Ш. Камманн, «Мусульманские и индийские магические квадраты I»

В мусульманском мире и в Индии люди часто носили кольца и амулеты с магическими схемами, составленными из букв. И в большинстве случаев это были талисманы, включающие в себя святые имена или известные фразы-заклинания. Однако в обеих цивилизациях также обнаруживаются квадраты из чисел, используемые примерно одинаковым образом. И хотя ясно, что они тоже считались священными и эффективными в качестве защитных чар, причины этого почитания никогда полноценно не объяснялись.

Эти магические квадраты, как и в других культурах, были составлены таким образом, что числа каждого столбца, стороны и двух главных диагоналей в сумме давали одно и то же число. Эта способность вычислять общую сумму несколькими различными способами привела современных математиков к рассмотрению магических квадратов как математических диковинок или забавного ребуса, и как таковые они были отнесены к маловажной категории математических развлечений. Однако это относительно недавний взгляд. Магические квадраты когда-то пользовались гораздо более важным статусом, и составляли серьезную проблему для многих блестящих учёных на Ближнем Востоке и в Индии.

В статье для первого тома этого журнала я предпринял попытку ответить на вопрос, почему магические квадраты были важны для людей древности. Я продемонстрировал, что для древних китайцев простой магический квадрат третьего порядка был глубоко значимым символом, имеющим множество возможных интерпретаций на разных уровнях мышления. Я подчеркнул тот факт, что его символические значения редко основывались на нумерологии - то есть произвольном придании особого значения каждому числу. Обычно они опирались на некоторые, казалось бы, таинственные свойства, присущие группировкам чисел, которые объяснялись с точки зрения религиозных или философских верований Древнего Китая. Затем, в следующей статье для китаеведческого журнала, я показал, что группа китайских магических квадратов больших порядков, - сохранившаяся в книге XIII века авторства Ян Хуэя, который признал, что заимствовал у ещё более ранних авторов - также должна иметь глубокое значение для своих авторов. Теперь я хотел бы продолжить отвечать на вопрос о прежнем значении магических квадратов, обсудив их дальнейшее развитие в других частях Азии, после того, как первоначальные китайские эксперименты стали известны другим народам.

Одним из первых результатов этого направления исследований было открытие того, что методы построения различных видов магических квадратов довольно заметно различаются, в зависимости от культуры и региона. Например, в мусульманском мире предпочтение отдавалось определенным методам построения, в то время как индусы обычно использовали не один, а несколько способов, хотя все они были известны обоим народам. Результатом этих подходов стали два совершенно несопоставимых набора магических квадратов с разными внутренними свойствами. Исследуя внутреннюю работу обеих групп квадратов, я обнаружил, что в каждом случае они, казалось, отражали - когда не выражали открыто - некоторые основные идеи из философий или религий соответствующих народов, которые их создали. В целом казалось очевидным, что предпочтение определенных типов магических квадратов в разных культурах должно было возникнуть потому, что они более эффективно символизировали идеи и верования людей, которые их создавали.

Идеи и символы сильно различались, хотя в некоторых академических кругах до сих пор модно говорить об общей философской традиции древности, о «Вечной философии», подразумевая, что одни и те же идеи и символы существовали повсюду в Древнем и Средневековом мире, с лишь небольшими региональными различиями в их выражении. Один и тот же символ мог означать совершенно разные вещи в культуре разных народов или даже в разное время. Это становится очевидным, если проследить развитие и упадок магического квадрата третьего порядка в Китае. Поэтому бесполезно пытаться перенести в неизменном виде китайские символические интерпретации собственных магических квадратов на квадраты других цивилизаций. Точно так же, как взгляды "внешних народов" на их собственные магические квадраты не могут быть правильно применены для интерпретации квадратов в Китае. Почти единственное, что передавалось от одного народа к другому, - это представление о том, что магический квадрат - это миниатюрная диаграмма Земли или Вселенной. Природа Вселенной и то, что происходит в ней, объяснялось в каждой крупной культуре очень по-разному.

Источники и методы исследований

Мой основной подход заключается в определении конкретных видов магических квадратов, которые наиболее широко использовались в данной цивилизации (в мусульманском мире и Индии). Затем я проанализирую их математически, чтобы попытаться понять, почему предпочтение отдавалось определенным видам и почему другие - хотя они могли быть известны - не были освоены или никогда не развивались. Затем необходимо найти причины такого выбора в некоторых аспектах религии или философии этой цивилизации. Последним шагом, по логике вещей, была бы попытка выяснить, делали ли когда-либо сами создатели или использовавшие эти квадраты реальные заявления, которые могли бы подтвердить мою интерпретацию причин их выбора. В случае с Китаем последний шаг был затруднителен, потому что магический квадрат Ло Шу и другие, связанные с ним, составляли важный элемент эзотерической традиции, которую нельзя обсуждать открыто. К тому времени, когда эти квадраты перестали быть частью китайских оккультных знаний, многие из старых верований относительно них были забыты.

Однако, несмотря на то, что более древние авторы были склонны воздерживаться от прямого упоминания Ло Шу, все же можно найти косвенные ссылки, основанные на его значении, что подтвердило мои более ранние выводы из математического анализа этого квадрата и его производных.

При изучении магических квадратов мусульманского мира, хотя мы находим гораздо более полную литературу с рядом книг на персидском и арабском языках, специально посвященных этой теме, исследователь сталкивается со многими проблемами. Например, одним из наиболее обширных арабских источников является известная книга североафриканского оккультиста Мухил-Дин Абу Таббаса аль-Буни (ум. 1225 г.), Называемая "Шамс аль-Ма'ариф аль-кубра», эта книга кажется очень полной, но, ознакомившись с ней, вскоре можно наткнуться на непреодолимые препятствия.

Во-первых, язык, которым написана книга, преднамеренно эзотерический, а объяснения квадратов, по-видимому, были написаны для того, чтобы сбить с толку людей, которые могут попытаться незаконно их использовать. Возможно, из-за того же желания запутать непосвящённых, а также из-за столетий переписывания рукописей сами квадраты сильно искажены или написаны с ошибками, так что более крупные и потенциально наиболее интересные квадраты теперь совершенно неразборчивы. В других книгах арабских и персидских авторов на эту тему искаженный квадрат обычно можно исправить, аккуратно добавив все строки и столбцы, а затем, когда строка или столбец не дают требуемой суммы для этого конкретного размера квадрата, заменить неверное число в ячейке, где пересекаются строка и столбец. Однако, когда искажений слишком много, даже это может не сработать. Тайный эзотерический язык также по-прежнему представляет большие проблемы.

