или i; и собственно √+1 как "u₃” или ε. Теперь мы в состоянии спросить, насколько далеко мы можем продвинуться таким образом. (В конце этой главы, в приложении ‘Фауна и флора чисел’, будет приведена таблица гиперчисел, их орбит и поведения.)

Ясно, что то, что мы делаем, - это расширение самой основы математики, поскольку каждый новый вид чисел приносит с собой новый вид арифметики, а следовательно, алгебры и теории функций. Кроме того, ни проективная геометрия, ни топология не являются независимыми от концепции чисел, хотя это и не всегда осознавалось.

Уже Кейли, следуя примеру Понселе, смог показать, что проекционная геометрия тесно связана с арифметикой и алгеброй u₂ ≡√-1; а топология требует чисел для определения своей базовой концепции рода [Сфера имеет нулевой род; пончик (тор) - род 1, потому что требуется сокращение единицы, чтобы превратить его в форму нулевого рода или “односвязное пространство”.], а также другое топологическое понятие - размерность. Чтобы указать единицы измерения negadimension (отрицательной размерности), нам требуется √-1, как показал Герман Вейль в начале этого столетия. Мы также обнаружили, что ∈ так же, как и i, входит в концепцию дробного измерения, которое является дробным измерением не более, чем наполовину сформировавшийся ребенок - это ребенок, разрезанный пополам. Мы также обнаружили, что геометрия дробных измерений включает в себя очень интересные волновые и частотные формы и показывает, что все геометрии целочисленных измерений обладают волнообразной микроструктурой.

Гиперчисла и космология

Как уже было ясно из главы 9, фактор сознания фундаментально входит в новейшую физику. Физический мир представляется чем-то вроде айсберга, огромная скрытая часть которого связана с природой сознания.

Поэтому неудивительно, что по мере продвижения вверх по лестнице гиперчисел мы должны обнаруживать, что все больше и больше формулируем математическое выражение операций разума. Некоторые из этих взаимосвязей читатель найдет в главе 8, где мы отметили, что математика отображает природу не только физического космоса, но и неразрывно связанного с ним биопсихического космоса. (Гиперчисла, выходящие за рамки ∈ или u₃, почти полностью относятся к последнему.) Мы используем здесь слово "космология" в этом углубленном и очень современном научном смысле.

Сейчас не время для более подробной информации, и заинтересованный читатель найдет ее в приложении. Пока достаточно сказать, что, по-видимому, четвертая форма числа (u₄) способна отображать природу сосредоточенности и интенсивности внимания; и что u₄ также имеет отношение к природе избирательности, обусловленности и управления вниманием, а следовательно, к процессу внушения и последующему изменению состояний и уровней сознания; что вы можете отображать процессы памяти, включая транссознательную память; что u₆ относится к экологии, обратной связи и стабильности систем, включая их тип энтропии: положительную, нулевую, отрицательную или гипер (например, энтропия i-типа); и что u₉ имеет отношение к постоянной интеграции во времени, которая характерна для самости или индивидуальности. (Актуализация потенциала этой самости для эволюционной и метаморфической трансформации, т. е. для самопревосхождения, обозначается u₇.) Ноль оказывается u₀, или φ, нулевым царством бесконечно малых величин, или потенциальных возможностей; тогда как u₁ является единицей обычных чисел для измерения в чувственном мире. Для каждого вида чисел (включая ноль) существует анти-число на противоположной поверхности тела гиперчисла (рис. 1). Следует отметить, что минус бесконечность (−∞) и анти-бесконечность (ˉ∞) встречаются, как и ∞ и -ˉ∞. Обратите внимание, что u₉u₁ ≡σu₁ = u(t) = t, или время, где u(t) - это единица меры функции, но σu₈ ≡συ =eᵗ, или сверх-время, прочувствованное в космологии Милна; ω или u₇ обеспечивает переход к υ⁴=ω2 .

Во многих отношениях u₇ или ω - самая необычная из всех осевых форм числа, поскольку только она представляет то, что может вывести из экранного мира симулякров суперголограммы (см. главу 8) к источнику (C), откуда этот мир проецируется (рис. 1). Таким образом, u₇ или ω, и u₈, или υ, относятся к математическому представлению процессов прозрения и самопревосхождения.

С алгебраической точки зрения, как показано в приложении в конце этой главы, ω обладает необычайно богатым резервом новых функций и явлений. В физике ω фундаментально объясняет огромные различия, обнаруженные современной квантовой физикой между наблюдаемой и ранее наблюдавшейся частицей. Наблюдение или осознавание меняет цвет вероятностей мира. Мы закончим эти, по необходимости краткие, наблюдения пророческой цитатой из первого тома "Теоретической биологии" Людвига фон Берталанфи [Цитировалось нами ранее в "Международном журнале биомедицинских исследований", том 1 (1970), стр.167 в статье о высших операторах в биологии. Эта глава и приложение вместе с "Журналом по изучению сознания" (том 5, № 2, исследовательская заметка по алгебрам и гиперчислам, 1972, и том 5, № 1, 1972) предваряют статью 1970 года.]:

Когда мы вспоминаем, что совершенно новые математические разработки [т.е. дифференциальное и интегральное исчисление для классической физики и теория групп, матриц и комплексных переменных для квантовой физики] были необходимы для лечения самых элементарных физических систем, разработки, которые бросали вызов математической физике, казалось довольно невероятным, что для лечения самых элементарных физических систем необходимы совершенно новые математические методы, а для изучения наиболее сложных систем в природе — биологических организмов — может быть достаточно простого применения обычной физики и физической химии.

