Что такое вектор?

Направленный отрезок, лишь частный случай.

Если ты разобрался с тем, что такое множество, что с ними можно делать и что такое функция, у тебя есть все инструменты, чтобы понять, что такое вектор.

Вектор — это элемент векторного пространства. Иногда векторное пространство называют еще линейным пространством.

Пространство — это просто множество с дополнительной структурой. В случае векторного пространства (назовем его V) эту структуру можно задавать, определив операции (функции), которые на вход принимают элементы этого множества или других множеств и возвращают элементы этого множества.

Для векторного пространства это функции сложения + : V x V -> V и умножения на скаляр (число) * : R x V -> V. Вообще скаляры тоже берут из множеств с доп. структурой, называемых «полями».

Заметь, что в терминах множества, например, функция + = {какие-то тройки (a, b, c) из V x V x V: (a, b) встречается не более одного раза).

Эти функции должны удовлетворять определенным правилам, они приведены ниже:

Аксиомы векторного пространства

1. Коммутативность сложения: Для любых векторов x и y выполняется: x + y = y + x
2. Ассоциативность сложения: Для любых векторов x, y и z выполняется: (x + y) + z = x + (y + z)
3. Нулевой вектор: Существует такой вектор 0, что для любого x выполняется: x + 0 = x
4. Противоположный вектор: Для любого вектора x существует вектор -x, такой что: x + (-x) = 0
5. Ассоциативность умножения на скаляр: Для любых скаляров a и b и любого вектора x выполняется: a(bx) = (ab)x
6. Унитарность: Для любого вектора x и скаляра (числа) 1 выполняется: 1·x = x
7. Дистрибутивность относительно сложения скаляров: Для любых скаляров a и b и любого вектора x выполняется: (a + b)x = ax + bx
8. Дистрибутивность относительно сложения векторов: Для любого скаляра a и любых векторов x и y выполняется: a(x + y) = ax + ay

Эти свойства совпадают со свойствами чисел и направленных отрезков, с которыми ты, возможно, знакомился в школе. Так вот, всё, что удовлетворяет этим свойствам, это вектор. И числа, и «матрицы», и целые пространства, и картинки, которые ты видишь на экране, состояния электрона в атоме, и даже твой цифровой отпечаток. Только операции надо правильно определить, и можно пользоваться всеми фишками векторных пространств. Теперь ты можешь почти ворваться в мир современных технологий. Но до этого нужно понять, что такое матрица.