С другой стороны, древние мусульманские книги и рукописи иногда дают ключи к разгадке другими способами. Например, когда обнаруживается, что религиозный автор постоянно воздерживается от написания среднего числа в магическом квадрате, пустая ячейка ясно показывает, что он, должно быть, чувствовал, что это число было чрезвычайно значительным.

Что касается индийских магических квадратов, в одном авторитетном раннем источнике, "Ганита-каумуди" Нараяны 1356 года, меньше искаженных квадратов, но текст несколько сложен. Хотя автор воздерживается от прямых заявлений об идеях, лежащих в основе квадратов, временами его выбор слов даёт ключ к разгадке, как мы увидим в дальнейшем. Кроме того, предпочтение Нараяны и более поздних индусов в отношении определенных методов построения магических квадратов настолько последовательно, а религиозное или философское значение этих методов настолько ясно, что можно с некоторой уверенностью интерпретировать их. Очевидным следующим шагом для изучающих мусульманские знания и специалистов по индийской культуре является попытка перевести некоторые ключевые работы по этому вопросу с помощью приведенного ниже анализа. Это не только поможет подтвердить или опровергнуть предлагаемые здесь гипотезы. Что ещё более важно, это позволит современным учёным в западном мире ещё больше узнать о магических квадратах, уже почти забытых - даже в тех восточных странах, где искусство построения очень сложных математических структур было впервые развито в Средневековье.

Задача перевода арабских, персидских и индийских работ по магическим квадратам будет нелегкой по причинам, о которых упоминалось мимоходом, но которые теперь можно изложить более подробно. Вся тема магических квадратов тщательно охранялась во время своего наивысшего развития в средневековой Азии. Большинство авторов были сдержанными и уклончивыми, сохраняя эзотерическое толкование для устной передачи. В некоторых книгах есть "поясняющие" отрывки, но они могут оказаться такими же уклончивыми и фрагментарными, как замечания в китайской литературе. У средневековых учёных было две веские причины для секретности. Во-первых, числовые квадраты, по-видимому, считались в высшей мере священными символами, должным образом понятными только посвященными, которых учили уважать их как таковые, не выдавая тайные значения возможным насмешникам или чрезмерно ортодоксальным людям, которые могут найти причины считать их еретическими.

Во-вторых, после перехода от религиозного к магическому употреблению - на самом деле эти функции часто выполнялись одновременно в данном регионе - квадратам приписывали силу и применение, которые, казалось бы, делали их чрезвычайно опасными в руках невежественных или злонамеренных людей, которые может по глупости или умышленно пытались использовать их в злых целях. Таким образом, было сочтено необходимым сделать любое обсуждение достаточно неясным, чтобы их внутреннее значение оставалось непонятным для непосвящённых. И, конечно же, современные западные учёные страдают тем, что они вдвойне "непосвященные", являясь продуктами другой культуры.

Китайские предпосылки

Самый ранний известный магический квадрат - это простой квадрат третьего порядка, который можно проследить до IV века до н.э. в Китае, хотя китайская традиция считает его примерно на две тысячи лет старше. Китайцы называли его Ло Шу и почитали как символ Вселенной. Они также уделяли особое внимание его среднему числу, 5, - из-за его положения в качестве среднего значения или оси между каждой противоположной парой других чисел. Сумма каждой пары равнялась 10. Китайцы считали, что пятерка символизирует их правителя в центре Поднебесной (Китая) или же космическую ось в центре мира. Это было только начало той раскрытия символики, которую они прочли в Ло Шу (дополнительные подробности можно найти в предыдущих статьях). Но этого должно быть достаточно, чтобы объяснить некоторое почтение к нему и указать, почему древние китайцы считали квадрат источником силы и чудотворения.

Они построили этот магический квадрат третьего порядка, составив сначала «естественный квадрат» третьего порядка - числа от 1 до 9, записанные в три параллельных столбца. Запись чисел начиналась в правом верхнем углу, в обычной китайской манере. Затем они наклонили этот квадрат так, чтобы он опирался на юго-западной угол, и поменяли местами его центральную строку и центральный столбец (которые были диагоналями естественного квадрата), после чего сжали ромб, чтобы сформировать другой квадрат: магический квадрат третьего порядка (Рис.1). Это единственный магический квадрат, который можно составить с помощью правильной последовательности от 1 до 9. Хотя его можно вращать или "отражать" (переворачивать и поворачивать), чтобы он отображался восемью различными способами, расположение чисел останется неизменным.

Магический квадрат 3х3, составленный в любой другой последовательности, также называется магическим квадратом третьего порядка. Количество клеток на одной стороне квадрата называется "базовым числом" (обозначается буквой w), и это число определяет порядок.

Книга Ян Хуэя показывает, насколько древние китайцы полагались на Ло Шу при построении магических квадратов больших порядков. Например, чтобы составить магические квадраты пятого и седьмого порядка, они взяли девять чисел из середины последовательности и расположили их в магическом квадрате третьего порядка, чтобы сформировать ядро. Затем вокруг они поместили остальные числа, таким образом образовав "магический квадрат с окантовкой".

В качестве другого решения они взяли первые четыре и последние четыре числа последовательности и разместили их в углах и в центре каждой стороны, со средним числом последовательности в центре, так что эти девять чисел, расположенные в незамкнутой схеме Ло Шу, образовывали своего рода остов, вокруг которого располагались остальные. Позже мусульмане улучшили эту схему, объединив оба метода, чтобы составить один квадрат второго типа, который также был "связанным". То есть каждая пара чисел, равноудаленных от центра на линии, проходящей через среднее число, является "дополнительной" - сумма каждой пары всегда в два раза больше среднего числа. То же самое явление присутствует в магическом квадрате третьего порядка, но оно кажется более впечатляющим в больших квадратах.

Вероятно, наиболее амбициозное использование модели Ло Шу в Китае проявилось в древнекитайском магическом квадрате девятого порядка. Сначала они составили естественный квадрат девятого порядка, записав числа от 1 до 81 в девять столбцов. Затем взяли каждый горизонтальный ряд и расположили его числа в порядке Ло Шу, чтобы получился магический квадрат третьего порядка. Далее расположили эти девять маленьких квадратов по образцу Ло Шу, чтобы получился своего рода "гигантский Ло Шу". Затем, взяв столбцы вместо рядов, они составили маленькие квадраты третьего порядка, позже расположив их в виде гигантского узора Ло Шу. Однако это было несколько менее эффективно, так как способ построения был более очевиден.