То, что эти замечания применимы к психологическим процессам, очевидно, и мы предсказываем, что совершенно новые математические разработки, необходимые здесь, будут фундаментально включать гиперчисла за пределами √-1 или √+1.

При всем этом давайте не будем забывать мудрое замечание математика Дж.Л. Синджа, который отметил, что "математики из всех ученых представляют своим коллегам на публике самую строгую и непроницаемую маску. За этой маской скрываются прорывы интуиции и множество умственных осечек и замешательства. Как правило [и это крайне прискорбно], но гладкая презентация готовой статьи не показывает ни того, ни другого” и “когда вводится новая идея проникающей общности, недостаточно доверять ее будущее нескольким статьям. Все виды частных и элементарных приложений должны быть проработаны до того, как новая идея будет принята в круг математических знакомств”. (Scripta Mathematica Studies, № 2, стр. 20 и 24.)

Математик К.С. Макдаффи, возвращая нас к первым замечаниям этой главы, еще более четко упоминает (ib., стр. 30) “необоснованную критику, которой обычно подвергаются авторы неортодоксальных открытий”. Такая недальновидная критика, часто просто ошибочная, может остановить прогресс более чем на одно поколение и является всего лишь формой той же неразумной агрессии, которую человек сейчас так отчаянно стремится искоренить из своей политической жизни. Нельзя допустить, чтобы она также осталась и в его культурной жизни, поскольку она извращенно воздействует на самые творческие умы и препятствует оригинальности. Её устранение, даже в какой-то незначительной мере, принесло бы человеческой расе неисчислимые преимущества нового понимания. Сейчас мы переживаем период истории, когда такое понимание вполне может быть единственным путем к выживанию разумной жизни на этой планете.

Гиперчисла прекрасно иллюстрируют то, что можно назвать другим лезвием “бритвы Оккама”: новая концепция, какой бы незнакомой она ни была, не должна исключаться из рассмотрения, когда этого требует разрыв в цепочке следствий, или когда это делает возможным сокращение предыдущих гипотез, или сокращает существующие доказательства.[Принцип экономии, иначе называемый “бритвой Оккама“ в честь очень проницательного средневекового логика Уильяма Оккама, гласит, что когда два предположения могут полностью объяснить что-либо, без ссылок на третье или четвёртое, то, как правило, гипотезы не следует умножать без необходимости: Essentia non sunt multiplicanda praeter necessitatem.]

Иллюстрации

приложение

Дополнение к тому, как появились гиперчисла

В феврале 1968 года мы показали, что явная форма √∈ равна ±¹/₂ (1+∈-i+∈i) [Обратите внимание, что квадратный корень из ∈ требует 4-мерного пространства, тогда как самому ∈ требуется только 1-мерное. То, что квадратный корень из числа может потребовать пространства размера большего, чем требуется самому числу, - это факт, который встречается также в квадратных корнях кватернионов. Так, +√(i+j) = 2⁻¹́́́́́́́́́́́́́́́́́⁄⁴+2⁻ ³⁄⁴ (i+j), который нуждается в трехмерном пространстве представления, тогда как (i+j) сам по себе регулирует только плоскость. Опять же, положительный квадратный корень из 3-мерного числа (i + j + k) равен 4-мерному числу (∜12/2) + (i + j +k)/∜12] и позже показали, что оператор ∈i ́́́́́́́́́́́́≡ i₀ играет важную роль в преобразовании из круговой тригонометрии √-1 в гиперболическую тригонометрии ∈, которое можно назвать правильным квадратным корнем из единицы. Обратите внимание, что i₀ - это форма √-1, которая коммутативна во всей системе, образованной из ∈₀ (́́́́́́́́́́́́́́́≡1), ∈(́́́́́́́́́́́́́́́≡∈₁), ∈₂, ∈₃, и соответствующих кватернионов i(́́́́́́́́́́́́́́́≡i₁), i₂ и i₃. То есть i₀x = xi₀, где x - любой из семи операторов только что указанной системы. Единственным другим коммутативным оператором в системе является 1, которая в этом случае может быть записана как ∈₀, как уже указывалось. Таким образом, только нулевой индекс обозначает коммутативный оператор в системе.

Мы также показали, что существует фундаментальный аналог формулы ДеМойвра для √-1 : e^±nθ∈ = (coś́́́́́́́́́́́ θ b sin ́́́́́́́́́́́́́θ)ⁿ = cos ń́́́́́́́́́́́́́́́́́́́́́́́́́́́θ + sin ń́́́́́́́́́́́́́́θ, таким образом, избегая всех ранее использовавшихся громоздких биномиальных разложений и использования столь же неудобных и трудоемких формул гиперболической тригонометрии.

