Решение. Муха в тетраэдре (#148)
Идея та же, что и в задаче Вписанный четырёхугольник (#2).
1. Решим сначала задачу в предположении, что муха летает внутри правильного треугольника OAB. Пусть муха начинает из точки M стороны AB и облетает другие стороны в порядке OB, OA, возвращаясь обратно на сторону AB. Отразим последовательно:
– треугольник OAB относительно стороны OB, получив треугольник OA'B
– треугольник OA'B относительно стороны OA', получив треугольник OA'B'
Траектория мухи развернётся в некоторую ломаную:
Отрезок MM' не превосходит длины ломаной, поэтому найдём минимум длины отрезка MM', когда M пробегает отрезок AB. Будем искать с помощью элементов линейной алгебры.
Соглашение: далее в скобках указаны направленные векторы.
(OM) = x∙(OA) + y∙(OB), где x≥0, y≥0 и x+y=1
(OA') = -(OA) + (OB)
(OB') = -(OA)
(OM') = x∙(OA^' ) + y∙(OB') = (-x-y)∙(OA) + x∙(OB)
(MM') = (OM^') - (OM) = (-2x-y)∙(OA) + (x-y)∙(OB)
Учитывая, что система координат O;(OA),(OB) косоугольная и матрица скалярного произведения равна
1 1/2 1/2 1
находим, что |MM'|^2 = 3(x^2+xy+y^2). Минимум этого выражения при условии x≥0, y≥0 и x+y=1 достигается в точке x=y=1/2, поэтому минимум длины отрезка MM' равен 3/2.