Ещё более изобретательным было древнекитайское применение схемы Ло Шу для составления магических квадратов шестого порядка. Магические квадраты четного порядка нельзя построить так же, как квадраты нечётного. Они делятся на две группы в зависимости от того, является ли основание "однократно четным" - делится только на 2 - как 6, 10, 14 и т.д., или "двукратно четным" - делится на 4 (или на 2 дважды) - как 4, 8, 12 и т.д. "Однократно четные" квадраты представляют особые проблемы, и их всегда считали наиболее трудными для построения. Парадоксально, но китайцам удалось преодолеть эту трудность с помощью магического квадрата шестого порядка, ещё раз использовав Ло Шу в типичном китайском способе построения, который мы нигде больше не встречаем. Однако им никогда не удавалось справиться с другими четными числами, даже относительно лёгкими, дважды четными. Дело в том, что они были настолько зависимы от Ло Шу, что в тех случаях, когда не могли применить его, они чувствовали себя совершенно потерянными. Им удалось получить довольно примитивные магические квадраты из 4 и 8, но для более сложного квадрата из 8 и 10 им пришлось заимствовать откуда-то ещё, как мы увидим дальше.

Мусульманские магические квадраты

Когда примерно в начале Х века н.э. китайцы перестали придавать магическим квадратам особое значение, прежняя секретность в отношении них, по-видимому, была ослаблена. Основная идея, а также некоторые предложения по их построению были переданы другим народам. С VII по XIV век н.э. значительное число персидских и арабских купцов проживало в портовых городах на побережье Китая, постепенно впитывая элементы китайской культуры, но сохраняя связь со своей родиной. Некоторые из них могли передать знание магических квадратов в западную Азию.

Ранний прогресс в области магических квадратов в Китае был частично обусловлен длительным опытом работы с позиционными числами, а частично - из-за наличия большого количества дешёвой бумаги для экспериментов. Примерно в то же время, когда китайцы впервые раскрыли секрет магических квадратов другим, арабы и персы заимствовали идею позиционных чисел у индусов и, поскольку они недавно научились изготовлять бумагу, у китайских пленных, захваченных в битве на реке Талас в 751 г.. Теперь у них была главная предпосылка для самостоятельного изучения.

Магический квадрат третьего порядка появился в мусульманском мире впервые в 900 году в арабском трактате, который традиционно приписывают Джабиру ибн Хайяну (известному в Европе как Гербер). Неизвестный автор представил его как заклинание для облегчения родов, и утверждал, что он произошел от Аполлония Тианского. На самом деле, этот квадрат, по-видимому, не был известен на Ближнем Востоке до того времени и, вероятно, только недавно прибыл из Китая - но приписывание его авторства Аполлонию придавало ему фальшивую древность, предполагая связь с магом классического прошлого, чтобы придать большего веса самому заклинанию. Квадрат содержал буквы с числовыми значениями вместо цифр в так называемой системе абджадия. Поскольку углы этого квадрата содержали арабские буквы, эквивалентные b, u, d и h, его обычно называли будух. Это название иногда применялось также к числовому квадрату третьего порядка. Однако общим словом для обозначения магического квадрата в мусульманском мире был термин «вафк» (мн.ч. авфак).

Первый набор мусульманских магических квадратов был представлен в энциклопедии под названием «Раса'Ил», составленной Ихван ас-Сафа, мусульманским братством, иначе известным как «Братья Чистоты». Оно появляется около 989 г. в Басре, морском порту для международной торговли вплоть до Китая. Это расположение может быть важным, потому что квадраты были представлены как иллюстрации естественной гармонии Вселенной, а сопроводительный текст описывает их как маленькие модели гармонии мира, подобно тому, как китайцы рассматривали Ло-Шу и его производные. Даже методы построения этих квадратов иногда демонстрируют явно китайское влияние.

Сначала мы находим простой магический квадрат третьего порядка в незнакомом положении, который мог получиться в результате использования натурального квадрата в индийском стиле, состоящего из рядов, начинающихся с верхнего левого угла, а затем обработки его в китайском стиле. Если этот метод верен, это может указывать на то, что часть первоначальной традиции пришла на Ближний Восток из Китая через Индию.

Затем идёт простой магический квадрат четвертого порядка. Этот квадрат можно получить, перевернув диагонали в натуральном квадрате (сложенном рядами). Но, судя по положению, либо диагонали остались нетронутыми, а другие числа перевёрнутыми, либо автор был настолько знаком с этим квадратом, что просто записал его прямо, начиная с правого верхнего угла по мусульманскому обычаю.

Чтобы составить магический квадрат пятого порядка, автор, по-видимому, сначала попытался перевернуть главные диагонали натурального квадрата, поскольку эта тактика оказалась эффективной при создании квадратов меньшего порядка.

Затем, когда это не сработало, он просто перевернул одну из главных диагоналей, после чего поменял местами четыре пары чисел над другой диагональю (все ещё нетронутой) и четыре пары под ней, пока не добился баланса. Он сделал это таким образом, что каждая противоположная пара чисел, равноудаленная от центра, оказалась дополнительной - то есть каждая пара даст сумму 26, что вдвое превышает среднее число, поэтому последнее послужит средним между ними. Таким образом, это был прекрасный "связанный" магический квадрат, но довольно неуклюжий способ его построения предполагает раннюю формирующуюся попытку решить проблему составления.

Создатель магического квадрата шестого порядка, по-видимому, начал с того, что разделил последовательность от 1 до 36 пополам и записал ее в два параллельных столбца, поменяв направление второго на противоположное, чтобы получить восемнадцать дополнительных пар. Десять из этих пар он взял, чтобы сделать пять блоков 4х4, которые поставил крестом. Затем он разделил последние восемь пар и расставил числа в противоположных углах, сделав это таким образом, чтобы четыре числа в каждом из девяти блоков давали сумму 74. Это уникальное мусульманское решение магического квадрата шестого порядка использовалось в течение нескольких столетий.