Дополнение к гиперчислам в физике

Эти некоммутативные гиперчисла, как и соответствующие им кватернионы i₁, i₂ и i₃, имеют различные и уникальные элементарные матрицы следующим образом (все iₙ являются формами √-1; все ∈ₙ формами √+1):

Эти последние три гиперчисла оказываются спиновыми операторами Паули, которые управляют спинами элементарных частиц, таких как электроны и протоны. Матрицы 2X2, содержащие i в качестве элемента, могут быть преобразованы в реальные матрицы 4x4, заменив i его реальной матрицей

К ним следует добавить до сих пор непризнанный оператор и его матрицу, коммутативную форму √-1, i₀=

, которой соответствует другая элементарная матрица Жордана: 1 ≡ ∈₀ =

Оператор i₀ является фундаментальным для теории спиноров и нейтрино, хотя этот факт оставался неявным, поскольку коммутативный оператор i₀ не был явно распознан или идентифицирован. Обратите внимание, что если n > 0, то i₀ iₙ, = iₙ i₀ = -∈ₙ что можно проверить путем умножения матриц. Для тех, кто этого не делал, напомним, что произведение матриц

таким образом, есть матрица

Следовательно, квадрат матрицы

есть матрица

Этот последний результат позволяет нам проверить с помощью матриц , что ∈²ₙ = +1 и i²ₙ = -1 для всех. Элементарная матрица нуля есть

, и является, например, произведением (1 + ∈ₙ) и (1 - ∈ₙ), даже если ни один из множителей не равен нулю. Правила оператора, которые позволяют нам обойтись без умножения матриц и даже делать то, что оно не смогло бы сделать, таковы:

1) Если iᵃiᵇ =iᶜ, (и если a= 1 или 2 или 3, b=2 или 3 или 1 и c =3 или 2 или 1 соответственно), то ∈ᵃ∈ᵇ=-iᶜ, и i₀∈ᵇ,=∈₀iᵇ =∈ᶜ. Также (xy)z = x(yz), где x, y и z — любой из этих операторов, взятых случайным образом по отдельности; и xy = -yx.

2) i₀iₙ = iₙi₀ = -∈ₙ, из этого i₀∈ₙ = ∈ₙi₀ = iₙ и ∈ₙiₙ = iₙ∈ₙ = i₀.

3) ∈²ₙ = +1 и i²ₙ =-1 для всех n.

4) ∈⁺⁻ᶿⁱₙ = cos θ ± iₙ sin θ.

5) ∈⁺⁻ᶿᵉₙ = cosh θ ± ∈ₙ cosh θ, что чрезвычайно упрощает гиперболическую тригонометрию.

6) ∈ᵏₙ = cos² π/₂k + ∈ₙ sin² π/₂k - iₙ/₂ (1 - ∈ₙ) sin πk, что обеспечивает бесконечное множество доселе неизвестных корней этого единства, поскольку k может быть любым числом, включая iₙ и ∈ₙ.

7) Следовательно, √∈ₙ = ±½ (1 + ∈ₙ - iₙ + ∈ₙ iₙ) = ±½ (1+ ∈ₙ - iₙ+i₀), таким образом исправляет утверждение 1968 года о том, что √∈ “не существует” (высказанное русским математиком, тогда не было озвучено другого мнения, поскольку наше открытие было сделано в начале 1968 года и опубликовано в том же году).

8) cosh θ∈ₙ = cosh θ; sinh θ∈ₙ = ∈ₙ sinh θ.

9) cos θ∈ₙ = cos θ; sin θ∈ₙ = ∈ₙ sin θ.

10) где n > 0, logₑ ∈ₙ = -π/₂ iₙ (1 - ∈ₙ) = -π/₂ (iₙ - i₀) = +π/₂ (-iₙ + i₀). В матричной форме:

Обратите внимание, что n должно быть меньше 4 и больше нуля в правиле 2 выше, а также во вторых уравнениях правил 7 и 10. Если n равно или превышает 4, то ни ∈ₙ не является матрицей, ни iₙ.

Таким образом, природа ∈ₙ ≡ u₃ тесно связана с природой iₙ ≡ u₂, предыдущего гиперчисла, является производной от нее, подобно прямоугольной гиперболе (x² - y² =a²) выводится из окружности (x² + y² = a²) через трансформацию y → yiₙ. Экспонента θiₙ, является окружностью, тогда как экспонента θ∈ₙ является прямоугольной гиперболой.

Проекционными операторами являются, в частности, ½(1±∈ₙ), то есть нулевые степени делителей нуля и, следовательно, сами делители нуля. Спиноры Дирака подразумевают также полностью коммутативный √-1, обычно задаваемый громоздкой матрицей, но который на самом деле является гиперчисловым i₀. Его свойства, отличные от коммутативности, выражаются уравнением i₀iₙ = ∈ₙ где n отлично от нуля. Его простейшей матричной формой является

где

осуществляя в плоскости r, поворот i₁ на 90° против часовой стрелки, правильные квадратные корни из нуля, упомянутые последними в приведенном выше списке, будучи освобождены от их громоздких матричных выражений, оказываются основанными на операторах гиперчисел вида (i₀ ± ∈ᵇ), где a≠b≠0, то есть где iᵃ∈ᵇ =-∈ᵇiᵃ, и, таким образом (iᵃ ± ∈ᵇ)² = 0, поскольку, например (iᵃ ± ∈ᵇ)² = i ²ₐ + (iᵃ∈ᵇ + ∈ᵇiᵃ) + ∈²ₐ = -1+(0) +1 =0.

