Решение. Муха в тетраэдре (#148)
Идея та же, что и в задаче Вписанный четырёхугольник (#2).
1. Решим сначала задачу в предположении, что муха летает внутри правильного треугольника OAB. Пусть муха начинает из точки M стороны AB и облетает другие стороны в порядке OB, OA, возвращаясь обратно на сторону AB. Отразим последовательно:
- треугольник OAB относительно стороны OB, получив треугольник OA'B
- треугольник OA'B относительно стороны OA', получив треугольник OA'B'
Траектория мухи развернётся в некоторую ломаную с концами M на AB и M’ на A’B’. При этом точки M и M’ динамически связаны композицией отражений.
Отрезок MM' не превосходит длины ломаной, поэтому найдём минимум длины отрезка MM', когда M пробегает отрезок AB. Будем искать с помощью элементов линейной алгебры.
Соглашение: далее векторы обозначаются скобками вокруг соответствующего отрезка
(OM) = x∙(OA) + y∙(OB), где x≥0, y≥0 и x+y=1
(OA') = -(OA) + (OB)
(OB') = -(OA)
(OM') = x∙(OA') + y∙(OB') = (-x-y)∙(OA) + x∙(OB)
(MM') = (OM') - (OM) = (-2x-y)∙(OA) + (x-y)∙(OB)
Учитывая, что система координат O; (OA), (OB) косоугольная и матрица скалярного произведения равна
1 1/2 1/2 1
находим, что |MM'|^2 = 3(x^2+xy+y^2). Минимум этого выражения при условии x≥0, y≥0 и x+y=1 достигается в точке x=y=1/2, поэтому минимум длины отрезка MM' равен 3/2.
2. Теперь муха в тетраэдре OABC. Предположим, что муха стартует из точки M грани ABC и облетает грани тетраэдра в порядке OBC, OCA, OAB, возвращаясь в исходную точку. Отразим последовательно:
- тетраэдр OABC относительно грани OBC, получив тетраэдр OA'BC
- тетраэдр OA'BC относительно грани OCA', получив тетраэдр OA'B'C
- тетраэдр OA'B'C относительно грани OA'B', получив тетраэдр OA'B'C'
Траектория мухи развернётся в некоторую ломаную, длина которой не меньше длины отрезка MM'. Минимизируем длину отрезка MM' при условии, что точка M принадлежит грани ABC.
(OM) = x∙(OA) + y∙(OB) + z∙(OC), где x≥0, y≥0,z≥0 и x+y+z=1
(OM' ) = x∙(OA') + y∙(OB') + z∙(OC'), в силу отражения точки М
(OA') = (-1)∙(OA) + 2/3∙(OB) + 2/3∙(OC)
(OB') = -2/3∙(OA) - 5/9∙(OB) + 10/9∙(OC)
(OC') = -10/9∙(OA) + 2/27∙(OB) + 5/27∙(OC)
(MM') = (OM') - (OM) = (-2x-2/3 y-10/9 z)∙(OA) + (2/3 x-14/9 y+2/27 z)∙(OB) + (2/3 x+10/9 y-22/27 z)∙(OC)
Учитывая, что система координат O; (OA), (OB), (OC) косоугольная и матрица скалярного произведения равна
1 1/2 1/2 1/2 1 1/2 1/2 1/2 1
находим, что |(MM')|^2 = 8/27 (9x^2+9y^2+9z^2+6xy+10xz+6yz). Минимум этого выражения при условии x≥0, y≥0,z≥0 и x+y+z=1 достигается в точке x=z=3/10, y=4/10, поэтому минимум длины отрезка MM' равен равен √(8/5).