Немецкий учёный заметил, что если этот раннемусульманский магический квадрат шестого порядка разбить на четыре четверти, а затем поменять их местами по диагонали, то в результате получится магический квадрат с окантовкой. Однако это не означает, что этот пример первоначально был построен как квадрат подобного типа, а затем, возможно, разделен, чтобы скрыть метод его создания. Во-первых, магический квадрат четвертого порядка, который сформирует ядро этого гипотетического квадрата с окантовкой, был очень сложным, схема его не была известна в мусульманском мире даже два века спустя. Кроме того, его расположение было индийским, но индусы, похоже, никогда не использовали магические квадраты с окантовкой.

Размещение чисел в подквадратах 2х2 оставалось популярным в мусульманском мире в течение по крайней мере шести столетий, и некоторые из более поздних примеров нельзя разделить и снова собрать в виде квадратов с окантовкой, хотя большинство из них могли быть таковыми. Кажется вполне вероятном, что кто-то в мусульманском мире действительно пытался разделить самый ранний квадрат шестого порядка или аналогичный ему. Затем, обнаружив, что его центром является магический квадрат четвертого порядка, он, возможно, понял, как создавать окаймленные квадраты для "однократно чётных" чисел вокруг магического квадрата четвертого порядка в качестве ядра - поскольку эта техника, кажется, была мусульманским вкладом. Дальнейшее его развитие мы обсудим позже.

В большинстве манускриптов «Раса'Ил» изображены только четыре вышеупомянутых квадрата, но во всех манускриптах описываются ещё три квадрата, и, по крайней мере, один изображает последний тип. Два из них настолько примитивны, что наводят на мысли об экспериментах с новой техникой, хотя в первом чувствуется некоторое китайское влияние, а в третьем - чисто китайский стиль. Другими словами, их форма кажется вполне соответствующей четырем более знакомым, и, по-видимому, нет оснований сомневаться в том, что все семь изначально должны были принадлежать к одной группе, на самой ранней стадии развития магических квадратов на Ближнем Востоке. Для квадрата восьмого порядка арабский или персидский мастер пытался применить те же принципы, которые использовались при построении магического квадрата шестого порядка, сначала концентрируясь на заполнении центрального креста (двух средних столбцов и двух средних рядов), а затем диагоналей, и, наконец, заполнении остальных ячеек. По-видимому, он ещё не осознавал, что существует радикальное различие между «однократно четными» и «дважды четными» числами, которое требует отдельных приемов составления из них магических квадратов - так что это не работало должным образом. Результат ещё раз показывает нащупывание попытки достичь баланса без какой либо адекватной системы, а первоначальная путаница усугубляется в опубликованном примере чрезмерным количеством искажений.

Магический квадрат девятого порядка также некорректен. Здесь автор сначала попытался расположить числа на каркасе Ло-Шу в знакомом китайском стиле, но ему это не удалось. Наконец у него получилось сломать этот шаблон, чтобы квадрат получился правильно. Однако он был очень искажен в передаче.

Напротив, магический квадрат седьмого порядка Братьев Чистоты был аккуратен. Здесь автор взял девять средних чисел последовательности от 1 до 49, а именно от 21 до 29, и расположил их в перевёрнутом узоре Ло Шу, чтобы сформировать центральное ядро. Затем он взял следующие девять дополнительных пар и поставил их друг напротив друга, чтобы образовалась граница вокруг ядра. Наконец, он использовал двенадцать оставшихся дополнительных пар, чтобы создать внешнюю границу вокруг целого. Схема была так тщательно устроена, что если убрать внешнюю границу, то оставшийся квадрат останется магическим, а если убрать внутреннюю границу, то останется магический квадрат третьего порядка, составивший ядро. Таким образом, он создал «концентрический магический квадрат с окантовкой».

В то время как окаймленный квадрат, построенный вокруг ядра Ло Шу, был древнекитайским изобретением, это самый ранний опубликованный пример и первый из известных концентрических квадратов. В Европе считается, что окаймленные квадраты были изобретены Михаэлем Штифелем, другом и современником Лютера и Меланхтона, представившим некоторые из них в своей Arithmetica Integra, опубликованной в 1644 г. На самом деле, они до сих пор известны в Германии как «квадраты Штифеля» (Stifelsche Quadrate), хотя теперь мы видим, что они были известны за сотни лет до него, и, вероятно, были переданы в Европу из исламского мира, хотя связи все ещё неполные.

Тот факт, что каждый из магических квадратов в этом раннем наборе, представленном Братьями Чистоты, был построен разными методами, не следует воспринимать как демонстрацию универсальности. Это просто показывает, что искусство составления магических квадратов было ещё настолько новым и незнакомым для мусульманских ученых, что они не знали какой-либо единой системы построения последовательных магических квадратов с нечетными числами. Они ещё не знали, что метод, использованный при составлении их квадрата четвертого порядка, можно применить и для составления квадрата четвертого, восьмого и других дважды чётных порядков. На этом раннем этапе построение магических квадратов было ещё очень трудоёмкой задачей, и те немногие, кто вообще был в состоянии это сделать, должны были казаться окружающим в то время настоящими магами.

С одной стороны, люди Ближнего Востока не чувствовали себя связанными одной традицией, как это было с китайцами в их непоколебимой преданности Ло Шу - потому что для них магический квадрат третьего порядка не нес такой нагрузки конкретных символов. Они также отличались от китайцев тем, что не довольствовались примитивным уровнем построения магического квадрата, где квадрат для каждого числа должен был строиться несколько иным методом. Они искали более общие решения, с помощью которых любой мог составить последовательность магических квадратов для целого ряда нечётных или чётных чисел.

Мы обнаруживаем начальный шаг в энциклопедии Братьев, где далее описывается, как составить магический квадрат третьего порядка (в форме Ло Шу), расставляя числа в терминах шахматных ходов: «Сначала два хода коня, затем ход пешки» и т.д. На самом деле это не было совершенно новым явлением: хотя шахматные термины были в новинку, древние китайцы изобрели способ обхода схемы Ло-Шу как своего рода ритуал, который они называли «шагами Юя». Важно то, что китайцы так и не пошли дальше - в то время как концепция движения в рамках квадратной диаграммы, по-видимому, возбудила любопытство мусульманских (и индийских) учёных, побудив их к дальнейшему исследованию возможностей этого движения и получению некоторых интересных результатов.