Дополнение по ω

Можно показать, что действительные степени ω (то есть ωk, где k - любое положительное или отрицательное число) лежащие на эллипсе в плоскости ω с центром в нуле и большой осью вдоль диагонали, проходящей от верхнего левого угла к нижнему правому; с пересечением на оси ω и на реальной оси ±ω и ±1 соответственно. Декартово уравнение этого эллипса равно x² + y² + xy = 1, и, таким образом, абсолютное значение каждой степени ω равно единице. Таким образом, квадратный корень из ω равен ¹⁺ʷ/√₃, , абсолютное значение которого равно (⅟√₃)² + (⅟√₃)² + (⅟√₃)² = 1. В общем, абсолютное значение Rωᵏ (=a + bω) равно +√(a² +b² +ab). Натуральный логарифм ω очень приблизительно равен -0,6 +1,18 ω. Из замечательных характерных свойств:

ω² =-1+ω; ω³ =-1; ω⁴ =-(ω); ω⁵=1- (ω); ω⁰ = ω⁶ =1

и

(-ω)² =-1 + (-ω); (-ω)³ =-1; (-ω)⁴ = - (-ω) = ω ; (-ω)⁵ = 1-(-ω); (-ω)⁰ = (-ω)⁶ =1

следует заметить, что если для обычных чисел (и даже для некоторых типов чисел более высокого порядка) (-x)² = x², для ω это не так. Таким образом, (-ω)² = -1 - ω и (ω)² = -1 + ω. Следовательно, +(-ω) и -(+ω) в общем случае не являются одинаковыми в контексте умножения; равно как и -(-ω) и +ω. С обычными числами -(-x) всегда равно x, а +(-x) и -(x) оба равны (-x). Степени (-ω) лежат на эллипсе под прямым углом к эллипсу (+ω), упомянутому выше. Декартово уравнение эллипса (-ω) равно x² + y² - xy = 1; значение ω(-ω) всегда можно определить из контекста.

Фауна и флора чисел

Все мы знакомы с распространенными видами чисел: дробями, целыми числами, так называемыми иррациональными числами, такими как √2- или ∜17, и отрицательными и положительными значениями всего этого. Большинство из нас также знает, поскольку (+4) × (+4) и (-4) × (-4) оба равны (+16), следовательно, квадратный корень из (+16) равен либо (+4), либо (-4), и, следовательно, квадратный корень из (-16) не может быть ни (+4), ни (-4). Если мы знаем это, мы также знаем, что квадратный корень из (-16) может быть либо (+16i), либо (-16i), где i, квадратный корень из (-1), таким образом, является новым видом числа.

На самом деле √-1 или i - это первая единица гиперчисел, и, как мы только что видели, она подчиняется арифметике, отличающейся от обычных чисел тем, что ее квадрат всегда отрицательный, а не положительный.

Как уже понял читатель этой книги, существуют и другие виды гиперчисел, и все они обладают своей собственной отличительной арифметикой. Называя 1 (обычный юнит, или единица измерения) u₁, или r, и называя i (второй вид юнита) u₂, мы можем перейти к краткому описанию символов и отличительных свойств некоторых гиперчисел, и они сведены в таблицу по порядку. Силовое поле юнита или орбита обозначает геометрическую форму траектории, сформированной в подходящей плоскости (обычно плоскости, образованной заданной осью гиперчисла и осью обычных чисел) степенями конкретного гиперчислового юнита: степень uᵏ означает значение, полученное в результате умножения u на само себя k раз, где k - обычное число. Даже если k - любое обычное число, будь то дробное, отрицательное или иррациональное, uᵏ всегда имеет определенные значения,

Поскольку k увеличивается (или уменьшается) от начального значения, равного нулю, оно всегда генерирует выпуклую кривую, которая замыкается сама на себя, когда k достигает определенного целочисленного значения. Для i это значение равно 4, поскольку и i⁰, и i⁴ равны (+1). Это циклическое целое число — период цикла — приведено в прилагающейся таблице для каждого вида перечисленных чисел. Более того, установлено, что форма силового поля i представляет собой окружность в ir-плоскости, то есть плоскости, образованной взаимно перпендикулярной осью i и осью обычных чисел.

Большой интерес представляет тот факт, что силовое поле u₇ или ω представляет собой эллипс, а не круг. Простое изменение k непрерывно отправляет число ωᵏ по эллиптической орбите вокруг нуля в ωr-плоскости, совершая его первое возвращение в исходную точку, поскольку его k изменяется от нуля до 6. Целое число 6, таким образом, является периодом степени для ω. Значение (-ω)ᵏ аналогично передается по эллиптической орбите той же формы и периода, проходимой в противоположном направлении и аксиально перпендикулярной эллиптической орбите, генерируемой ωᵏ. Простых законов возведения в квадрат, ω² = -1+ω и (-ω)² =-1 - ω, достаточно для определения только что описанных замечательных эллиптических движений. Читая таблицу, читатель должен иметь в виду, что там приведены не все виды гиперчисел и что некоторые из приведённых, не были полностью раскрыты в тексте, в их уникальной арифметике.

