Решение

Шкаф открыт, если его состояние меняли нечётное число раз. Заметим, что шкаф с номером n меняет состояение столько раз, сколько делителей у числа n. Таким образом, шкаф открыт, если его номер имеет нечётное количество делителей.

Посчитаем количество делитей n в терминах его разложения на простые множители.

Пусть n = p₁ⁱ¹ p₂ⁱ² … pₙⁱⁿ, где pₖ – простые числа, iₖ ≥ 0, k = 1..n

Из формулы выше следует, что количество делителей d(n) числа n равно:

d(n) = (i₁ + 1)…(iₙ + 1)

Очевидно, что d(n) нечётно тогда и только тогда, когда iₖ чётно для каждого k. Другими словами, d(n) нечётно тогда и только тогда, когда n – полный квадрат.

Применительно к задаче, 1 ≤ n ≤ 100, поэтому имеется 10 номеров, являющихся полными квадратами: 1, 4, …, 81, 100.

В итоге останется 10 открытых шкафов после сотого обхода.

Условие
Telegram

В длинном коридоре есть сто шкафов, подписанных номерами, изначально все шкафы закрыты. Вы проходите мимо шкафов, меняя их состояние: закрытые —открываете, а открытые — закрываете. В первый обход вы открываете все шкафы, во второй — меняете состояние каждого второго, в третий — чей номер кратен трём, и так далее. Сколько шкафов останутся открытыми после сотого обхода?

Сложность: 3/10

Решение
Telegram

Условие
Решение
Telegram

Известно, что каждая диагональ выпуклого пятиугольника отсекает от него треугольник единичной площади. Какова площадь самого пятиугольника

Сложность: 4/10

Решение
Дивертисмент
Telegram

Решение

Проведём в пятиугольнике ABCDE все диагонали из точек C и D.

По условию S(△ABC) = S(△ABE), поэтому EC||AB. Обозначим
h = расстояние от D до AB
h’ = расстояние от EC до AB
a = длина EC
b = длина AB

Обозначим S – площадь пятиугольника. Две диагонали, проведённые из одной точки делят его на три треугольника. Заметим, что все треугольники со сторонами из двух диагоналей (примеры закрашены на чертеже) имеют одинаковую площадь. Обозначим её Ф.

Ф = S(△ABD) = bh/2
Ф = S(△ACE) = ah’/2
1 = S(△ECD) = a(h-h’)/2
1 = S(△ECD) = bh’/2

Поделив первое равенство на четвёртое, получим
Ф=h/h’

Поделив второе на третье, получим
Ф=h’/(h-h’)

Отсюда
Ф = 1/(Ф-1)
Ф²-Ф-1 = 0

С учётом того, что Ф>0, получаем Ф = (1+√5)/2. Число Ф также называют золотым сечением.

S = Ф+2 = (5+√5)/2

Условие
Дивертисмент
Telegram

Решение

После двух часов ходьбы возможны следующие варианты:

• Шахтёр достигает выхода
• Шахтёр попал в туннель, не ведущий к выходу. Таким образом, если он продолжит двигаться в первоначальном направлении, то с равной вероятностью ему останется идти 1 или 5 часов. То есть, в среднем 3 часа. Но шахтёр может повернуть обратно и по условию достигнуть залы за 2 часа, что в среднем быстрее.

С учётом сказанного, получаем варианты:

• Шахтёр выходит из пещеры за 2 часа с вероятностью 1/3
• Шахтёр возвращается в начальную комнату через 4 часа с вероятностью 2/3

Пусть X₀ – общее время на выход из пещеры, I₀ – индикатор случайного события «в первую попытку был выбран туннель с выходом», X₁ – время необходимое на выход из пещеры после первой попытки. Отметим, что I₀ и X₁ по условию независимы.

Составим уравнение:

X₀ = 2I₀ + (4 + X₁) (1 - I₀)

Так как по условию при попадании в начальную комнату пропадает зависимость от прошлого, то распределения X₀ и X₁ совпадают. Поэтому математические ожидания E[X₀] = E[X₁] = x. Возьмём математическое ожидание от обеих частей уравнения:

E[X₀] = 2 E[I₀] + (4 + E[X₁]) (1 − E[I₀])

x = 2/3 + (4 + x) 2/3

3x = 2 + 8 + 2x

x = 10

Математическое ожидание времени, необходимого для выхода из пещеры при оптимальной стратегии, составляет 10 часов.

Условие
Telegram

Шахтёр оказался в абсолютно тёмной зале глубокой пещеры. У него есть только наручные часы, по которым он может засекать время. Из залы ведут три туннеля:

– 1-й путь выводит на поверхность за 2 часа
– 2-й путь — это длинная петля, которая возвращает его в ту же самую залу через 3 часа
– 3-й путь — та же самая петля, но если пойти по ней в обратном направлении, путь до залы займёт 7 часов (мистика!)

Шахтёр знает время прохождения каждого маршрута, но в темноте не может их различить. При этом шахтёр может в любой момент принять решение развернуться и пойти назад в залу (время на обратный путь будет таким же, сколько он уже успел пройти). Каждый раз когда он возвращается в исходную точку, Хозяйка Медной горы незримо раскручивает его, так что он полностью теряет ориентацию и снова выбирает путь наугад. Каково математическое ожидание времени, которое потребуется шахтёру, чтобы выбраться на свободу, если он будет придерживаться самой эффективной стратегии?

Сложность: 3/10

Решение
Telegram

Для каких n>3 целых чисел можно нарисовать на плоскости n окружностей, каждая из которых касается ровно трёх других?

Сложность: 3/10

Решение
Telegram

Решение

Приведём пример для n=4. Самое простое – это четыре окружности касающиеся в одной точке. Оставляем читателю придумать нехитрый пример только с парными касаниями.

Ниже пример для n=6. Отметим, что условие задачи не запрещает пересечение окружностей вне точек касания.

Комбинируя вышеуказанные примеры можно нарисовать любое чётное число окружностей (более трёх).

Покажем, что задача не имеет решения для нечётных n.

Посчитаем количество касаний окружностей в каждой точке касания (относительно каждой окружности) и просуммируем по всем таким точкам. Например, если в данной точке касаются три окружности, то каждая касается двух других. Мы получаем 3 * 2 = 6 касаний. В общем случае, если в данной точке касаются k окружностей, то каждая касается (k-1) других, итого k * (k-1) касаний. Получается, что каждая точка касания вносит чётный вклад в сумму, следовательно, и сумма будет чётной. С другой стороны, по условию эта сумма равна 3n. Поэтому n обязано быть чётным.

Условие
Telegram

Для каких n>3 целых чисел можно нарисовать на плоскости n окружностей, каждая из которых касается ровно трёх других?

Сложность: 3/10

Решение
Telegram