Кто-то в мусульманском мире - возможно, в Персии, до монгольского нашествия в начале XIII века, - совершил великий прорыв, найдя способ построить серию магических квадратов для последовательных нечётных чисел методом непрерывного исчисления. К сожалению, до сих пор имеется очень скудная информация о развитии магических квадратов в Персии до XIII века из-за разрушительных монгольских завоеваний Ирана и Ирака, последовавших за периодом ожесточенных сектантских войн, уничтоживших большую часть суфийской литературы. Тем не менее, кажется вероятным, что некоторые из самых высоких достижений в разработке магических квадратов должны были иметь место, если судить по более поздним работам, которые, очевидно, были основаны на очень ранних основах.

Несколько трактатов об искусстве составления магических квадратов были написаны мусульманскими учёными в XIII веке, периоде, который, по-видимому, был временем расцвета исламских магических квадратов, особенно в Персии и Северной Африке (включая Египет). Два исследования этого периода - в дополнение к уже процитированный трудам аль-Буни - дают некоторое представление о высоком уровне, достигнутом исламским миром в то время. Первая представляет собой персидскую рукопись в библиотеке Принстонского университета с датой, соответствующей 1212 г.н.э., а вторая - рукописную книгу на персидском языке, хранящуюся в Британском музее, предположительно датируемую 1211 н.э. Эти две работы представляют особый интерес, так как показывают первые примеры нового непрерывного метода построения магических квадратов. В первой рукописи система полностью разработана и используется весьма изощрённо - но персидская книга превосходит и это, демонстрируя чрезвычайную универсальность. В ней показаны квадраты, в которых короткие последовательности появляются в перемешанном порядке - только третья всегда на месте - некоторые из них даже имеют обратную последовательность. Это указывает на длительный предшествующий период экспериментов.

Этот мусульманский непрерывный метод мог быть открыт одним из двух способов кем-то, кто исследовал дальнейшие возможности магического квадрата третьего порядка. Например, составитель мог бы сначала написать естественный квадрат пятого порядка в форме ромба, а затем переместить три числа в каждой точке ромба в промежуток на противоположной стороне. Или же он мог внимательно Ло Шу и увидеть, что числа в нем имеют определенные принципы движения, которые ранее упускались из виду, после чего применитт их для построения большего квадрата.

Представляется наиболее вероятным, что этот метод был впервые открыт с помощью процесса преобразования ромба, а затем новатор, или кто-то ещё из его коллег случайно заметил, что нумерация в получившемся магическом квадрате происходит непрерывно, что повторяет закономерность движения в квадрате Ло Шу, которую даже китайцы, несмотря на всю свою озабоченность этим квадратом, так и не открыли.

Тогда неизвестный новатор, должно быть, оглянулся на магический квадрат третьего порядка, чтобы увидеть его по-новому. Точно так же, как в его новом квадрате пятого порядка, последовательность чисел теперь представляла собой динамичный, непрерывный процесс, не ограниченный больше рамками прямоугольника и не вынужденный продолжаться беспорядочной комбинацией ходов коня и пешки. В обоих этих квадратах (третьего и пятого порядков) он рассматривал последовательность чисел как единое плавное движение, идущее по диагонали вниз от числа 1 (под центральной ячейкой), опускающееся под нижнюю линию, чтобы снова появиться вверху и переходя через правый край вновь появиться слева. Должно показаться, что верх и низ квадрата могут встретиться, образуя горизонтальный цилиндр, который окружают числа - в то время как, как это ни парадоксально, левая и правая стороны могут также встретиться, образуя вертикальный цилиндр, вокруг которого числа могут двигаться вниз по спирали. На самом деле, эти два различных требования могут быть удовлетворены с помощью кольца или тора. При движении по диагонали вниз, после встречи с базовым числом 3 (или 5) или одним из его кратных, экспериментатор наткнулся на блок, обнаружив, что следующая клетка уже занята, поэтому он был вынужден опустить две клетки для следующего числа, чтобы иметь возможность продолжать движение в том же направлении. Это небольшое отклонение от движения вперёд теперь называется «разрывом». В магическом квадрате третьего порядка это выпадение двух клеток не так очевидно - и после 3 и 5 опускание двух клеток даёт тот же эффект, что и повышение на одну клетку. Но это, наконец, становится очевидным после 9 (последнее кратное основному числу 3), когда разрыв требует опускания двух ячеек, чтобы вернуться к 1 - потому что во всех этих непрерывных магических квадратах последний ход после наибольшего числа в квадрате ведёт обратно к 1, чтобы начать цикл заново - потенциально бесконечное действие.

Следующим шагом было опробовать эту непрерывную систему нумерации для составления магических квадратов из нечётных чисел больше 3 и 5, и она прекрасно сработала.

Теперь магический квадрат для любого нечётного числа можно было составить быстро и легко, расставив числа требуемой последовательности одно за другим в их обычном порядке, следуя общему плану, который был лишь естественным продолжением схемы, уже присутствующей в магическом квадрате третьего порядка. Это было основное применение Ло Шу, которое китайцы, по-видимому, так и не открыли.

До недавнего времени самые ранние известные примеры этого мусульманского непрерывного метода сохранились в трактате о магических квадратах, написанном византийским учёным Мануэлем Мосхопулосом в начале XIV века. Однако этот греческий автор не был математиком - он был известен как литератор и переводчик, так что, похоже, он просто передавал информацию, с которой столкнулся в некоторых арабских или персидских произведениях. Мы уже упоминали персидский манускрипт 1212 года в библиотеке Принстонского университета и несколько более позднюю книгу в Британском музее, в обеих из которых изображены квадраты, созданные таким методом. Кроме того, оба содержали примеры других типов квадратов, которые Мосхопулос проиллюстрировал и, как ошибочно полагают, изобрел.

Таким образом, нет никаких сомнений в приоритете этого непрерывного метода строительства в мусульманском мире. Учитывая климат религиозных верований в средневековый период - особенно среди суфийских мистиков - можно понять, как эти магические квадраты, в которых движение закреплялось после прохождения среднего числа в основе плана, неизбежно усилили и без того сильное почтение к этому числу. Вдумчивые мусульмане со времён Братьев Чистоты считали магические квадраты вообще малыми моделями Вселенной - теперь они могли рассматривать их как символические представления Жизни в процессе бесконечного течения, постоянно обновляющейся, благодаря контакту с божественным источником в центре космоса. Тот факт, что некоторые из наиболее набожных мусульман действительно считали среднее число символом Бога (Аллаха), кажется, подтверждается случайными рукописями, в которых создатель квадратов отказывался записывать само число, просто оставляя пустую ячейку в центре квадрата.