Мы исследовали более высокие типы гиперчисел (через u⁹ или υ), а также исключительное гиперчисло u⁰ или Φ (которое не является ни осевым, ни порядковым, [Порядковые числа всегда следует рассматривать как расположенные на некоторой линии или оси и, следовательно, в некоторой последовательности, что приводит к появлению терминов “первый”, “второй”, “третий” и так далее, кардинальные числа, с другой стороны, не имеют этой необходимой линейной привязки и указывают только на величины как таковые, такие как “один”, “два”, “три” и др., независимо от любой последовательности их единицы измерения в пространстве или времени.] и включает в себя весь набор кардинальных чисел). У нас есть основания полагать, что не существует других базовых юнитов, кроме описанных здесь десяти видов элементарных чисел от u⁰ до u⁹. Длина, “норма" или расширение всех элементарных гиперчисел равна одной единице.

Замечания по таблице

Единица измерения (юнит) обычных чисел: u₁; все u с индексом больше 1 являются гиперчисловыми единицами. (Этот набор кардинальных, неаксиальных или абсолютных чисел обозначается φ или u₀.)

Декартовы соответствия в приведенных выше орбитальных уравнениях различным представленным формам чисел могут быть кратко сведены в таблицу следующим образом.

Орбитальное уравнение числа u не следует путать с геометрической формой его экспоненты, eᶿᵘ, хотя в случае u₂ или i степенная орбита и экспонента (eᶿⁱ) совпадают. В других случаях они этого не делают, как в случае с ∈ или u₃, чья единичная экспонента (eᶿᵋ = cosh θ + ∈ sinh θ) в декартовой форме задается через x² - y² = 1 (см. предыдущее обсуждение в этой главе), тогда как ее орбита в декартовой форме равна ±2(z ²₁ + z ²₂) = 1, соответствием для x и y в обоих уравнениях является соответственно ось r и осью ∈. Силовое поле ∈, как и ω, имеет отдельную орбиту для отрицательных значений, а вся силовая орбита ∈ состоит из двух пар параллельных окружностей в четырехмерном пространстве (генерируемых r, ∈, i и ∈i), каждая пара которых пересекает и перпендикулярна другой.

i-окружность и ω-эллипсы

Существует важная взаимосвязь между двумя гиперчислами i и ω, степенные орбиты которых представляют собой окружность и эллипс соответственно, с декартовыми уравнениями x² + y² = 1 и x² + xy + y² =1. Разница между i и ω дополнительно подчеркивается тем фактом, что -i имеет ту же степенную орбиту, что и +i, тогда как орбита -ω задается через x² - xy + y ² = 1, эллипс, большая и малая оси которого соответственно перпендикулярны осям эллипса для +ω, который был упомянут незадолго до этого. Более того, два различных гиперчисла ω и i также перпендикулярны как друг другу, так и оси обычных чисел. Степенная орбита гиперчисла k(±i) задается окружностью x² + y² =k; а орбита k(+ω) - эллипсами x² ±xy+y² = k². Эксцентриситет пары ω-эллипсов равен √2/√3, что составляет чуть менее 0,8164, при проективном или эксцентричном угле дуги tan √2 или чуть более 54°44’. Это единственные эллипсы, которые могут генерировать гиперчисловые орбиты.[Точно так же, как единственными гиперболами, которые могут служить экспоненциальным путем гипернормативного числа, являются гиперболы с эксцентриситетом √2, т.е. прямоугольные гиперболы.]

Комплексное число ½(1+ i√3) или eⁿⁱ⁄₃ является основой замечательного набора чисел, названных числами Эйзенштейна в честь математика, который первым заметил, что их свойства заслуживают внимания. Они являются основой для гексагональных и соответствующих треугольных “разбиений" или мозаик комплексной или ir-плоскости, а также играют фундаментальную роль в структуре эллиптической модулярной функции, столь важной для теории чисел.

Основой этих чисел Эйзенштейна является гиперчисло i²⁄³ или ½(1 + i√3), которое можно рассматривать как “тень” ω на комплексной плоскости; и гиперчисло i ⁻²⁄³ или ½(1 - i√3), как аналогичную тень -ω. Эти тени или специальные проекции никоим образом не эквивалентны их ω-объектам. Но они равны им до точки, которую мы сейчас определим. Используя символ =˙ для обозначения квазиравенства в смысле “равенства до точки”, мы имеем тогда +ω =˙ i²⁄³ и -ω =˙ i ⁻²⁄³

Таким образом, -(+ω) не равно -ω вообще, равно как и -(-ω) не равно +ω вообще. Этот факт ω-алгебры мы уже продемонстрировали по-своему, потому как мы видели, что (-ω)² = -1 - ω, но -(+ω)² =1 - ω, что является другим значением, в то же время, однако, мы имеем

где двойные вертикальные полосы обозначают “норму” или длину. И также мы имеем

где требуется знак полного равенства. Практическое использование этого квазипредставления ω в терминах чисел Эйзенштейна заключается в том, что более знакомая алгебра последних может быть использована для получения формул для дробных и иррациональных степеней (±ω), которые будут приведены в настоящее время.

Однако всегда следует четко помнить, что +ω перпендикулярны как i, так и 1, а числа Эйзенштейна, такие как ½(1 + i√3), таковыми не являются. Кроме того, плоскость, содержащая степени последнего, пересекает под прямым углом плоскость, содержащую степени +ω, как было объяснено в начале. Использовать числа Эйзенштейна без ω-алгебры там, где она требуется, все равно что оставаться в круговых эпициклах Птолемея вместо перехода к кеплеровским эллипсам в астрономии и игнорировать тот факт, что природа использует последние, а не первые.