Были и другие причины, по которым среднее число могло быть воспринято как символ Аллаха. Это число, умноженное на основное число квадрата (n), «становится» постоянной суммой всех строк и столбцов и двух главных диагоналей - таким образом, оно может символизировать Аллаха, измеряющего и регулирующего длину и ширину Вселенной, контролирующего и поддерживающего все сущее. Опять же, то же самое среднее число, умноженное на наибольшее число в квадрате (n²), «становится» общей суммой всех чисел в квадрате, большей, чем все остальные, но содержащей их все внутри себя - это могло символизировать Аллаха Предельного и Трансцендентного, содержащего все в его сущностном единстве.

Возможно, эта линия мышления могла бы шокировать некоторых ортодоксальных мусульман, но она определенно соответствовала одному из основных течений суфийской мысли.

От такого рода рассуждений оставался только шаг к мысли, что эти символы Вселенной с ее Хранителем были не только символическими изображениями движения и творения, но и действительными обладателями силы. Именно такого рода качества заставляли людей древности считать эти числовые диаграммы магическими или таинственными, и следующим шагом было использование их для изготовления магических амулетов и талисманов, с идеей, что их предполагаемая внутренняя сила может быть использована как для добрых, так и для злых дел.

Более поздние исламские книги иногда показывают магические квадраты, составленные посредством другого метода непрерывной нумерации. Мы можем назвать это «индуистским непрерывным методом», поскольку он, видимо, был изобретён в Индии кем-то, кто видел перевернутый квадрат Ло Шу третьего порядка - форму, предпочитаемую индусами, - и обнаружил в нем сходные принципы движения, которые применил для составления больших магических квадратов нечетных порядков с некоторыми различными результатами, как мы увидим в части II.

Этот метод никогда не был особо популярен среди мусульман, вероятно, потому, что из-за разницы в построении в нем отсутствовал принцип обновления через среднее число. Индусов, по-видимому, не интересовало среднее число, но они обнаружили в квадратах, построенных по их методу, другие интересные свойства, которыми могли проиллюстрировать некоторые их собственные убеждения.

Третья форма непрерывного магического квадрата была получена путем регулируемого движения, точнее, ходом коня в шахматах. (Хотя она впервые появляется в мусульманских книгах начала XIII века н.э., весьма вероятно, что индийцы, возможно, открыли ее первыми, как мы увидим далее).

В этом методе числа выстраиваются перемещением на две клетки вверх (или вниз) и на одну - в мусульманском мире чаще влево - с переносом разрыва после кратных основному числу. Иногда они меняли систему, делая «расширенные ходы конем», совершая более длинные шаги по вертикали или горизонтали, или в обоих направлениях.

Одним из особых качеств этих полей для хода конем является их гибкость, их способность изменять форму без потери свойств. Одну или несколько строк можно перемещать сверху вниз (или наоборот), а столбцы - с одной стороны на другую, не затрагивая их «магических» свойств. Поскольку их сущность оставалась неизменной, несмотря на довольно резкие изменения вида, эти квадраты, таким образом, были эффективными символами внутренней стабильности во внешне меняющейся Вселенной.

Кроме того, то же самое качество позволяло поставить любое число в центральной ячейке, тогда как все другие виды магических квадратов требовали среднего числа последовательности в центре.

Мусульманские учёные открыли это свойство и использовали его для создания магических квадратов с центром в единице - очевидный символ Аллаха Творца, конечного Единого. Поскольку нумерация начинается с 1 в центре, а последнее движение разрыва ведёт обратно к ней, эти маленькие диаграммы космоса в миниатюре служили графическими иллюстрациями мусульманской концепции, согласно которой Аллах является для всех вещей как Источником, так и Назначением.

В ещё одном отношении эти магические квадраты с центром в единице воплощали мусульманскую идею о том, что все происходит от Единого и все в конечном итоге вернётся к Единому. Средневековые исламские математики часто практиковали «горизонтальное сложение», также называемое «отбрасыванием девяток». Беря большее число, они добавляли его цифры и продолжали складывать, пока не сводили его к основной цифре. Когда они проделали это с общей суммой всех чисел в магическом квадрате пятого порядка, сумма 325 уменьшилась бы до 1 - поскольку 3+2+5 =10, а 1+0=1. Это также работает для магических квадратов седьмого порядка с центром в единице, где общее число 1225 также сокращается до 10, с затем до 1. Квадраты с ходом также были примечательны тем, что были «пандиагональными». Числа на каждой частичной диагонали можно добавить к тем, которые находятся на дополнительной частичной диагонали в противоположном углу квадрата, так что вместе они дадут постоянную сумму. Из-за этого дополнительного атрибута, эти магические поля с ходом коня кажутся особенно «волшебными».

Мусульманские книги о магических квадратах начала XIII века, о которых говорилось ранее, раскрывают сильную озабоченность магическими квадратами четвертого порядка. В начале изучения этой конкретной формы один из ближневосточных учёных наткнулся на пандиагональную форму, и из уважения к классической древности ее приписали Платону.

За исключением, возможно, магического квадрата третьего порядка, он стал самым популярным и самым известным магическим квадратом в мусульманском мире.

Персы и арабы вскоре обнаружили, что, используя схему этого пандиагонального квадрата четвертого порядка в качестве модели для расположения чисел от 1 до 16 в различных возможных комбинациях, они смогут составить гораздо больше. На самом деле, используя шаблон этой основной пандиагонали с другим порядком правильной последовательности, можно получить другой магический квадрат четвертого порядка, включая сорок семь других пандиагоналей - и переставляя числа в некоторых из них, можно получить ещё 448, так как существует 880 различных магических квадратов четвертого порядка. Более того, хотя бы больше не считаем «повороты» и «отражения» данного магического квадрата отдельными квадратами, средневековые рукописи показывают, что мусульманские учёные так поступали - таким образом, у них было 7040 возможных магических квадратов четвёртого порядка.

Персидским и арабским математикам, возможно, не удалось систематически вычислить все возможные комбинации. (Я никогда не находил полного набора магических квадратов четвертого порядка в мусульманских книгах). Однако они получили достаточно различных примеров, чтобы убедиться, что базовая пандиагональ имеет замечательную способность «производить» огромное количество других квадратов, а также верили в ее очевидную творческую силу, что заставило их считать его источником силы.

Они гравировали этот квадрат на кольцах и амулетах для защиты от болезней и других зол, они вырезали его в металлических чашах и медицинских сосудах, чтобы воздействовать на содержимое и очищать его, и инкрустировали его золотом на лезвиях мечей из прекрасной дамасской стали, чтобы улучшить их боевые качества - и это лишь некоторые из его многочисленных применений.

Кажущейся творческой силы исходно пандиагонального квадрата четвертого порядка, вероятно, было достаточно, чтобы предположить, что его можно рассматривать как символ Аллаха-Творца - но полное влияние этой символической идеи должно было ещё более усилиться, когда обнаружилось, что сумма всех чисел в каждом из многочисленных квадратов, составленных из него, может быть сведена - посредством «горизонтального сложения» - к всеобъемлющей Единицы. Опять же, это удовлетворило бы суфиев как кажущееся подтверждение их верований - потому что все производные квадраты происходили из одного и того же источника, и в каждом случае их составные элементы могли восходить к единице.

Несколько иное применение нумерологии дало дополнительные основания рассматривать магические квадраты четвертого порядка как могущественные магические элементы. Их постоянная сумма, 34, при сложении по горизонтали уменьшается до 7, и число 7 играло заметную роль в средневековом мусульманском символизме. Например, мусульмане верили, что Вселенная состоит из семи небес, семи морей и семи видов, в то время как наша Земля была разделена на семь краев и находилась под сильным влиянием семи планет. Также существовали семь ангелов и семь царей джиннов, а также семь пророков, управляющих семью днями недели. Всех их можно рассматривать как присутствующих в магических квадратах четвертого порядка из-за повторяющихся семёрок в константах - так что это сделало их ещё более эффективными символами Вселенной, а также способствовало их воображаемой силе и защитным свойствам.

Освоив многочисленные магические квадраты четвертого порядка, составленные в правильной последовательности, мусульмане приступили к дальнейшим экспериментам с магическими квадратами четвертого порядка. Некоторые из них работали с квадратами 4х4, используя различные виды последовательностей: более высокие числа (составляющие «расширенные квадраты»), чередующиеся числа или даже четыре отдельные короткие последовательности, начальные числа которых расположены на равном расстоянии друг от друга.

Создатели талисманов часто помещали в верхний ряд одно из четырехбуквенных имен Бога (которых было по крайней мере 99) - затем, рассматривая эти буквы как числа в системе абджадии, они заполняли остальную часть квадрата, используя обычные числа, которые дополняли требуемые суммы. Последние квадраты особенно ценились как амулеты, так как считалось, что присутствие имени Бога передает часть Его силы, и аль-Буни представил значительное количество квадратов для использования с этой целью. Все более широкое знакомство с магическими квадратами четвертого порядка привело к созданию магических квадратов восьмого и двенадцатого порядков с помощью различных систем последовательного исчисления, которые были по сути просто расширениями шаблонов, которые появлялись в более знакомых квадратах четвертого порядка, повторяющихся в каждом блоке 4х4. Один из излюбленных методов составления магических квадратов восьмого порядка (или двенадцатого) заключался в том, чтобы взять пустой шаблон из 64 (или 144) клеток и разделить поле на подквадраты по шестнадцать клеток в каждом, отмечая клетки на главных диагоналях всех квадратов с точкой. Затем, начиная с правого верхнего угла, они двигались влево в каждой строке сверху вниз, отсчитывая правильную последовательность и записывая число в каждую пунктирную ячейку по мере того, как доходили до нее. Достигнув нижнего левого угла, они повторяли весь процесс в обратную сторону. Начиная снова с той же последовательности, они двигались вправо по каждому ряду, поднимаясь вверх, пока не возвращались к исходной точке, попутно заполняя каждую пустую ячейку для составления магических квадратов любого дважды честного числа.

Персидские авторы XIII века н.э. также продемонстрировали несколько похожий метод обращения с магическими квадратами для однозначных чисел (дополнение их путем окончательного нарушения симметрии), но, поскольку эта система была характерно индийской, мы отложим ее обсуждения, когда будем описывать индуистские магические квадраты.

Способность строить магические квадраты нечётных порядков непрерывными методами также привела их к созданию целых наборов таких чисел, которые затем можно комбинировать, чтобы получить огромные составные магические квадраты. Например, чтобы составить магический квадрат двадцатого порядка, они должны были расположить числа от 1 до 400 в шестнадцати магических квадратах пятого порядка, которые затем расположить по образцу своего первого пандиагонального магического квадрата четвертого порядка. Для чего они делали такие большие магические квадраты? Определенно, не для магических целей, потому что для них редко использовалось нечто большее, чем квадрат 9х9, предпочитая меньшие, которые можно было легко написать или выгравировать на амулетах. Причин было несколько. Во-первых, в культуре, в которой репрезентативная живопись осуждалась, хотя на самом деле не была запрещена, творческие инстинкты людей художественного темперамента нашли удовлетворительные средства самовыражения в создании этих превосходных образцов уравновешенной гармонии при кажущейся сложности. Во-вторых, религиозным мусульманам должно быть нравилось создавать их как символы сложной, но гармоничной вселенной, выражающие божественный порядок. Но для мистически настроенных людей в больших квадратах было нечто особенное, что увеличивало чувство благословения, которым они были наделены. Например, возвращаясь к только что упомянутому магическому квадрату двадцатого порядка, мы обнаруживаем, что путем горизонтального сложения общая сумма 80 200 уменьшается до 10, а затем до 1. Единое, и к этому Единому все в конце концов вернётся.

На самом деле во многих магических квадратах общая сумма всех чисел может быть сведена к 1 таким образом (только в магических квадратах чисел, делящихся на 3, это невозможно, так как в них общая сумма всегда сводится к 9). Но мусульманские учёные, вероятно, не сразу обнаружили, что этот эффект был настолько общим. Поэтому каждое повторение явления должно было поражать силой нового откровения - и когда они столкнулись с ним на чрезвычайно больших квадратах, эффект должен был казаться необычайно удивительным. Искатели Истины, они находили намеки на Бога, даже когда играли только с числами.