И, наконец, новые формулы, которые делают ω-алгебру работоспособной, таковы (в данном случае нет места для производных): kωᶿ =a +bω, где, учитывая a и b, мы можем найти k и θ следующим образом:

Или, учитывая k и θ, мы имеем:

отсюда следует, что для всех действительных степеней ω рациональные или иррациональные точки, заданные действительными координатами (a,b), все попадают на эллипс a ² +ab +b² =k²; и для всех таких степеней от -ω до эллипса a² - ab +b² =k².

И, наконец, натуральные логарифмы +ω задаются формулой

показывая, на примере θ = 2, что (-ω)² не совпадает с (+ω)², и, следовательно, "что (-1)(ω) в целом не совпадает с (-ω). С помощью ω-алгебры мы можем, используя приведенные выше формулы, отправить точку по эллиптической орбите без необходимости использования эллиптических функций, но используя только простые круговые функции синуса и косинуса.

Относительно других применений гиперчисел смотрите статью настоящего автора; “Кибернетика сегодня и завтра” в Kybernetes, том 2 (1973) Gordon & Breach, Лондон.

Гиперчисла и Магический Квадрат

Этот краткий комментарий к Магическому Квадрату и его применению к гиперчислам взят из двух глав книги Мусайоса "Сознание и реальность": "Сознание и наука" (глава 8) и "Работа с идеей гиперчисла" (глава 26). То, что Мусайос считал, что гиперчисла сыграют решающую роль в эволюции человечества, видно из его замечаний в конце главы 8:

"Созерцание и использование сверхчисловых форм и свойств докажет и уже доказало как на собственном опыте, так и в обучении, что является наиболее эффективным и незаменимым методом эволюции в сознательный доступ к силам и возможностям нашего сверхсознательного "Я". И в этом заключается будущее человека".

Итак, Мусайос обнаружил, что существует семь видов гиперчисел, которые существуют за пределами квадратного корня из минус единицы (также называемого u2), которые он назвал u3,, u4,, u5, u6, u7, u8 и u9. Эти восемь видов чисел фактически соответствуют восьми степеням внешнего кольца Магического Квадрата и, таким образом, также соответствуют семи плеромическим мирам центральной Q-вселенной и 7-мерной вселенной, лежащей за ее пределами.

Соответствия следующие:

• U2 соответствует квадрату Меркурия
• U3 соответствует квадрату Луны
• U4 соответствует квадрату Венеры
• U5 соответствует квадрату Солнца
• U6 соответствует квадрату Юпитера
• U7 соответствует квадрату Сатурна
• U8 соответствует квадрату Марса
• U9 соответствует квадрату Урана

Кроме того, из описания этих типов чисел ясно, что внешние кольцевые степени Магического Квадрата работают в четырех взаимодополняющих парах, первой парой которых являются u2 и u6 или квадратные степени Меркурия и Юпитера. Сила Меркурия, с астрологической точки зрения, по преимуществу заключается в общении и способности различать взаимосвязи между фактами логическим и рациональным способом. Сила квадрата Меркурия, проявляющаяся в этом мире как сила u2, расширяет этот интеллект до превосходной степени, как описывает Мусайос в подзаголовке своей главы о сознании и науке "Гиперчисла как преобразующие силы и операторы".:

"На протяжении долгих веков люди верили, что существует только один вид чисел: те, которыми различают размеры или величины, будь то совокупности, длины или углы (ориентации), как на циферблате часов (или компаса). Хотя с ним сталкивались в средневековой Индии и Европе эпохи Возрождения, квадратный корень из минус единицы (гиперчисло) не осознавался как вполне существующий и полезный альтернативный вид чисел вплоть до семнадцатого и восемнадцатого веков. В девятнадцатом веке обширное расширение теории функций или числовых соотношений стало возможным благодаря квадратному корню из минус единицы и называется теорией функций комплексной переменной. Без этого теория электромагнитных волн и квантовая теория не могли бы быть созданы."

"Таким образом, сравнительно простое использование одного нового вида чисел более чем удвоило всю математическую мощь всех предыдущих столетий и стало тесно связано с новыми физическими открытиями в электронике, атомной теории и химии двадцатого века. Можно только представить, к чему приведет присоединение дальнейших новых видов чисел, поскольку эти виды чисел составляют ядро самой математики, создавая совершенно новые алгебры и функциональные пространства".

Таким образом, сила квадратного корня из минус единицы как непостоянной (связующей) силы ясно проявляется в том, что она значительно расширяет виды отношений между числами, а также расширяет связи между науками математическими с науками физическими и химическими. Его дополнительная мощность в квадрате Юпитера, или u6, описана Мусайосом в главе 26 как относящаяся к экологии, обратной связи и стабильности систем, а также типам энтропии, или потери энергии, с которыми сталкиваются такие системы. Поскольку использование гиперчисла u2 в математике породило мощные междисциплинарные связи с другими науками, влияние человеческих знаний на мир природы (например, производство атомной энергии, электроника и химическое оружие) значительно усилилось. Применение этих знаний неизбежно активизировало работу противоположной силы, u6, в ответ, создавая, таким образом, беспрецедентные обратные связи во всех видах систем, включая экологические, и дестабилизируя мир природы. В этом контексте интересно отметить, что осведомленность науки и общественности о глобальных климатических изменениях чрезвычайно возросла с ноября 2002 года, когда сверхчеловеческие силы начали непосредственно воздействовать на мир посредством циклов Магического Квадрата. Положительной стороной такого развития событий, конечно, является то, что боги допускают нанесение непоправимого ущерба биосфере, чтобы можно было быстрее осуществить эволюционную "катапульту" всех форм жизни на планете.

Вторая пара гиперчисел соответствует квадратичной степени Луны, или u3, и квадратичной степени Сатурна, или u7. В разделе, озаглавленном "Гиперчисла и космология", не приводится описания уникальных, изменяющих сознание свойств гиперчисел, соответствующих квадратичной степени Луны, хотя Мусайос утверждает в другом месте главы 26, что u3, а также u2 "входят в концепцию дробного измерения, которое является разорванным измерением не больше, чем наполовину сформировавшийся ребенок - это ребенок, разрезанный пополам. Мы также обнаружили, что геометрия дробных мер включает в себя очень интересные волновые и частотные формы и показывает, что все геометрии целочисленных размеров обладают волнообразной микроструктурой". Однако гиперчисло, соответствующее квадрату Сатурна, описывается как "актуализация потенциальной самости для эволюционной и метаморфической трансформации", что приводит к выводу, что гиперчисло Квадрата Луны, как неотъемлемый партнер силы Сатурна, должно представлять и неотъемлемый потенциал самости для эволюционной и метаморфической трансформации. Другими словами, гиперчисло квадрата Луны относится к бесконечному, пластичному и неоформленному потенциалу внутри каждого из нас, который позволил бы нам превратиться в существ более высокой эволюционной ступени, если бы мы неуклонно стремились к этой цели. Таким образом, задача гиперчисла в квадрате Сатурна состоит в том, чтобы закрепить и сделать постоянными изменения сознания, к которым мы стремимся, превратив наши идеалы в стабильные и надежные привычки, способствующие самоусовершенствованию. Это, в конечном счете зависит от того, насколько успешно, или иным образом, мы справляемся со своей кармой и обстоятельствами. Сатурн - неумолимый измеритель - тот, кого невозможно обмануть, кто точно измеряет степень фактического духовного и внутреннего роста, который произошел, и тем самым утверждающий новый паттерн судьбы.

Третья пара гиперчисел соответствует квадратичной степени Венеры (u4) и квадратичной степени Марса (u8). Мусайос описывает гиперчисло квадрата Венеры как "способное отображать природу сосредоточенности и интенсивности внимания, имеющее отношение к природе избирательности, обусловленности и управления вниманием, а следовательно, к силе внушения и последующему изменению состояний и уровней внушения". Другими словами, гиперчисло в квадрате Венеры обладает способностью усиливать гипноз таким образом, что на очень глубокие уровни сознания субъекта воздействуют мягким и целительным образом. Его дополнительная сила, квадрат Марса, описывается как "единственное гиперчисло, которое может представлять изменение времени, влияя на количество доступной энергии и, следовательно, на продолжительность, необходимую для достижения заданного результата". Это означает, что гиперчисло квадрата Марса генерирует силу, способную ускорить события и, таким образом, изменить судьбы или потенциальные исходы. Мы можем увидеть, как эти две силы связаны и работают вместе, представив себе случай человека, который под гипнозом высвобождает глубокий страх или травму и, таким образом, получает возможность реагировать на надвигающийся кризис более позитивно, чем это было бы возможно в противном случае. В качестве альтернативы, этот человек, возможно, таким образом сможет раскрыть доселе скрытые таланты и начать новую карьеру, которая в противном случае была бы ему недоступна. В любом случае, весь образ жизни этого человека и её результаты могут измениться.

Последняя пара гиперчисел (u5 и u9) соответствует квадрату Солнца и квадрату Урана. Мусайос описывает гиперчисло в квадрате Солнца как такое, которое "может отображать процессы памяти, включая транссознательную память". Таким образом, это дает доступ к областям памяти, которыми человек обладает, но которых он обычно не осознает в состоянии обычного сознания. Гиперчисло в квадрате Урана описывается как "постоянная интеграция во времени, которая характерна для самости или индивидуальности". Мы знаем, что семь других сил внешнего кольца Магического квадрата интегрируются и объединяются во время сеанса в Квадрате Урана. Они интегрируются с течением времени, что означает привыкание к опыту семи сил, работающих вместе, вместо того, чтобы бороться друг с другом, как они обычно делают.

Квадрат Солнца - это сила, дополняющая квадрат Урана, потому что это область транссознательного разума, содержащая все, чему мы когда-либо учились, не только в этой жизни, но и навыки предыдущих воплощений. Энергия квадрата Солнца открывает путь к восстановлению этих воспоминаний и навыков, но только во время сеанса энергии квадрата Урана эти знания постоянно активируются и восстанавливаются как часть самости и идентичности. В древнегреческих учениях об этом магическом квадрате квадрат Урана назывался "алетея", что означало, что он противостоит силе забвения. "Лета", ее противоположность, была рекой забвения, которую душа пересекает после смерти при своем вхождении в бардо. Мы также можем спросить, какие числа, если таковые имеются, могут быть связаны с центральной силой Магического квадрата, которая соответствует бесконечному Источнику Всей Жизни, лежащему выше и за пределами любого конкретного проявления. На самом деле таких чисел два, точно так же, как в центральном квадрате заключены две космические силы: Нептуна и Вулкана. Как утверждает Мусайос в главе 26, "Ноль оказывается равным u0, а u1 - это единица измерения обычных чисел в чувственном мире".