Последним отличительным мусульманским вкладом было гораздо более высокое развитие древнекитайской техники создания магических квадратов с окантовкой. К XIII веку ближневосточные учёные владели тремя различными системами для построения магических квадратов с нечётным числами вокруг ядра в стиле Ло Шу, и у них были аналогичные методы для построения магических квадратов с числами вокруг квадрата 4х4.

Первая из этих систем была описана аль-Буни в начале XIII века, хотя он и не утверждал, что изобрел ее. Для составления магических квадратов нечётных порядков, он использовал в качестве основы первые три числа обычной последовательности, три числа в середине и последние три, используя остальные числа для заполнения последовательных окантовок.

В реальной конструкции он сначала сделал ядро, затем взял первую половину оставшихся чисел и работал ячейка за ячейкой, заполняя квадрат ритмичным, скорее зигзагообразным узором, до самого дальнего края - затем, взяв второй набор чисел, он работал в обратном порядке, устанавливая каждое число напротив его дополнения, пока не вернулся к внутреннему ядру.

Там последнее число последовательности снова вело к первому, просто проходя через среднее число. Таким образом, здесь мы также находим понятие начала в центре и возвращения к центру, а также идею обновления через жизненное срединное число. В некотором смысле эта диаграмма Вселенной более соответствует реальной жизни, чем изготовленные более быстрыми методами: поскольку человеческая жизнь редко бывает стремительно непрерывной, но имеет много зигзагов, загибов и кажущихся пауз в своем извилистом течении.

Чтобы создать магические квадраты с окантовкой для чётных чисел, аль-Буни следовал тем же общим принципам, но использовал другой шаблон. Здесь ядро всегда представляло собой магический квадрат четвертого порядка, поставленный любым из многочисленных способов из первых восьми чисел и последних восьми чисел правильной последовательности. После размещения первых восьми чисел в ядре, он расположил остальные числа первой половины последовательности в сложном зигзагообразно узоре, который менялся в каждом втором кадре, вплоть до внешнего края. Затем он взял вторую половину последовательности и снова вернулся к ядру, в котором он поместил последние восемь чисел в дополнительное отношение к первым восьми. Таким образом, он создал ещё более плавное, хотя и неустойчивое, изображение путешествия души вовне от источника жизни и ее возможного возвращения. Он или его предшественник разработали систему изменения рисунка в каждом следующем кадре этих магических квадратов для чётных чисел, чтобы справиться с различиями между однократно четными и дважды четными числами с их отдельными требованиями. Этот метод создания квадратов с окантовкой остаётся наиболее удобной системой для построения магических квадратов любого четного числа - и, поскольку метод построения магических квадратов нечётных чисел тесно связан, взятые вместе они составляют ближайший, хотя и известный, подход к общей системе построения магических квадратов любого порядка.

Две другие мусульманские системы создания магических квадратов с окантовкой следовали тем же общим принципам, за исключением точного способа расположения чисел в рамках - они начинались с внешнего края и продвигались к центральному ядру, а затем снова обратно.

Используя эти различные системы, мусульманские учёные построили огромные квадраты размером до 30х30. Последний, один из самых больших квадратов, которые они когда-либо составляли, мог произвести сумму 13 515 шестьюдесятью двумя способами. Мы уже отмечали, что Майкл Штифель помог представить европейцам магические квадраты с окантовкой в середине XVI века. Они имели особую привлекательность для учёных Франции XVII и начала XVIII веков - но не вызвали особого интереса в других местах, особенно после введения более быстрых непрерывных методов незадолго до 1700 года.

Одним из более поздних достижений в истории мусульманских магических квадратов стало использование определенного набора квадратов для обозначения «семи планет» (Солнца, Луны, Марса, Меркурия, Юпитера, Венеры и Сатурна). Как мы уже отмечали ранее, считалось, что они могут влиять на вещи на Земле, включая жизнь людей. Эта идея, кажется, была предвосхищена аль-Буни, который использовал набор из семи квадратов 7х7 с буквами для обозначения дней недели, которые также были связаны с семью планетами. Позднее идея использования планетарных магических квадратов стала обычной практикой, но затем стали использоваться квадраты порядков от трёх до девяти. Обычный набор начинался с магического квадрата третьего порядка для Сатурна, четвертого для Юпитера, пятого для Марса, шестого для Солнца, седьмого до Венеры, восьмого для Меркурия и девятого для Луны, но альтернативный набор брал планеты в обратном порядке: третьего - для Сатурна, четвертого - для Меркурия и т.д.

В этой астрологической традиции, по-видимому, больше не было мысли рассматривать магический квадрат как мистическую диаграмму, с помощью которой можно углубить или усилить свое общение со Вселенной или с Творцом и Устроителем. Откровенно говоря, теперь они были простыми инструментами магии, которые можно было использовать для того, чтобы черпать силу из указанных «планет», и таким образом обрести власть над людьми и Природой. Постепенно этот «практический» взгляд вытеснил мистические и философские аспекты, пока, наконец, полностью не взяла верх мысль о том, что это просто магические амулеты или талисманы.

Поскольку этот процесс, по-видимому, в значительной степени имел место до того, как магические квадраты появились в Европе, европейцы узнали только о магических верованиях и, кажется, никогда не замечали математических свойств, которые предполагали мистический аспекты. Если бы они знали о них, возможно, они попытались интерпретировать квадраты в терминах христианской философии и символизма я точно так же, как люди ислама переосмыслили более ранние китайские представления о квадратах как о маленьких моделях Вселенной. Однако европейцы просто переняли концепцию планетарных квадратов как часть атрибутики магов раннего Возрождения, и в большинстве случаев это кажется сомнительным, если бы те, кто их использовал, знал как их построить. Мы ещё поговорим о магических квадратах в Европе и о том, как к ним относились люди, во второй части после обсуждения индийских магических квадратов, которые также внесли свой вклад в европейскую традицию.

Перевод: Сингулярность, 2022

Этот мусульманский непрерывный метод мог быть открыт одним из двух способов кем-то, кто исследовал дальнейшие возможности магического квадрата третьего порядка. Например, составитель мог бы сначала написать естественный квадрат пяти в ромбе, а затем переместить три числа в каждой точке ромба в промежутке на противоположной стороне, в расширении одного процесса создания квадрата Ло Шу. Или же он мог внимательно изучить квадрат третьего порядка Ло Шу и увидеть, что числа в нем имеют определенные принципы движения, которые ранее упускались из виду, после чего он применил их для построения большего квадрата.