Теперь мощь Нептуна на его предельном космическом уровне явно соответствует царству бесконечно малых величин - или бесконечных потенциальных возможностей, которые, по природе Источника всей Жизни, неисчерпаемы. Но почему Вулкан, сила самой магии, сопоставляется с силой, по-видимому, обычного числа? Потому, что система счисления больше, чем что-либо другое в проявленном мире, обладает качеством "различимости", как выражается Мусайос. И Вулкан - это космическая сила различимости по преимуществу, поскольку он может обнаруживать и принимать во внимание даже малейшие различия между вещами, в то время как Нептун объединяет все в абсолютное единство - в том смысле, что все проявленные вещи происходят из Источника Жизни и черпают из него свою жизненную силу или подпитку.

Более того, показано, что две центральные силы Магического квадрата, Нептун, или u0, и Вулкан, или u1, лежат в основе вопроса, который Мусайос ставит перед собой в главе 8 "Сознание и реальность", а именно: "Можно ли рассказать глубочайшие истины?" Он объясняет это следующим образом:

"Таким образом, мы уверены в двух вещах: невозможности сообщить все, что содержит реальность, в любой момент, но возможности сообщить это в какой-то момент в будущем, когда реальность снова превзойдет способность к коммуникации. Таким образом, цель полностью эксплицитной науки бессмысленна, потому что она просто упускает суть космоса. Цель науки должна состоять в том, чтобы понять основные принципы того, как возник наш воспринимаемый в настоящее время космос, как он поддерживается, как он может быть преобразован и как мы можем преобразовать себя из него - и каким тогда был бы мир. Нет абсолютной невыразимости, и точно так же нет абсолютной коммуникации в любой данный момент".

В подзаголовке "Место числа" (глава 8) Мусайос далее объясняет непревзойденную способность числа расширять коммуникацию:

"Число относится к различимости, а его операции - к свойствам взаимодействия различимых вещей. Следовательно, число может кодировать разум и чувственно наблюдаемую природу одновременно".

А присутствие космической силы Вулкана, или u1, в центре Магического Квадрата, и, следовательно, всегда частично непроявленной, и ее тайны также неисчерпаемы, объясняется комментариями Мусайоса о природе самого числа:

"Кроме того, вещи, о которых еще нельзя говорить сами по себе, все еще могут быть закодированы, и код может быть обнаружен, использован и обсужден теми, кто еще не осознает его эмпирическую привязку и значение. Число может кодировать всю реальность, независимо от того, воспринимается она или нет, таким неаргументированным образом, чтобы выявить объективное понимание природы этой реальности даже до непосредственного сознательного опыта с ней. Таким образом, вещи, которых мы не знаем и даже пока не можем знать, все еще могут быть закодированы числом. Знание этого, однако, позволяет нам более осознанно воспринимать свойства числа как кода реальности и приходить к восприятию его гораздо быстрее, чем без помощи этого уникального кода. Знание того, что у нас есть код чего-то еще неизвестного, делает неизвестное гораздо более доступным для нашего понимания. Таким образом, число является самым мощным противоядием от невыразимости, которое может использовать человек".

Но из понимания глубочайшей природы числа можно почерпнуть еще больше. Ибо сам феномен числа исходит из источника космического разума, гораздо более возвышенного и благотворного, чем все, что до сих пор было достигнуто человечеством.

"Ничто не кодирует само себя. Только разум кодирует или декодирует. Следовательно, некий разум установил предсказательное соглашение (между реальностью и цифровым кодом), которое мы называем наукой. Кодирование еще не познанной реальности в терминах пережитых форм, из которых числа являются наиболее совершенными, никогда не отсутствует в реальности. (Если бы это было так, единство было бы нарушено, код не применялся бы, опыт стал бы произвольно противоречивым, а реальность самоуничтожилась бы.)"

Внушает благоговейный трепет осознание того, что существа, стоящие у истоков космического разума, те, кого мы называем богами, управляющими Тропой Льва, теперь высвободили на нашей планете огромные ноэтические силы гиперчисел, которые скрыты внутри Магического квадрата. Следовательно, слова Мусайоса, сказанные в 1970-х годах, о том, что созерцание и использование сверхчисловых форм и свойств окажется наиболее эффективным и незаменимым методом развития сознательного доступа к силам и возможностям нашего сверхсознательного "Я", были глубоко пророческими. Сейчас, в течение двух циклов Магического квадрата Пути Льва, мы переживаем действие сверхчисловых сил в беспрецедентных доселе масштабах, активизирующих всю сферу нашей биосферы и глубоко изменяющих судьбы всех живых существ на земле.

Перевод: Инвазия , 20. 03. 2024, Весеннее Равноденствие, канун соединения Венеры и Сатурна.